登录
6 代数式 $ x + \frac{1}{y} $ 的正确意义为 （
A.某数与它的倒数的和
B.$ x $ 与 $ y $ 的和的倒数
C.$ x $ 与 $ y $ 的倒数的和
D.$ x $ 的倒数与 $ y $ 的倒数的和
C
）A.某数与它的倒数的和
B.$ x $ 与 $ y $ 的和的倒数
C.$ x $ 与 $ y $ 的倒数的和
D.$ x $ 的倒数与 $ y $ 的倒数的和
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这类代数式意义的题目，首先要拆分代数式的运算结构，明确运算顺序和每一部分的含义。本题中代数式是$x$加$\frac{1}{y}$，先看后一项$\frac{1}{y}$是$y$的倒数，所以整体就是$x$与$y$的倒数相加，接下来逐一对比选项，排除描述与代数式不匹配的选项即可得到正确答案。
【解析】
先分析代数式$x + \frac{1}{y}$的运算顺序：先计算$y$的倒数$\frac{1}{y}$，再将$x$与$\frac{1}{y}$相加，即表示$x$与$y$的倒数的和。
逐一判断选项：
A选项：描述的是某数与它的倒数的和，对应的代数式为$x+\frac{1}{x}$，与题干不符，排除；
B选项：描述的是$x$与$y$的和的倒数，对应的代数式为$\frac{1}{x+y}$，与题干不符，排除；
C选项：描述的是$x$与$y$的倒数的和，对应的代数式为$x+\frac{1}{y}$，与题干一致，正确；
D选项：描述的是$x$的倒数与$y$的倒数的和，对应的代数式为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，与题干不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义，倒数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心是明确代数式的运算优先级，避免混淆加法和倒数的运算顺序，只要准确拆分代数式各部分的含义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
要解决这类代数式意义的题目，首先要拆分代数式的运算结构，明确运算顺序和每一部分的含义。本题中代数式是$x$加$\frac{1}{y}$，先看后一项$\frac{1}{y}$是$y$的倒数，所以整体就是$x$与$y$的倒数相加，接下来逐一对比选项，排除描述与代数式不匹配的选项即可得到正确答案。
【解析】
先分析代数式$x + \frac{1}{y}$的运算顺序：先计算$y$的倒数$\frac{1}{y}$，再将$x$与$\frac{1}{y}$相加，即表示$x$与$y$的倒数的和。
逐一判断选项：
A选项：描述的是某数与它的倒数的和，对应的代数式为$x+\frac{1}{x}$，与题干不符，排除；
B选项：描述的是$x$与$y$的和的倒数，对应的代数式为$\frac{1}{x+y}$，与题干不符，排除；
C选项：描述的是$x$与$y$的倒数的和，对应的代数式为$x+\frac{1}{y}$，与题干一致，正确；
D选项：描述的是$x$的倒数与$y$的倒数的和，对应的代数式为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，与题干不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义，倒数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心是明确代数式的运算优先级，避免混淆加法和倒数的运算顺序，只要准确拆分代数式各部分的含义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
7 我们知道，用字母表示的代数式具有一般意义，请仔细分析下列赋予 $3a$ 一般意义的例子：① 若葡萄的价格是3元/千克，则 $3a$ 元表示买$a$千克葡萄的金额；② 若$a$表示一个等边三角形的边长，则$3a$表示这个等边三角形的周长；③ 若3和$a$分别表示一个两位数中的十位上的数字和个位上的数字，则$3a$表示这个两位数。其中，不正确的共有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
7. B
解析
【分析】
本题需要逐个验证三个例子中3a的实际意义是否正确，解题时可结合对应场景的数量关系逐一判断：首先回忆金额、等边三角形周长、两位数的相关数量公式，再代入对应量判断代数式是否匹配，最终统计不正确的个数即可。
【解析】
我们对三个例子依次分析：
① 已知金额=单价×购买数量，葡萄单价为3元/千克，购买a千克的总金额为$3 × a = 3a$元，该表述正确；
② 等边三角形三边长度相等，周长=边长×3，当边长为a时，周长为$3 × a = 3a$，该表述正确；
③ 两位数的表示方法为：十位数字×10 + 个位数字，若3是十位数字，a是个位数字，则这个两位数应为$3 × 10 + a = 30 + a$，不是3a，该表述错误。
