1. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D$在边$AC$上.要使$△ ABC ∽ △ BCD$,可添加的
一个条件是.

解：
添加条件：$\boldsymbol{∠A = ∠CBD}$（答案不唯一）。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ABC = ∠C$。
在$△ABC$和$△BCD$中，
$\begin{cases}∠A = ∠CBD \\∠ABC = ∠C\end{cases}$
∴ $△ABC ∽ △BCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。

2. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$AB$、$AC$上的高$CE$、$BF$相交于点$D$,写出图中的两对相似三角形.

解：
1. $△ ABF ∽ △ ACE$
$\because CE ⊥ AB$，$BF ⊥ AC$，
$\therefore ∠ AFB = ∠ AEC = 90°$，
又$\because ∠ A = ∠ A$，
$\therefore △ ABF ∽ △ ACE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. $△ BED ∽ △ CFD$
$\because CE ⊥ AB$，$BF ⊥ AC$，
$\therefore ∠ BED = ∠ CFD = 90°$，
又$\because ∠ BDE = ∠ CDF$，
$\therefore △ BED ∽ △ CFD$（两角分别相等的两个三角形相似）。

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$、$CE$分别是$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线,且相交于点$O$,写出与$△ ABC$相似的三角形.

解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°。
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC=½∠ABC=36°，∠ECB=½∠ACB=36°。
在△BDC中，
∠DBC=∠A=36°，∠BCD=∠ACB=72°，
∴△ABC∽△BDC（两角分别相等的两个三角形相似）。
在△BEC中，
∠ECB=∠A=36°，∠BEC=∠ABC=72°，
∴△ABC∽△BEC（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，与△ABC相似的三角形是△BDC和△BEC。

4. 如图,$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似吗? 你有哪些判断方法?

解：设每个小方格的边长为1。
方法一：三边成比例判定
在$△ ABC$中：
$AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，
$AC = 4$；
在$△ A'B'C'$中：
$A'B' = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$B'C' = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$，
$A'C' = 8$。
计算对应边的比例：
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$，
$\frac{BC}{B'C'} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{2}$，
$\frac{AC}{A'C'} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
因为$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$，
所以$△ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边成比例的两个三角形相似）。
方法二：两边成比例且夹角相等判定
由方法一得$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{1}{2}$，
观察图形可知，$AB // A'B'$，$BC // B'C'$，故$∠ ABC = ∠ A'B'C'$，
所以$△ ABC ∽ △ A'B'C'$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。