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9. 若$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2}$运算的结果为整式，则“$□$”中的式子可以是 （
A.$y - x$
B.$y + x$
C.$2x$
D.$\frac{1}{x}$
C
）A.$y - x$
B.$y + x$
C.$2x$
D.$\frac{1}{x}$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，先把原式的除法转化为乘法；再对可因式分解的$y^2-x^2$用平方差公式分解，之后对式子约分得到最简形式；要使运算结果为整式，说明化简后的式子分母不含字母，因此“□”中的式子需要能约掉化简后剩下的分母因式，最后逐个验证选项即可。
【解析】
根据分式除法法则，将原式转化为乘法运算：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{y^2 - x^2}{x}$
由平方差公式得$y^2 - x^2=(y-x)(y+x)$，代入上式：
$=\frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
约去分子分母的公因式$x+y$，化简得：
$=\frac{□ · (y-x)}{x}$
若结果为整式，则分母$x$需要被约去，即“□”中含有因式$x$：
选项A：$y-x$不含因式$x$，代入后结果为$\frac{(y-x)^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项B：$y+x$不含因式$x$，代入后结果为$\frac{y^2-x^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：$2x$含因式$x$，代入后结果为$2(y-x)$，是整式，符合要求；
选项D：$\frac{1}{x}$不含整式因式$x$，代入后结果为$\frac{y-x}{x^2}$，是分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式，整式的概念
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，解题关键是掌握分式乘除的运算规则，通过化简式子结合整式的定义反推未知部分的特征，能有效考察学生对分式运算和整式概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，先把原式的除法转化为乘法；再对可因式分解的$y^2-x^2$用平方差公式分解，之后对式子约分得到最简形式；要使运算结果为整式，说明化简后的式子分母不含字母，因此“□”中的式子需要能约掉化简后剩下的分母因式，最后逐个验证选项即可。
【解析】
根据分式除法法则，将原式转化为乘法运算：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{y^2 - x^2}{x}$
由平方差公式得$y^2 - x^2=(y-x)(y+x)$，代入上式：
$=\frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
约去分子分母的公因式$x+y$，化简得：
$=\frac{□ · (y-x)}{x}$
若结果为整式，则分母$x$需要被约去，即“□”中含有因式$x$：
选项A：$y-x$不含因式$x$，代入后结果为$\frac{(y-x)^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项B：$y+x$不含因式$x$，代入后结果为$\frac{y^2-x^2}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：$2x$含因式$x$，代入后结果为$2(y-x)$，是整式，符合要求；
选项D：$\frac{1}{x}$不含整式因式$x$，代入后结果为$\frac{y-x}{x^2}$，是分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式，整式的概念
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，解题关键是掌握分式乘除的运算规则，通过化简式子结合整式的定义反推未知部分的特征，能有效考察学生对分式运算和整式概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 若 $ x + y = 5 $，则 $ (-\dfrac{x^2 - y^2}{2xy})^2 ÷ (\dfrac{x - y}{-xy})^2 $ 的值为 ______。
答案
10.$\dfrac{25}{4}$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题时先遵循分式运算顺序：先算乘方，再将除法转化为乘法运算，接着利用平方差公式对含平方差的分子因式分解，通过约分化简为最简形式，最后整体代入已知条件$x+y=5$计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：按照分式运算规则逐步化简：
1. 先计算乘方运算，负号平方后为正：
原式$=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{4x^2y^2} ÷ \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^2}$
2. 将除法转化为乘以除数的倒数：
$=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{4x^2y^2} × \dfrac{x^2y^2}{(x-y)^2}$
3. 用平方差公式分解$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，代入后约分：
$=\dfrac{[(x-y)(x+y)]^2}{4x^2y^2} × \dfrac{x^2y^2}{(x-y)^2}$
$=\dfrac{(x-y)^2(x+y)^2}{4x^2y^2} × \dfrac{x^2y^2}{(x-y)^2}$
约去公因式$(x-y)^2$和$x^2y^2$，得：
原式$=\dfrac{(x+y)^2}{4}$
4. 代入$x+y=5$计算：
原式$=\dfrac{5^2}{4}=\dfrac{25}{4}$
