例 1 有下列数学表达式：①$3 ＜ 0$；②$4x + 5 ＞ 0$；③$x = 3$；④$x^{2} + 1 ＞ 0$；⑤$x ≠ - 4$；⑥$2x + 2 ≤ x + 1$.其中不等式的个数是().
A.2
B.3
C.4
D.5

D

根据不等式的定义：用不等号连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
①$3 ＜ 0$，用不等号连接，是不等式；
②$4x + 5 ＞ 0$，用不等号连接，是不等式；
③$x = 3$，是等式，不是不等式；
④$x^{2} + 1 ＞ 0$，用不等号连接，是不等式；
⑤$x ≠ - 4$，用不等号连接，是不等式；
⑥$2x + 2 ≤ x + 1$，用不等号连接，是不等式。
所以①②④⑤⑥是不等式，共5个。

变式：有下列数学表达式：①$- 5 ＜ 2$；②$4x + 7 ＞ 0$；③$x = 5$；④$x^{2} - xy + y^{2}$；⑤$x - 4 ＞ y + 1$.其中不等式的个数是().

A.1
B.2
C.3
D.4

例 1 变式
C

例 2 若$a ＞ b$，则下列各式中正确的是().
A. $a - \frac{1}{5} ＜ b - \frac{1}{5}$
B. $- 4a ＞ - 4b$
C. $- 2a + 1 ＜ - 2b + 1$
D. $a^{2} ＞ b^{2}$
分析：根据不等式的性质，对选项 A，B，C 可直接进行判断，但用不等式的性质无法对选项 D 作出判断.从$a ＞ b$到$a^{2} ＞ b^{2}$，相当于在原不等式的两边分别平方.需要根据$a$，$b$的大小，分不同的情况判断$a^{2}$与$b^{2}$的大小关系(可按$a$，$b$同为正、同为负及异号分类讨论)：①$a ＞ b ＞ 0$时，$a^{2} ＞ b^{2}$成立；②$0 ＞ a ＞ b$时，$a^{2} ＞ b^{2}$不成立；③$a ＞ 0 ＞ b$，且$\vert a\vert ＞ \vert b\vert$时，$a^{2} ＞ b^{2}$成立；④$a ＞ 0 ＞ b$，且$\vert a\vert ≤ \vert b\vert$时，$a^{2} ＞ b^{2}$不成立.所以选项 D 不正确.事实上，举一个反例也可说明选项 D 不正确，如$a = 2$，$b = - 4$，满足$a ＞ b$，但$a^{2} ＜ b^{2}$，故选项 D 不正确.
解：选项 A，在不等式$a ＞ b$的两边同时加上$- \frac{1}{5}$，不等号的方向不变，即$a - \frac{1}{5} ＞ b - \frac{1}{5}$，故选项 A 错误.选项 B，在不等式$a ＞ b$的两边同时乘$- 4$，不等号的方向改变，即$- 4a ＜ - 4b$，故选项 B 错误.选项 C，在不等式$a ＞ b$的两边同时乘$- 2$，不等号的方向改变，即$- 2a ＜ - 2b$，再在不等式两边都加上 1，不等号的方向不变，故选项 C 正确.选项 D，当$a ＞ 0 ＞ b$且$\vert a\vert ≤ \vert b\vert$或$0 ＞ a ＞ b$时，不等式$a^{2} ＞ b^{2}$不成立，故选项 D 错误.故选 C.

C

选项 A：根据不等式性质，两边同时减去同一个数，不等号方向不变。已知$a＞b$，则$a - \frac{1}{5} ＞ b - \frac{1}{5}$，所以选项 A 错误。
选项 B：根据不等式性质，两边同时乘同一个负数，不等号方向改变。已知$a＞b$，两边乘$-4$，可得$-4a ＜ -4b$，所以选项 B 错误。
选项 C：已知$a＞b$，两边同时乘$-2$，不等号方向改变，得$-2a ＜ -2b$，再在两边同时加$1$，不等号方向不变，即$-2a + 1 ＜ -2b + 1$，所以选项 C 正确。
选项 D：可通过举反例判断，当$a = 1$，$b = -2$时，满足$a＞b$，但$a^{2}=1$，$b^{2}=4$，$a^{2}＜b^{2}$，所以选项 D 错误。