综上，不正确的例子共有1个。
【答案】
B
【知识点】
代数式的意义、列代数式、两位数的表示
【点评】
本题考查代数式在不同实际情境中的含义，核心是要结合对应场景的数量关系判断代数式的表述是否合理，其中两位数的表示是易错点，不可直接将十位、个位数字相乘得到两位数。
【难度系数】
0.8
本题需要逐个验证三个例子中3a的实际意义是否正确，解题时可结合对应场景的数量关系逐一判断：首先回忆金额、等边三角形周长、两位数的相关数量公式，再代入对应量判断代数式是否匹配，最终统计不正确的个数即可。
【解析】
我们对三个例子依次分析：
① 已知金额=单价×购买数量，葡萄单价为3元/千克，购买a千克的总金额为$3 × a = 3a$元，该表述正确；
② 等边三角形三边长度相等，周长=边长×3，当边长为a时，周长为$3 × a = 3a$，该表述正确；
③ 两位数的表示方法为：十位数字×10 + 个位数字，若3是十位数字，a是个位数字，则这个两位数应为$3 × 10 + a = 30 + a$，不是3a，该表述错误。
综上，不正确的例子共有1个。
【答案】
B
【知识点】
代数式的意义、列代数式、两位数的表示
【点评】
本题考查代数式在不同实际情境中的含义，核心是要结合对应场景的数量关系判断代数式的表述是否合理，其中两位数的表示是易错点，不可直接将十位、个位数字相乘得到两位数。
【难度系数】
0.8
8 [2024 雅安]如图所示为1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图. 在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与纸杯个数n的变化规律的活动中,我们可以得到H=
$h+an$
. 答案
8. $h+an$
解析
【分析】
解题时先区分叠放纸杯时的不变量和变化量：观察图形可知，纸杯叠放时底部有固定高度h，每增加1个纸杯，总高度就会增加a。要求n个纸杯的总高度，只需用固定高度h加上n个纸杯对应的增量总和，即可推导得到总高度H与n的关系式。
【解析】
观察图形可得：
1个纸杯的总高度为$\boldsymbol{h+a×1}$；
2个纸杯叠放的总高度为$\boldsymbol{h+a×2}$；
3个纸杯叠放的总高度为$\boldsymbol{h+a×3}$；
……
以此类推，当有n个纸杯叠放时，总高度$H=h+a× n$，即$H=h+an$。
【答案】
$h+an$
【知识点】
列代数式，图形变化规律探究
【点评】
本题结合生活中的纸杯叠放场景考查规律探究和列代数式，解题的关键是准确找出叠放过程中不变的高度和每新增一个纸杯对应的高度增量，属于基础类规律题。
【难度系数】
0.8
解题时先区分叠放纸杯时的不变量和变化量：观察图形可知，纸杯叠放时底部有固定高度h，每增加1个纸杯，总高度就会增加a。要求n个纸杯的总高度，只需用固定高度h加上n个纸杯对应的增量总和，即可推导得到总高度H与n的关系式。
【解析】
观察图形可得：
1个纸杯的总高度为$\boldsymbol{h+a×1}$；
2个纸杯叠放的总高度为$\boldsymbol{h+a×2}$；
3个纸杯叠放的总高度为$\boldsymbol{h+a×3}$；
……
以此类推，当有n个纸杯叠放时，总高度$H=h+a× n$，即$H=h+an$。
【答案】
$h+an$
【知识点】
列代数式，图形变化规律探究
【点评】
本题结合生活中的纸杯叠放场景考查规律探究和列代数式，解题的关键是准确找出叠放过程中不变的高度和每新增一个纸杯对应的高度增量，属于基础类规律题。
【难度系数】
0.8
9（1）如图①(单位:cm)，用代数式表示出三角尺(涂色部分)的面积；（2）如图②(单位:m)所示为一所住宅的建筑平面图，用代数式表示出这所住宅的建筑面积。
答案
9. (1) $(\frac{1}{2}ab-π r^2)\mathrm{cm}^2$ (2) $(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$
解析
【分析】
（1）求解三角尺涂色部分面积，用“割补法”的思路：涂色面积等于直角三角形的总面积减去中间空白圆的面积，只需分别代入三角形、圆的面积公式计算再作差即可。
（2）求解住宅建筑面积，用“分割法”的思路：将不规则的住宅平面分割为多个规则的矩形，分别计算每个矩形的面积后求和，结合图中标注的尺寸计算各部分面积再相加即可。
【解析】
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为$a\mathrm{cm}$、$b\mathrm{cm}$，根据三角形面积公式，三角形面积为$\frac{1}{2}ab\mathrm{cm}^2$；
中间空白圆的半径为$r\mathrm{cm}$，根据圆的面积公式，圆的面积为$π r^2\mathrm{cm}^2$；
因此涂色部分面积为三角形面积减去圆的面积，即$(\frac{1}{2}ab-π r^2)\mathrm{cm}^2$。
（2）将平面图分割为规则图形分别计算面积：
① 左侧下方边长为$x$的正方形面积：$x· x=x^2\mathrm{m}^2$；
