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【变式2】(1)已知正数$x,y$满足$\frac{x}{2}+y=1$,则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为
(2)若$x＞2$,则$y=x+\frac{4}{x-2}$的最小值为
(3)(一题多解)若$0＜x＜2$,则$y=\sqrt{x(4-2x)}$的最大值为
(4)(一题多解)若$x＞0$,则$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$的最大值为
$\frac{9}{2}$
;(2)若$x＞2$,则$y=x+\frac{4}{x-2}$的最小值为
6
;(3)(一题多解)若$0＜x＜2$,则$y=\sqrt{x(4-2x)}$的最大值为
$\sqrt{2}$
;(4)(一题多解)若$x＞0$,则$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$的最大值为
$\frac{1}{6}$
.答案
(1)因为$\frac{x}{2}+y=1$,所以$(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})(\frac{x}{2}+y)=\frac{5}{2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}≥\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{x}{y}}=\frac{9}{2}$,当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$,即$x=y=\frac{2}{3}$时,等号成立,故$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$.
(2)$y=x+\frac{4}{x-2}=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2$.因为$x＞2$,所以$x-2＞0$,所以$y=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2≥2\sqrt{(x-2)·\frac{4}{x-2}}+2=4+2=6$,当且仅当$x-2=\frac{4}{x-2}$,即$x=4$时,等号成立,故$y=x+\frac{4}{x-2}$的最小值为6.
(3)方法1:$y=\sqrt{x(4-2x)}=\sqrt{\frac{1}{2}×2x(4-2x)}=\frac{\sqrt{2}}{2}·\sqrt{2x(4-2x)}≤\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{2x+(4-2x)}{2}=\sqrt{2}$,当且仅当$2x=4-2x$,即$x=1$时,等号成立,故$y=\sqrt{x(4-2x)}$的最大值为$\sqrt{2}$.
方法2:因为$0＜x＜2$,所以$2-x＞0$,所以$y=\sqrt{x(4-2x)}=\sqrt{2}·\sqrt{x(2-x)}≤\sqrt{2}·\frac{x+2-x}{2}=\sqrt{2}$,当且仅当$x=2-x$,即$x=1$时,等号成立,故$y=\sqrt{x(4-2x)}$的最大值为$\sqrt{2}$.
(4)方法1:因为$x＞0$,$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$,所以$\frac{1}{y}=\frac{x^2+4x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+4≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}+4=6$,所以$0＜y≤\frac{1}{6}$,当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x=1$时,等号成立,所以$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$的最大值为$\frac{1}{6}$.
方法2:$y=\frac{x}{x^2+4x+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}+4}≤\frac{1}{2\sqrt{x·\frac{1}{x}}+4}=\frac{1}{6}$,当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x=1$时,等号成立,所以$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$的最大值为$\frac{1}{6}$.
(2)$y=x+\frac{4}{x-2}=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2$.因为$x＞2$,所以$x-2＞0$,所以$y=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2≥2\sqrt{(x-2)·\frac{4}{x-2}}+2=4+2=6$,当且仅当$x-2=\frac{4}{x-2}$,即$x=4$时,等号成立,故$y=x+\frac{4}{x-2}$的最小值为6.
(3)方法1:$y=\sqrt{x(4-2x)}=\sqrt{\frac{1}{2}×2x(4-2x)}=\frac{\sqrt{2}}{2}·\sqrt{2x(4-2x)}≤\frac{\sqrt{2}}{2}·\frac{2x+(4-2x)}{2}=\sqrt{2}$,当且仅当$2x=4-2x$,即$x=1$时,等号成立,故$y=\sqrt{x(4-2x)}$的最大值为$\sqrt{2}$.
方法2:因为$0＜x＜2$,所以$2-x＞0$,所以$y=\sqrt{x(4-2x)}=\sqrt{2}·\sqrt{x(2-x)}≤\sqrt{2}·\frac{x+2-x}{2}=\sqrt{2}$,当且仅当$x=2-x$,即$x=1$时,等号成立,故$y=\sqrt{x(4-2x)}$的最大值为$\sqrt{2}$.
(4)方法1:因为$x＞0$,$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$,所以$\frac{1}{y}=\frac{x^2+4x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+4≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}+4=6$,所以$0＜y≤\frac{1}{6}$,当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x=1$时,等号成立,所以$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$的最大值为$\frac{1}{6}$.
方法2:$y=\frac{x}{x^2+4x+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}+4}≤\frac{1}{2\sqrt{x·\frac{1}{x}}+4}=\frac{1}{6}$,当且仅当$x=\frac{1}{x}$,即$x=1$时,等号成立,所以$y=\frac{x}{x^2+4x+1}$的最大值为$\frac{1}{6}$.
