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7 (2025南通崇川月考)把直线$y=-2x-3$向上平移5个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为
(1,0)
。答案
7. (1,0)
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一次函数上下平移的规律求出平移后的直线解析式，上下平移时x的系数k不变，常数项遵循“上加下减”的规则，向上平移几个单位就给原常数项加几；第二步，求平移后直线与x轴的交点，x轴上所有点的纵坐标都为0，因此令平移后解析式的y=0，解出对应的x值，即可得到交点坐标。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：
已知原直线解析式为$y=-2x-3$，向上平移5个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：
$y=-2x-3+5$，化简得$y=-2x+2$。
2. 求平移后直线与x轴的交点坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=-2x+2$得：
$0=-2x+2$
移项得$2x=2$，解得$x=1$。
因此平移后的直线与x轴的交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 一次函数与坐标轴交点求法
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础考点，核心考察平移规律的应用和坐标轴上点的坐标特征，解题时注意平移仅改变常数项，求与x轴交点时令y=0即可，属于常规得分题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据一次函数上下平移的规律求出平移后的直线解析式，上下平移时x的系数k不变，常数项遵循“上加下减”的规则，向上平移几个单位就给原常数项加几；第二步，求平移后直线与x轴的交点，x轴上所有点的纵坐标都为0，因此令平移后解析式的y=0，解出对应的x值，即可得到交点坐标。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：
已知原直线解析式为$y=-2x-3$，向上平移5个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后解析式为：
$y=-2x-3+5$，化简得$y=-2x+2$。
2. 求平移后直线与x轴的交点坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=-2x+2$得：
$0=-2x+2$
移项得$2x=2$，解得$x=1$。
因此平移后的直线与x轴的交点坐标为$(1,0)$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 一次函数与坐标轴交点求法
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数的基础考点，核心考察平移规律的应用和坐标轴上点的坐标特征，解题时注意平移仅改变常数项，求与x轴交点时令y=0即可，属于常规得分题。
【难度系数】
0.8
8 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y=kx+b $ 的图象经过点 $ A(2,0) $ 和 $ B(0,-4) $.
(1) 求这个一次函数的表达式;
(2) 将直线 $ AB $ 向上平移6个单位长度,求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积.
(1) 求这个一次函数的表达式;
(2) 将直线 $ AB $ 向上平移6个单位长度,求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积.
答案
解:(1) 因为一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(2,0)和 B(0,-4),
所以 $\begin{cases}2k + b = 0,\\b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=-4,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为 y=2x-4.
(2) 因为一次函数的表达式为 y=2x-4,
所以直线 AB 向上平移 6 个单位长度后所得直线的表达式为 y=2x+2.
因为当 x=0 时,y=2;当 y=0 时,x=-1,
所以直线与坐标轴的交点为(0,2),(-1,0),
所以平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{1}{2}×2×1=1$.
所以 $\begin{cases}2k + b = 0,\\b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=-4,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为 y=2x-4.
(2) 因为一次函数的表达式为 y=2x-4,
所以直线 AB 向上平移 6 个单位长度后所得直线的表达式为 y=2x+2.