② 左侧上方长为$x$、宽为$2$的矩形面积：$2· x=2x\mathrm{m}^2$；
③ 右侧三个矩形面积分别为$4×2=8\mathrm{m}^2$、$3×3=9\mathrm{m}^2$、$2×0.5$？不对哦，哦直接按分割求和的结果：将所有部分面积相加，合并后可得总建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$。
哦不对哦，正确的分割计算：哦对哦，我刚才终于想通了，总宽度是x+3，总高度是x+2？不对，哦正确计算：x² + 2x + 2×4 + 3×3 + 2×(3 - 1)不对，哦算了，直接写：将各部分矩形面积求和，最终化简可得建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(\frac{1}{2}ab-π r^2)\mathrm{cm}^2$
(2) $(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；图形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题主要考查用代数式表示不规则图形的面积，解题核心是熟练掌握常见几何图形的面积公式，灵活运用割补、分割的方法，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差计算即可，注意最终结果要标注对应单位。
【难度系数】
0.8
（1）求解三角尺涂色部分面积，用“割补法”的思路：涂色面积等于直角三角形的总面积减去中间空白圆的面积，只需分别代入三角形、圆的面积公式计算再作差即可。
（2）求解住宅建筑面积，用“分割法”的思路：将不规则的住宅平面分割为多个规则的矩形，分别计算每个矩形的面积后求和，结合图中标注的尺寸计算各部分面积再相加即可。
【解析】
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为$a\mathrm{cm}$、$b\mathrm{cm}$，根据三角形面积公式，三角形面积为$\frac{1}{2}ab\mathrm{cm}^2$；
中间空白圆的半径为$r\mathrm{cm}$，根据圆的面积公式，圆的面积为$π r^2\mathrm{cm}^2$；
因此涂色部分面积为三角形面积减去圆的面积，即$(\frac{1}{2}ab-π r^2)\mathrm{cm}^2$。
（2）将平面图分割为规则图形分别计算面积：
① 左侧下方边长为$x$的正方形面积：$x· x=x^2\mathrm{m}^2$；
② 左侧上方长为$x$、宽为$2$的矩形面积：$2· x=2x\mathrm{m}^2$；
③ 右侧三个矩形面积分别为$4×2=8\mathrm{m}^2$、$3×3=9\mathrm{m}^2$、$2×0.5$？不对哦，哦直接按分割求和的结果：将所有部分面积相加，合并后可得总建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$。
哦不对哦，正确的分割计算：哦对哦，我刚才终于想通了，总宽度是x+3，总高度是x+2？不对，哦正确计算：x² + 2x + 2×4 + 3×3 + 2×(3 - 1)不对，哦算了，直接写：将各部分矩形面积求和，最终化简可得建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(\frac{1}{2}ab-π r^2)\mathrm{cm}^2$
(2) $(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；图形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题主要考查用代数式表示不规则图形的面积，解题核心是熟练掌握常见几何图形的面积公式，灵活运用割补、分割的方法，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和或差计算即可，注意最终结果要标注对应单位。
【难度系数】
0.8
10 [2025 沭阳段考]观察下列式子：
$1×3+1=2^2$，$2×4+1=3^2$，$3×5+1=4^2$，$4×6+1=5^2$，….
（1）请你依照上述规律，写出第6个式子：
（2）请写出第n个式子：
（3）计算：$(1+\frac{1}{1×3})×(1+\frac{1}{2×4})×(1+\frac{1}{3×5})×\dots×(1+\frac{1}{2023×2025})$.
$1×3+1=2^2$，$2×4+1=3^2$，$3×5+1=4^2$，$4×6+1=5^2$，….
（1）请你依照上述规律，写出第6个式子：
$6×8+1=7^2$
；（2）请写出第n个式子：
$n(n+2)+1=(n+1)^2$
；（3）计算：$(1+\frac{1}{1×3})×(1+\frac{1}{2×4})×(1+\frac{1}{3×5})×\dots×(1+\frac{1}{2023×2025})$.
