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4. 化简：$(\frac{a}{a - 2}-\frac{a}{a + 2})·\frac{a^2 - 4}{a}$的结果是(
A.$-4$
B.4
C.$2a$
D.$-2a$
B
)A.$-4$
B.4
C.$2a$
D.$-2a$
答案
4. B
5. 若分式$\frac{2}{x^2 - 1}$有意义，则$x$的取值范围是
$x ≠ \pm 1$
。答案
5. $x ≠ \pm 1$
6. 若分式$\frac{x - 1}{x - 1}$的值为零，则$x$的值等于
$-1$
。答案
6. $-1$
7. 计算：$\frac{3}{(x - 1)^2}-\frac{3x}{(x - 1)^2}=$
$\frac{3}{1 - x}$
。答案
7. $\frac{3}{1 - x}$
8. 化简：$\frac{x^2}{x - 1}+\frac{x}{1 - x}$的结果为
$x$
。答案
8. $x$
9. 化简：$\frac{n^2}{2m - n}-\frac{4m^2}{2m - n}$的结果为
$-2m - n$
。答案
9. $-2m - n$
10. 化简：$\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{x^2 - x}=$
$\frac{1}{x}$
。答案
10. $\frac{1}{x}$
11. 已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，则代数式$\frac{2x - 14xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值为
4
。答案
11. 4
12. 已知$x - 3y = 0$。求$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2}·(x - y)$的值。
答案
解：
先化简原式：
$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2}·(x - y)=\frac{2x+y}{(x-y)^2}·(x-y)=\frac{2x+y}{x-y}$
由$x-3y=0$得$x=3y$，将$x=3y$代入化简后的式子：
$\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{6y + y}{2y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
故原式的值为$\frac{7}{2}$。
先化简原式：
$\frac{2x + y}{x^2 - 2xy + y^2}·(x - y)=\frac{2x+y}{(x-y)^2}·(x-y)=\frac{2x+y}{x-y}$
由$x-3y=0$得$x=3y$，将$x=3y$代入化简后的式子：
$\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{6y + y}{2y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
故原式的值为$\frac{7}{2}$。
13. 计算：$\frac{2a + 2}{a - 1}÷(a + 1)-\frac{a^2 - 1}{a^2 - 2a + 1}$。
答案
解：
$\begin{aligned}&\frac{2a+2}{a-1}÷(a+1)-\frac{a^2-1}{a^2-2a+1}\\=&\frac{2(a+1)}{a-1}×\frac{1}{a+1}-\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}\\=&\frac{2}{a-1}-\frac{a+1}{a-1}\\=&\frac{2-(a+1)}{a-1}\\=&\frac{1-a}{a-1}\\=&\frac{-(a-1)}{a-1}\\=&-1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\frac{2a+2}{a-1}÷(a+1)-\frac{a^2-1}{a^2-2a+1}\\=&\frac{2(a+1)}{a-1}×\frac{1}{a+1}-\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}\\=&\frac{2}{a-1}-\frac{a+1}{a-1}\\=&\frac{2-(a+1)}{a-1}\\=&\frac{1-a}{a-1}\\=&\frac{-(a-1)}{a-1}\\=&-1\end{aligned}$
14. 先化简，再求值：$(\frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4}-\frac{a + 2}{a^2 - 2a})÷(\frac{4}{a}-1)$，其中$a = 2-\sqrt{3}$。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(\frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4}-\frac{a + 2}{a^2 - 2a})÷(\frac{4}{a}-1)\\=&(\frac{a - 1}{(a - 2)^2}-\frac{a + 2}{a(a - 2)})÷\frac{4 - a}{a}\\=&\frac{a(a - 1)-(a + 2)(a - 2)}{a(a - 2)^2} × \frac{a}{4 - a}\\=&\frac{a^2 - a - (a^2 - 4)}{a(a - 2)^2} × \frac{a}{4 - a}\\=&\frac{4 - a}{a(a - 2)^2} × \frac{a}{4 - a}\\=&\frac{1}{(a - 2)^2}\end{aligned}$
当$a = 2-\sqrt{3}$时，$a - 2=-\sqrt{3}$，则$(a - 2)^2=(-\sqrt{3})^2=3$，因此原式$=\frac{1}{3}$。
先化简原式：
$\begin{aligned}&(\frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4}-\frac{a + 2}{a^2 - 2a})÷(\frac{4}{a}-1)\\=&(\frac{a - 1}{(a - 2)^2}-\frac{a + 2}{a(a - 2)})÷\frac{4 - a}{a}\\=&\frac{a(a - 1)-(a + 2)(a - 2)}{a(a - 2)^2} × \frac{a}{4 - a}\\=&\frac{a^2 - a - (a^2 - 4)}{a(a - 2)^2} × \frac{a}{4 - a}\\=&\frac{4 - a}{a(a - 2)^2} × \frac{a}{4 - a}\\=&\frac{1}{(a - 2)^2}\end{aligned}$