因为当 x=0 时,y=2;当 y=0 时,x=-1,
所以直线与坐标轴的交点为(0,2),(-1,0),
所以平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{1}{2}×2×1=1$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式可使用待定系数法，已知函数图象经过两个点的坐标，将坐标代入$y=kx+b$即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数就能确定解析式。
(2) 直线平移遵循“上加下减常数项”的规律，向上平移6个单位只需给原解析式的常数项加6得到新解析式；再分别令$x=0$、$y=0$求出新直线与坐标轴的交点，两个交点到原点的距离就是三角形的两条直角边长，代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
(1) 把点$A(2,0)$、$B(0,-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k + b = 0\\b=-4\end{cases}$
将$b=-4$代入$2k + b = 0$，解得$k=2$，因此一次函数的表达式为$y=2x-4$。
(2) 根据直线平移规律，直线$AB$向上平移6个单位后的解析式为：
$y=2x-4+6=2x+2$
令$x=0$，得$y=2$，即直线与$y$轴交点为$(0,2)$；
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，即直线与$x$轴交点为$(-1,0)$。
因此平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为：
$S=\frac{1}{2}×|2|×|-1|=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x-4}$
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查一次函数的基本性质与应用，熟练掌握待定系数法、平移规律以及一次函数与坐标轴交点的求法即可快速解题，是巩固一次函数基础的典型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数表达式可使用待定系数法，已知函数图象经过两个点的坐标，将坐标代入$y=kx+b$即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数就能确定解析式。
(2) 直线平移遵循“上加下减常数项”的规律，向上平移6个单位只需给原解析式的常数项加6得到新解析式；再分别令$x=0$、$y=0$求出新直线与坐标轴的交点，两个交点到原点的距离就是三角形的两条直角边长，代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
(1) 把点$A(2,0)$、$B(0,-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}2k + b = 0\\b=-4\end{cases}$
将$b=-4$代入$2k + b = 0$，解得$k=2$，因此一次函数的表达式为$y=2x-4$。
(2) 根据直线平移规律，直线$AB$向上平移6个单位后的解析式为：
$y=2x-4+6=2x+2$
令$x=0$，得$y=2$，即直线与$y$轴交点为$(0,2)$；
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，即直线与$x$轴交点为$(-1,0)$。
因此平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为：
$S=\frac{1}{2}×|2|×|-1|=\frac{1}{2}×2×1=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x-4}$
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查一次函数的基本性质与应用，熟练掌握待定系数法、平移规律以及一次函数与坐标轴交点的求法即可快速解题，是巩固一次函数基础的典型题目。
【难度系数】
0.8
9 将一次函数$y=-2x+4$的图象绕原点$O$逆时针旋转$90°$，所得到的图象对应的函数表达式是
$y=\frac{1}{2}x+2$
。答案
9. $y=\frac{1}{2}x+2$
解析
【分析】
要得到一次函数图象旋转后的解析式，可按以下思路求解：第一步，先在原一次函数图象上找两个易计算的特殊点（通常取与x轴、y轴的交点）；第二步，根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律，求出这两个点旋转后的对应点坐标；第三步，利用待定系数法，将两个新点坐标代入一次函数一般式，求解得到旋转后的函数表达式。
【解析】
第一步：找原一次函数$y=-2x+4$上的两个特殊点：
令$x=0$，得$y=4$，即原图象与y轴交点为$A(0,4)$；
令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即原图象与x轴交点为$B(2,0)$。
第二步：求两个点绕原点O逆时针旋转90°后的对应点坐标：
点$(a,b)$绕原点逆时针旋转90°后的坐标为$(-b,a)$，因此：
点$A(0,4)$旋转后为$A'(-4,0)$；
点$B(2,0)$旋转后为$B'(0,2)$。
第三步：用待定系数法求旋转后图象的函数表达式：
设旋转后对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$A'(-4,0)$、$B'(0,2)$代入：
把$B'(0,2)$代入得：$b=2$；
把$A'(-4,0)$和$b=2$代入得：$0=-4k+2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此旋转后图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x+2$
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 点旋转的坐标变化
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与旋转结合的常考题型，解题核心是借助特殊点的旋转坐标变化，将图象旋转问题转化为点的坐标变换问题，再结合待定系数法即可快速求解，需注意区分逆时针、顺时针旋转的坐标变化规律，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
要得到一次函数图象旋转后的解析式，可按以下思路求解：第一步，先在原一次函数图象上找两个易计算的特殊点（通常取与x轴、y轴的交点）；第二步，根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律，求出这两个点旋转后的对应点坐标；第三步，利用待定系数法，将两个新点坐标代入一次函数一般式，求解得到旋转后的函数表达式。