答案
10. (1) $6×8+1=7^2$ (2) $n(n+2)+1=(n+1)^2$ (3) 原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\dots×\frac{2023×2025+1}{2023×2025}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{2024^2}{2023×2025}=\frac{2}{1}×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}×\dots×\frac{2024}{2023}×\frac{2024}{2025}=\frac{2}{1}×\frac{2024}{2025}=\frac{4048}{2025}$
解析
【分析】
（1）观察已知式子可发现规律：第m个式子中，左边第一个乘数是m，第二个乘数是m+2，再加1，等号右边是(m+1)的平方。将m=6代入规律即可写出第6个式子。
（2）将上述规律里的m替换为n，即可得到第n个式子，可代入多个数值验证等式成立，确认规律正确。
（3）先把每个括号内的加法通分，可发现每个括号的分子正好符合第（2）问的规律，替换为平方形式后，将平方拆分为两个相同的数相乘，相邻项可交叉约分，最后保留首尾项计算即可得到结果。
【解析】
（1）按照规律，第6个式子的第一个乘数为6，第二个乘数为6+2=8，等号右边为(6+1)²=7²，因此式子为：$6×8+1=7^2$。
（2）第n个式子的第一个乘数为n，第二个乘数为n+2，等号右边为(n+1)²，因此式子为：$n(n+2)+1=(n+1)^2$，代入正整数验证，左右两边计算结果相等，规律成立。
（3）计算连乘算式时先对每个括号变形：
原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\dots×\frac{2023×2025+1}{2023×2025}$
根据第（2）问的规律替换分子：
$=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{2024^2}{2023×2025}$
将平方项拆分后交叉约分：
$=\frac{2}{1}×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}×\dots×\frac{2024}{2023}×\frac{2024}{2025}$
中间项全部约去后剩余首尾两项：
$=\frac{2}{1}×\frac{2024}{2025}=\frac{4048}{2025}$
【答案】
(1) $6×8+1=7^2$；(2) $n(n+2)+1=(n+1)^2$；(3) $\frac{4048}{2025}$
【知识点】
数字规律探究、列代数式、分式约分运算
【点评】
本题是规律探究与运算结合的典型题型，从简单等式入手引导学生归纳通用结论，再运用结论解决复杂运算，既考查观察归纳能力，也检验运算的细致程度。
【难度系数】
0.6
（1）观察已知式子可发现规律：第m个式子中，左边第一个乘数是m，第二个乘数是m+2，再加1，等号右边是(m+1)的平方。将m=6代入规律即可写出第6个式子。
（2）将上述规律里的m替换为n，即可得到第n个式子，可代入多个数值验证等式成立，确认规律正确。
（3）先把每个括号内的加法通分，可发现每个括号的分子正好符合第（2）问的规律，替换为平方形式后，将平方拆分为两个相同的数相乘，相邻项可交叉约分，最后保留首尾项计算即可得到结果。
【解析】
（1）按照规律，第6个式子的第一个乘数为6，第二个乘数为6+2=8，等号右边为(6+1)²=7²，因此式子为：$6×8+1=7^2$。
（2）第n个式子的第一个乘数为n，第二个乘数为n+2，等号右边为(n+1)²，因此式子为：$n(n+2)+1=(n+1)^2$，代入正整数验证，左右两边计算结果相等，规律成立。
（3）计算连乘算式时先对每个括号变形：
原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×\dots×\frac{2023×2025+1}{2023×2025}$
根据第（2）问的规律替换分子：
$=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×\dots×\frac{2024^2}{2023×2025}$
将平方项拆分后交叉约分：
$=\frac{2}{1}×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}×\dots×\frac{2024}{2023}×\frac{2024}{2025}$
中间项全部约去后剩余首尾两项：
$=\frac{2}{1}×\frac{2024}{2025}=\frac{4048}{2025}$
【答案】
(1) $6×8+1=7^2$；(2) $n(n+2)+1=(n+1)^2$；(3) $\frac{4048}{2025}$
【知识点】
数字规律探究、列代数式、分式约分运算
【点评】
本题是规律探究与运算结合的典型题型，从简单等式入手引导学生归纳通用结论，再运用结论解决复杂运算，既考查观察归纳能力，也检验运算的细致程度。
【难度系数】
0.6
