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1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,分别以$△ ABC$的边$AB,BC,AC$为新的直角边或斜边向外作等腰直角三角形$ABF$、等腰直角三角形$BEC$和等腰直角三角形$ADC$.记$△ ABF,△ BEC,△ ADC$的面积分别是$S_1$,$S_2,S_3$,则$S_1,S_2,S_3$之间的关系是 （
A.$S_1＜S_2+S_3$
B.$S_1=S_2+S_3$
C.$\dfrac{1}{2}S_1＞S_2+S_3$
D.$\dfrac{1}{2}S_1=S_2+S_3$
D
）A.$S_1＜S_2+S_3$
B.$S_1=S_2+S_3$
C.$\dfrac{1}{2}S_1＞S_2+S_3$
D.$\dfrac{1}{2}S_1=S_2+S_3$
答案
1. D
2. (2025 宿迁市沭阳县期末)沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台.该图由四个全等的直角三角形(直角边分别为 $a$ 和 $b$,斜边为 $c$)围绕一个小正方形拼成一个大正方形(如图).若每个直角三角形的面积为$6\ \mathrm{m}^2$,中间小正方形的面积为$1\ \mathrm{m}^2$,则 $c=$
5
m.答案
2. 5
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,分别以$△ ABC$的三边为直角边作三个等腰直角三角形:$△ ABD$,$△ ACE$,$△ BCF$.若$S_1=6.2$,$S_2=4.3$,$S_3=5.5$,则$S_4=$
3.6
.答案
3. 3.6 提示:设 DE 分别交 BF,CF 于点 G,H. 由条件,可设 $AB=BD=a$,$AC=CE=b$,$BC=CF=c$,$S_{△ ABG}=m$,$S_{△ ACH}=n$. 因为 $a^2+b^2=c^2$,所以 $S_{△ ABD}+S_{△ ACE}=S_{△ BCF}$,所以 $S_1+m+n+S_4=S_2+S_3+m+n$,所以 $S_4=S_2+S_3-S_1=4.3+5.5-6.2=3.6.$
4. 综合与实践.
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理. 思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 $c^{2}$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\dfrac{1}{2}ab× 4+(b-a)^{2}$，从而得到等式$c^{2}=$$\dfrac{1}{2}ab× 4+(b-a)^{2}$，化简便得结论$a^{2}+b^{2}=$$c^{2}$. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在 2010 年构造发现了一个新的证法：把两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEA$按如图 2 所示的方式放置，其三边长分别为 $a,b,c$，$∠ BAC=∠ DEA=$$90°$，显然$BC⊥ AD$.
（1）请用含 $a,b,c$ 的代数式分别表示出四边形 $ABDC$，梯形 $AEDC$，$△ BDE$ 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【方法迁移】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得$△ ABC$，则其边 $BC$ 上的高为
（3）如图 4，在$△ ABC$中，$AD$ 是边 $BC$ 上的高，$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$. 设 $BD=x$，求 $x$ 的值.
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理. 思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 $c^{2}$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\dfrac{1}{2}ab× 4+(b-a)^{2}$，从而得到等式$c^{2}=$$\dfrac{1}{2}ab× 4+(b-a)^{2}$，化简便得结论$a^{2}+b^{2}=$$c^{2}$. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在 2010 年构造发现了一个新的证法：把两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEA$按如图 2 所示的方式放置，其三边长分别为 $a,b,c$，$∠ BAC=∠ DEA=$$90°$，显然$BC⊥ AD$.
（1）请用含 $a,b,c$ 的代数式分别表示出四边形 $ABDC$，梯形 $AEDC$，$△ BDE$ 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【方法迁移】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得$△ ABC$，则其边 $BC$ 上的高为
$\dfrac{7}{5}$
.（3）如图 4，在$△ ABC$中，$AD$ 是边 $BC$ 上的高，$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$. 设 $BD=x$，求 $x$ 的值.
答案
4. （1）证明: 由题图, 可知 $S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{△ ABC}+S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BC· AF+\dfrac{1}{2}BC· FD=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}c^2$,$S_{\mathrm{梯形}AEDC}=\dfrac{1}{2}(b+a)b$,$S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}(a-b)a$. 因为 $S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{\mathrm{梯形}AEDC}+S_{△ BED}$,所以 $\dfrac{1}{2}c^2=\dfrac{1}{2}(b+a)b+\dfrac{1}{2}(a-b)a$,所以 $\dfrac{1}{2}c^2=\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}ab$,所以 $a^2+b^2=c^2.$
(2) $\dfrac{7}{5}$ 提示:由题图, 可知 $S_{△ ABC}=4×4-\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{7}{2}$,$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 设边 BC 上的高为 h, 则 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· h=\dfrac{5}{2}h=\dfrac{7}{2}$,解得 $h=\dfrac{7}{5}.$
(3) 解:由题意,得 $CD=BC-BD=7-x$. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中, 由勾股定理,得 $AD^2=AB^2-BD^2=5^2-x^2=25-x^2$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中, 由勾股定理,得 $AD^2=AC^2-CD^2=6^2-(7-x)^2=-13+14x-x^2$. 所以 $25-x^2=-13+14x-x^2$,解得 $x=\dfrac{19}{7}.$
(2) $\dfrac{7}{5}$ 提示:由题图, 可知 $S_{△ ABC}=4×4-\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{1}{2}×3×4-\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{7}{2}$,$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 设边 BC 上的高为 h, 则 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· h=\dfrac{5}{2}h=\dfrac{7}{2}$,解得 $h=\dfrac{7}{5}.$
(3) 解:由题意,得 $CD=BC-BD=7-x$. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中, 由勾股定理,得 $AD^2=AB^2-BD^2=5^2-x^2=25-x^2$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中, 由勾股定理,得 $AD^2=AC^2-CD^2=6^2-(7-x)^2=-13+14x-x^2$. 所以 $25-x^2=-13+14x-x^2$,解得 $x=\dfrac{19}{7}.$