【解析】
第一步：找原一次函数$y=-2x+4$上的两个特殊点：
令$x=0$，得$y=4$，即原图象与y轴交点为$A(0,4)$；
令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即原图象与x轴交点为$B(2,0)$。
第二步：求两个点绕原点O逆时针旋转90°后的对应点坐标：
点$(a,b)$绕原点逆时针旋转90°后的坐标为$(-b,a)$，因此：
点$A(0,4)$旋转后为$A'(-4,0)$；
点$B(2,0)$旋转后为$B'(0,2)$。
第三步：用待定系数法求旋转后图象的函数表达式：
设旋转后对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$A'(-4,0)$、$B'(0,2)$代入：
把$B'(0,2)$代入得：$b=2$；
把$A'(-4,0)$和$b=2$代入得：$0=-4k+2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此旋转后图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x+2$
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 点旋转的坐标变化
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与旋转结合的常考题型，解题核心是借助特殊点的旋转坐标变化，将图象旋转问题转化为点的坐标变换问题，再结合待定系数法即可快速求解，需注意区分逆时针、顺时针旋转的坐标变化规律，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
10（2024苏州）已知直线$ l_1: y = x - 1 $与x轴交于点A，将直线$ l_1 $绕点A按逆时针方向旋转$ 15° $，得到直线$ l_2 $，则直线$ l_2 $对应的函数表达式是
$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$
。答案
10. $y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路分四步：①求直线$l_1$与x轴交点A的坐标：x轴上点的纵坐标为0，代入$l_1$解析式即可求出A点坐标；②确定$l_1$与x轴正方向的夹角：由$l_1$的解析式$y=x-1$可知，x每增加1个单位，y对应增加1个单位，因此它与x轴正方向的夹角为$45°$；③求旋转后$l_2$与x轴正方向的夹角：逆时针旋转$15°$后，夹角变为$45°+15°=60°$，即可得到$l_2$的一次项系数k；④用待定系数法，将A点坐标代入$l_2$的解析式，求出常数项b，即可得到最终解析式。
【解析】
第一步：求点A的坐标
∵直线$l_1$与x轴交于点A，x轴上点的纵坐标为0
∴将$y=0$代入$y=x-1$，得：$0=x-1$，解得$x=1$
∴点A的坐标为$(1, 0)$
第二步：确定直线$l_1$的倾斜角
直线$l_1:y=x-1$过点$(0,-1)$和$(1,0)$，两点横、纵坐标的差值均为1，构成等腰直角三角形，因此$l_1$与x轴正方向的夹角为$45°$
第三步：确定直线$l_2$的倾斜角和一次项系数
将$l_1$绕点A逆时针旋转$15°$后，$l_2$与x轴正方向的夹角为$45°+15°=60°$，因此$l_2$的一次项系数$k=\sqrt{3}$
第四步：用待定系数法求$l_2$的解析式
设直线$l_2$的解析式为$y=\sqrt{3}x + b$，将点A$(1, 0)$代入解析式：
$0 = \sqrt{3}×1 + b$
解得$b=-\sqrt{3}$
因此直线$l_2$的解析式为$y=\sqrt{3}x - \sqrt{3}$
【答案】
$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$
【知识点】
1.一次函数与坐标轴交点求解
2.待定系数法求一次函数解析式
3.特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于一次函数图象变换的综合题，核心考点是旋转性质与一次函数解析式的结合，解题的关键是准确求出旋转后直线的倾斜角度，再结合已知点坐标用待定系数法计算即可，需要熟练掌握一次函数的图象性质和特殊角的相关结论。
【难度系数】
0.6
解题思路分四步：①求直线$l_1$与x轴交点A的坐标：x轴上点的纵坐标为0，代入$l_1$解析式即可求出A点坐标；②确定$l_1$与x轴正方向的夹角：由$l_1$的解析式$y=x-1$可知，x每增加1个单位，y对应增加1个单位，因此它与x轴正方向的夹角为$45°$；③求旋转后$l_2$与x轴正方向的夹角：逆时针旋转$15°$后，夹角变为$45°+15°=60°$，即可得到$l_2$的一次项系数k；④用待定系数法，将A点坐标代入$l_2$的解析式，求出常数项b，即可得到最终解析式。
【解析】
第一步：求点A的坐标
∵直线$l_1$与x轴交于点A，x轴上点的纵坐标为0
∴将$y=0$代入$y=x-1$，得：$0=x-1$，解得$x=1$
∴点A的坐标为$(1, 0)$
第二步：确定直线$l_1$的倾斜角
直线$l_1:y=x-1$过点$(0,-1)$和$(1,0)$，两点横、纵坐标的差值均为1，构成等腰直角三角形，因此$l_1$与x轴正方向的夹角为$45°$
第三步：确定直线$l_2$的倾斜角和一次项系数
将$l_1$绕点A逆时针旋转$15°$后，$l_2$与x轴正方向的夹角为$45°+15°=60°$，因此$l_2$的一次项系数$k=\sqrt{3}$
第四步：用待定系数法求$l_2$的解析式
设直线$l_2$的解析式为$y=\sqrt{3}x + b$，将点A$(1, 0)$代入解析式：
$0 = \sqrt{3}×1 + b$
解得$b=-\sqrt{3}$
因此直线$l_2$的解析式为$y=\sqrt{3}x - \sqrt{3}$
【答案】
$y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}$
【知识点】
1.一次函数与坐标轴交点求解
2.待定系数法求一次函数解析式
3.特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于一次函数图象变换的综合题，核心考点是旋转性质与一次函数解析式的结合，解题的关键是准确求出旋转后直线的倾斜角度，再结合已知点坐标用待定系数法计算即可，需要熟练掌握一次函数的图象性质和特殊角的相关结论。
【难度系数】
0.6
11 如图，一次函数$y=-2x+4$的图象与y轴的交点为A，将直线$y=-2x+4$绕点A按逆时针方向旋转$45°$，求所得的图象对应的函数表达式。
答案
解:过点 B 作 $BD⊥AB$ 交旋转所得的直线于点 D,过点 D 作 $DE⊥x$ 轴于点 E.