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查分式混合运算的规则应用，解题核心是正确处理乘方、除法转乘法的运算逻辑，合理因式分解后约分，通过整体代入的思想简化计算，能有效考查学生对分式运算基础规则的掌握情况。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题时先遵循分式运算顺序：先算乘方，再将除法转化为乘法运算，接着利用平方差公式对含平方差的分子因式分解，通过约分化简为最简形式，最后整体代入已知条件$x+y=5$计算即可，无需单独求解$x$、$y$的值，能简化计算过程。
【解析】
解：按照分式运算规则逐步化简：
1. 先计算乘方运算，负号平方后为正：
原式$=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{4x^2y^2} ÷ \dfrac{(x-y)^2}{x^2y^2}$
2. 将除法转化为乘以除数的倒数：
$=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{4x^2y^2} × \dfrac{x^2y^2}{(x-y)^2}$
3. 用平方差公式分解$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，代入后约分：
$=\dfrac{[(x-y)(x+y)]^2}{4x^2y^2} × \dfrac{x^2y^2}{(x-y)^2}$
$=\dfrac{(x-y)^2(x+y)^2}{4x^2y^2} × \dfrac{x^2y^2}{(x-y)^2}$
约去公因式$(x-y)^2$和$x^2y^2$，得：
原式$=\dfrac{(x+y)^2}{4}$
4. 代入$x+y=5$计算：
原式$=\dfrac{5^2}{4}=\dfrac{25}{4}$
【答案】
$\dfrac{25}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、整体代入求值
【点评】
本题侧重考查分式混合运算的规则应用，解题核心是正确处理乘方、除法转乘法的运算逻辑，合理因式分解后约分，通过整体代入的思想简化计算，能有效考查学生对分式运算基础规则的掌握情况。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙两地相距$s$ km，新修的高速公路开通后，两地的距离不变，在甲、乙两地间行驶的客运汽车的平均速度提高了$50\%$.已知客运汽车原来的平均速度为$x$ km/h，求从甲地到乙地客运汽车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的多少倍.
答案
11.解:从甲地到乙地,客运汽车原来所用的时间是$\dfrac{s}{x}$ h,新修的高速公路开通后所用的时间是$\dfrac{s}{x(1+50\%)}=\dfrac{s}{1.5x}$(h),$\dfrac{s}{x}÷\dfrac{s}{1.5x}=\dfrac{s}{x}·\dfrac{1.5x}{s}=1.5$.
答:从甲地到乙地,客运汽车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的1.5倍.
答:从甲地到乙地,客运汽车原来所用的时间是新修的高速公路开通后所用时间的1.5倍.
解析
【分析】
解题时首先运用行程问题的核心公式“时间=路程÷速度”展开思考：第一步，先根据已知的总路程$s$和原来的平均速度$x$，求出原来从甲地到乙地的用时；第二步，先计算出提速50%后的新平均速度，再结合总路程求出高速开通后的用时；最后求两个时间的倍数关系，即原来的时间除以后来的时间，按照分式除法“除以一个分式等于乘它的倒数”的规则计算，约分后就能得到最终结果。
【解析】
解：根据行程公式“时间=路程÷速度”计算：
1. 求原来的行驶时间：
客运汽车原来的平均速度为$x$ km/h，总路程为$s$ km，因此原来所用时间为$\dfrac{s}{x}$ h。
2. 求高速开通后的行驶时间：
速度提高50%后，新的平均速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，因此开通后所用时间为$\dfrac{s}{1.5x}$ h。
3. 计算倍数关系：
求原来时间是开通后时间的几倍，用除法计算：
$\dfrac{s}{x} ÷ \dfrac{s}{1.5x} = \dfrac{s}{x} × \dfrac{1.5x}{s} = 1.5$
【答案】
1.5倍
【知识点】
行程问题数量关系，分式的除法运算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查行程基本公式的应用和分式除法的运算能力，解题的关键是准确表示出提速前后的行驶时间，计算时按照分式运算规则约分即可快速得到结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先运用行程问题的核心公式“时间=路程÷速度”展开思考：第一步，先根据已知的总路程$s$和原来的平均速度$x$，求出原来从甲地到乙地的用时；第二步，先计算出提速50%后的新平均速度，再结合总路程求出高速开通后的用时；最后求两个时间的倍数关系，即原来的时间除以后来的时间，按照分式除法“除以一个分式等于乘它的倒数”的规则计算，约分后就能得到最终结果。
【解析】
解：根据行程公式“时间=路程÷速度”计算：
1. 求原来的行驶时间：
客运汽车原来的平均速度为$x$ km/h，总路程为$s$ km，因此原来所用时间为$\dfrac{s}{x}$ h。
2. 求高速开通后的行驶时间：
速度提高50%后，新的平均速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，因此开通后所用时间为$\dfrac{s}{1.5x}$ h。
3. 计算倍数关系：
求原来时间是开通后时间的几倍，用除法计算：
$\dfrac{s}{x} ÷ \dfrac{s}{1.5x} = \dfrac{s}{x} × \dfrac{1.5x}{s} = 1.5$
【答案】
1.5倍
【知识点】
行程问题数量关系，分式的除法运算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查行程基本公式的应用和分式除法的运算能力，解题的关键是准确表示出提速前后的行驶时间，计算时按照分式运算规则约分即可快速得到结果。
【难度系数】
0.85
12. 已知 $ A = \dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{1}{a - 1} $.