当$a = 2-\sqrt{3}$时，$a - 2=-\sqrt{3}$，则$(a - 2)^2=(-\sqrt{3})^2=3$，因此原式$=\frac{1}{3}$。
化简$(\frac{a}{a + 2}+1)÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}$。下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程。
小红的解法：原式$=(\frac{a}{a + 2}+\frac{a + 2}{a + 2})÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{2a + 2}{a + 2}÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=······$
小莉的解法：原式$=(\frac{a}{a + 2}+1)·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{a}{a + 2}·\frac{a + 2}{a^2 - 1}+1·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=······$
(1)小红的解法依据是
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律。
(2)若$a = 1+\sqrt{3}$，请任选一种解法，求出代数式的值。
小红的解法：原式$=(\frac{a}{a + 2}+\frac{a + 2}{a + 2})÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{2a + 2}{a + 2}÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=······$
小莉的解法：原式$=(\frac{a}{a + 2}+1)·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{a}{a + 2}·\frac{a + 2}{a^2 - 1}+1·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=······$
(1)小红的解法依据是
②
；小莉的解法依据是④
。(填序号)①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律。
(2)若$a = 1+\sqrt{3}$，请任选一种解法，求出代数式的值。
答案
(1)根据分式的基本性质，乘法分配律，故答案为：②；④。
(2)方法1：$(\frac{a}{a + 2}+1)÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}$
$=(\frac{a}{a + 2}+\frac{a + 2}{a + 2})÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{2a + 2}{a + 2}÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{2(a + 2)}{a + 2}×\frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2}{a - 1}$，
当时$a = 1+\sqrt{3}$，原式$=\frac{2}{a - 1}=\frac{2}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
方法2：$(\frac{a}{a + 2}+1)÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{a^2 - 1}{a + 2}=(\frac{a}{a + 2}+1)·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{a}{a + 2}·\frac{a + 2}{a^2 - 1}+1·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{a}{a^2 - 1}+\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2}{a - 1}$，
当$a = 1+\sqrt{3}$时，
原式$=\frac{2}{a - 1}=\frac{2}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2)方法1：$(\frac{a}{a + 2}+1)÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}$
$=(\frac{a}{a + 2}+\frac{a + 2}{a + 2})÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{2a + 2}{a + 2}÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{2(a + 2)}{a + 2}×\frac{a + 2}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2}{a - 1}$，
当时$a = 1+\sqrt{3}$，原式$=\frac{2}{a - 1}=\frac{2}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
方法2：$(\frac{a}{a + 2}+1)÷\frac{a^2 - 1}{a + 2}=\frac{a^2 - 1}{a + 2}=(\frac{a}{a + 2}+1)·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{a}{a + 2}·\frac{a + 2}{a^2 - 1}+1·\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{a}{a^2 - 1}+\frac{a + 2}{a^2 - 1}=\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2}{a - 1}$，
当$a = 1+\sqrt{3}$时，
原式$=\frac{2}{a - 1}=\frac{2}{1+\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