在 y=-2x+4 中,令 x=0,得 y=4,所以点 A(0,4),
所以 OA=4.
令 y=0,得 x=2,所以点 B(2,0),所以 OB=2.
因为将直线 y=-2x+4 绕点 A 按逆时针方向旋转 45°,
所以 $∠BAD=45°$,所以 AB=BD.
因为 $∠ABD=90°$,所以 $∠ABO+∠DBE=90°$.
因为 $∠AOB=90°$,所以 $∠ABO+∠OAB=90°$,
所以 $∠DBE=∠OAB$.
在△AOB 和△BED 中,$\begin{cases}∠AOB=∠BED=90°,\\∠OAB=∠EBD,\\AB=BD,\end{cases}$
所以 $△AOB≌△BED$(AAS),
所以 BE=OA=4,DE=OB=2,
所以 OE=OB+BE=6,所以点 D(6,2).
设所得的直线对应的函数表达式为 y=kx+b,
将点 A(0,4),D(6,2)的坐标代入 y=kx+b,
得 $\begin{cases}b=4,\\6k + b = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{3},\\b=4,\end{cases}$
所以所得的直线对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{3}x+4$.
在 y=-2x+4 中,令 x=0,得 y=4,所以点 A(0,4),
所以 OA=4.
令 y=0,得 x=2,所以点 B(2,0),所以 OB=2.
因为将直线 y=-2x+4 绕点 A 按逆时针方向旋转 45°,
所以 $∠BAD=45°$,所以 AB=BD.
因为 $∠ABD=90°$,所以 $∠ABO+∠DBE=90°$.
因为 $∠AOB=90°$,所以 $∠ABO+∠OAB=90°$,
所以 $∠DBE=∠OAB$.
在△AOB 和△BED 中,$\begin{cases}∠AOB=∠BED=90°,\\∠OAB=∠EBD,\\AB=BD,\end{cases}$
所以 $△AOB≌△BED$(AAS),
所以 BE=OA=4,DE=OB=2,
所以 OE=OB+BE=6,所以点 D(6,2).
设所得的直线对应的函数表达式为 y=kx+b,
将点 A(0,4),D(6,2)的坐标代入 y=kx+b,
得 $\begin{cases}b=4,\\6k + b = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{3},\\b=4,\end{cases}$
所以所得的直线对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{3}x+4$.