(1)化简 $ A $；
(2)若 $ a $ 满足 $ a^2 - a = 0 $，求 $ A $ 的值.
(1)化简 $ A $；
(2)若 $ a $ 满足 $ a^2 - a = 0 $，求 $ A $ 的值.
答案
12.解:(1)$A=\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2}·(a-1)=a-2$.
(2)因为$a^2-a=a(a-1)=0$,所以$a=0$或$a=1$.要使$A$有意义,则$a+2≠0,a^2-2a+1=(a-1)^2≠0,a-1≠0$,所以$a≠-2$且$a≠1$,所以$a=0$.将$a=0$代入$A$中,得$A=a-2=-2$.
(2)因为$a^2-a=a(a-1)=0$,所以$a=0$或$a=1$.要使$A$有意义,则$a+2≠0,a^2-2a+1=(a-1)^2≠0,a-1≠0$,所以$a≠-2$且$a≠1$,所以$a=0$.将$a=0$代入$A$中,得$A=a-2=-2$.
解析
【分析】
(1) 化简分式时，先把除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
(2) 先解方程求出a的可能取值，再根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的a值，最后将符合条件的a代入化简后的式子计算A的值。
【解析】
(1) 对A进行化简：
先将除法转化为乘法：
$A=\dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} · (a - 1)$
对多项式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入得：
$A=\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2}·(a-1)$
约去分子分母的公因式后得：$A=a-2$
(2) 先解方程$a^2 - a = 0$，因式分解得$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
要使A有意义，需满足各分母、除式不为0：
$a+2≠0$，$(a-1)^2≠0$，$a-1≠0$，即$a≠-2$且$a≠1$，因此仅$a=0$符合要求。
将$a=0$代入$A=a-2$，得$A=0-2=-2$。
【答案】
(1) $A=a-2$；(2) $A=-2$
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题的易错点是忽略分式有意义的条件，直接将方程的所有解代入求值，导致出现分母为0的错误，做题时要养成先判断取值范围再代入计算的习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 化简分式时，先把除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到最简结果。
(2) 先解方程求出a的可能取值，再根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的a值，最后将符合条件的a代入化简后的式子计算A的值。
【解析】
(1) 对A进行化简：
先将除法转化为乘法：
$A=\dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} · (a - 1)$
对多项式因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，代入得：
$A=\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2}·(a-1)$
约去分子分母的公因式后得：$A=a-2$
(2) 先解方程$a^2 - a = 0$，因式分解得$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
要使A有意义，需满足各分母、除式不为0：
$a+2≠0$，$(a-1)^2≠0$，$a-1≠0$，即$a≠-2$且$a≠1$，因此仅$a=0$符合要求。
将$a=0$代入$A=a-2$，得$A=0-2=-2$。
【答案】
(1) $A=a-2$；(2) $A=-2$
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题的易错点是忽略分式有意义的条件，直接将方程的所有解代入求值，导致出现分母为0的错误，做题时要养成先判断取值范围再代入计算的习惯。
【难度系数】
0.7