解析
【分析】
要确定旋转后一次函数的表达式，已知旋转中心是点A（原直线与y轴的交点，坐标可直接求出），根据两点确定一条直线，只需再找到旋转后直线上的另一个点即可。结合旋转45°的条件，可构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等求出另一个点的坐标，最后用待定系数法代入两点坐标即可求解。
【解析】
在$y=-2x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，所以点$A(0,4)$，$OA=4$；
令$y=0$，得$x=2$，所以点$B(2,0)$，$OB=2$。
过点$B$作$BD⊥AB$交旋转所得的直线于点$D$，过点$D$作$DE⊥x$轴于点$E$。
由旋转性质得$∠BAD=45°$，又$BD⊥AB$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，$AB=BD$。
$\because ∠ABD=90°$，$\therefore ∠ABO+∠DBE=90°$，
又$\because ∠AOB=90°$，$\therefore ∠ABO+∠OAB=90°$，$\therefore ∠OAB=∠DBE$。
在$△ AOB$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠AOB=∠BED=90°\\∠OAB=∠EBD\\AB=BD\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=OA=4$，$DE=OB=2$，
$\therefore OE=OB+BE=2+4=6$，即点$D$坐标为$(6,2)$。
设旋转后直线对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(0,4)$、$D(6,2)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\6k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}\\b=4\end{cases}$
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x+4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 全等三角形判定与性质
3. 一次函数图象变换
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是利用45°旋转角构造全等三角形，得到旋转后直线上的第二个点的坐标，再结合待定系数法求解，是一次函数类综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
要确定旋转后一次函数的表达式，已知旋转中心是点A（原直线与y轴的交点，坐标可直接求出），根据两点确定一条直线，只需再找到旋转后直线上的另一个点即可。结合旋转45°的条件，可构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等求出另一个点的坐标，最后用待定系数法代入两点坐标即可求解。
【解析】
在$y=-2x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，所以点$A(0,4)$，$OA=4$；
令$y=0$，得$x=2$，所以点$B(2,0)$，$OB=2$。
过点$B$作$BD⊥AB$交旋转所得的直线于点$D$，过点$D$作$DE⊥x$轴于点$E$。
由旋转性质得$∠BAD=45°$，又$BD⊥AB$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，$AB=BD$。
$\because ∠ABD=90°$，$\therefore ∠ABO+∠DBE=90°$，
又$\because ∠AOB=90°$，$\therefore ∠ABO+∠OAB=90°$，$\therefore ∠OAB=∠DBE$。
在$△ AOB$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠AOB=∠BED=90°\\∠OAB=∠EBD\\AB=BD\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ BED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=OA=4$，$DE=OB=2$，
$\therefore OE=OB+BE=2+4=6$，即点$D$坐标为$(6,2)$。
设旋转后直线对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(0,4)$、$D(6,2)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\6k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3}\\b=4\end{cases}$
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x+4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 全等三角形判定与性质
3. 一次函数图象变换
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是利用45°旋转角构造全等三角形，得到旋转后直线上的第二个点的坐标，再结合待定系数法求解，是一次函数类综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
12 若一次函数 $ y=a_1x+b_1(a_1≠0,a_1,b_1 $ 是常数)与 $ y=a_2x+b_2(a_2≠0,a_2,b_2 $ 是常数)满足 $ a_1+a_2=0 $，且 $ b_1+b_2=0 $，则称这两个函数是“对称函数”。
（1）当函数 $ y=mx-2 $ 与 $ y=3x+n $ 是“对称函数”时，求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
（2）在平面直角坐标系中，一次函数 $ y=-3x+5 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，点 $ C $ 与点 $ B $ 关于 $ x $ 轴对称，过点 $ A,C $ 的直线的表达式是 $ y=kx+b $，求证：函数 $ y=-3x+5 $ 与 $ y=kx+b $ 是“对称函数”。
（1）当函数 $ y=mx-2 $ 与 $ y=3x+n $ 是“对称函数”时，求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
（2）在平面直角坐标系中，一次函数 $ y=-3x+5 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，点 $ C $ 与点 $ B $ 关于 $ x $ 轴对称，过点 $ A,C $ 的直线的表达式是 $ y=kx+b $，求证：函数 $ y=-3x+5 $ 与 $ y=kx+b $ 是“对称函数”。
答案
12. (1) 解:因为函数 y=mx-2 与 y=3x+n 是“对称函数”,
所以 $\begin{cases}m+3=0,\\-2 + n = 0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-3,\\n=2.\end{cases}$
(2) 证明:对于一次函数 y=-3x+5,
令 x=0,得 y=5;令 y=0,得 $x=\frac{5}{3}$,
所以点 $A(\frac{5}{3},0),B(0,5)$.
因为点 C 与点 B 关于 x 轴对称,所以点 C(0,-5).
将点 $A(\frac{5}{3},0)$ 与 C(0,-5)的坐标代入 y=kx+b,
得 $\begin{cases}\frac{5}{3}k + b = 0,\\b=-5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=3,\\b=-5,\end{cases}$
所以直线 AC 的表达式为 y=3x-5.
因为-3+3=0,5+(-5)=0,
所以函数 y=-3x+5 与 y=kx+b 是“对称函数”.
所以 $\begin{cases}m+3=0,\\-2 + n = 0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-3,\\n=2.\end{cases}$
(2) 证明:对于一次函数 y=-3x+5,
令 x=0,得 y=5;令 y=0,得 $x=\frac{5}{3}$,
所以点 $A(\frac{5}{3},0),B(0,5)$.
因为点 C 与点 B 关于 x 轴对称,所以点 C(0,-5).
将点 $A(\frac{5}{3},0)$ 与 C(0,-5)的坐标代入 y=kx+b,
得 $\begin{cases}\frac{5}{3}k + b = 0,\\b=-5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=3,\\b=-5,\end{cases}$
所以直线 AC 的表达式为 y=3x-5.
因为-3+3=0,5+(-5)=0,
所以函数 y=-3x+5 与 y=kx+b 是“对称函数”.
解析
【分析】
（1）首先准确理解“对称函数”的定义：两个一次函数为“对称函数”时，一次项系数之和为0，常数项之和为0。将题中两个函数的对应系数代入定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到m、n的值。
（2）要证明两个函数是“对称函数”，需先求出直线AC的解析式。第一步根据坐标轴上点的坐标特征（x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0）求出A、B两点的坐标；第二步根据关于x轴对称的点的坐标规律（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得到点C的坐标；第三步用待定系数法将A、C两点坐标代入y=kx+b，求出k和b的值；最后验证两个函数的一次项系数之和、常数项之和是否均为0，满足即可证明结论。
【解析】
(1) 解：因为函数$y=mx-2$与$y=3x+n$是“对称函数”，根据定义可得：
$\begin{cases}m+3=0\\-2 + n = 0\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}m=-3\\n=2\end{cases}$。
(2) 证明：对于一次函数$y=-3x+5$，
令$x=0$，得$y=5$，所以点$B(0,5)$；
令$y=0$，得$-3x+5=0$，解得$x=\frac{5}{3}$，所以点$A(\frac{5}{3},0)$。
因为点C与点B关于x轴对称，所以点$C(0,-5)$。
将点$A(\frac{5}{3},0)$与$C(0,-5)$的坐标代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}\frac{5}{3}k + b = 0\\b=-5\end{cases}$
把$b=-5$代入第一个方程，解得$k=3$，因此直线AC的表达式为$y=3x-5$。
验证“对称函数”条件：$-3+3=0$，$5+(-5)=0$，符合定义要求，故函数$y=-3x+5$与$y=kx+b$是“对称函数”。
【答案】
(1) $m=-3$，$n=2$；
(2) 函数$y=-3x+5$与$y=kx+b$是“对称函数”，证明成立。
【知识点】
新定义运算，待定系数法求一次函数解析式，关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的基础应用，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，熟练运用一次函数相关基础性质和运算方法，整体逻辑链条清晰，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
（1）首先准确理解“对称函数”的定义：两个一次函数为“对称函数”时，一次项系数之和为0，常数项之和为0。将题中两个函数的对应系数代入定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到m、n的值。
（2）要证明两个函数是“对称函数”，需先求出直线AC的解析式。第一步根据坐标轴上点的坐标特征（x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0）求出A、B两点的坐标；第二步根据关于x轴对称的点的坐标规律（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得到点C的坐标；第三步用待定系数法将A、C两点坐标代入y=kx+b，求出k和b的值；最后验证两个函数的一次项系数之和、常数项之和是否均为0，满足即可证明结论。
【解析】
(1) 解：因为函数$y=mx-2$与$y=3x+n$是“对称函数”，根据定义可得：
$\begin{cases}m+3=0\\-2 + n = 0\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}m=-3\\n=2\end{cases}$。
(2) 证明：对于一次函数$y=-3x+5$，
令$x=0$，得$y=5$，所以点$B(0,5)$；
令$y=0$，得$-3x+5=0$，解得$x=\frac{5}{3}$，所以点$A(\frac{5}{3},0)$。
因为点C与点B关于x轴对称，所以点$C(0,-5)$。
将点$A(\frac{5}{3},0)$与$C(0,-5)$的坐标代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}\frac{5}{3}k + b = 0\\b=-5\end{cases}$
把$b=-5$代入第一个方程，解得$k=3$，因此直线AC的表达式为$y=3x-5$。
验证“对称函数”条件：$-3+3=0$，$5+(-5)=0$，符合定义要求，故函数$y=-3x+5$与$y=kx+b$是“对称函数”。
【答案】
(1) $m=-3$，$n=2$；
(2) 函数$y=-3x+5$与$y=kx+b$是“对称函数”，证明成立。
【知识点】
新定义运算，待定系数法求一次函数解析式，关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的基础应用，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，熟练运用一次函数相关基础性质和运算方法，整体逻辑链条清晰，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
