1. (2025 徐州市丰县期中)勾股定理的证明方法多样,体现了数学的精妙.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 （）

1. C

2.（2025 盐城市盐都区期中）如，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形较长直角边长为$a$，较短直角边长为$b$，若$(a+b)^2=75$，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（）

A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{6}$
D.6

2. A

3. 设 $a,b$ 是直角三角形两条直角边的长. 若该三角形的周长为 6, 斜边的长为 2.5, 则$ab$ 的值是（）

A.1.5
B.2
C.2.5
D.3

3. D

4. 如图,在等腰直角三角形$ACB$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,且$AB^2=8$,以边$AB,AC,BC$为直径画半圆,所得两个月形图案$AFCD$和$BGCE$(图中阴影部分)的面积之和为 （）


A.8
B.4
C.2
D.1

4. C 提示:由题意,易得 $AC=BC=2$,所以阴影部分的面积之和为 $π(\dfrac{AC}{2})^2+S_{△ ACB}-\dfrac{1}{2}π(\dfrac{AB}{2})^2=π+2-π=2.$

5. 如图,已知长方形E的长是宽的2倍,图中所有阴影四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形. 若正方形A,B,C的面积依次为5,23,8,则正方形D的面积为.

5. 1 提示:设正方形 A,B,C,D 的边长分别为 a,b,c,d,长方形 E 的长为 m,宽为 n. 由题意可知,m=2n,a²=5,b²=23,c²=8. 由勾股定理,得 m²=a²+b²,n²=c²−d². 因为 m=2n,所以 m²=4n²,所以 a²+b²=4(c²−d²),即 5+23=4(8−d²),解得 d²=1. 所以正方形 D 的面积为 1.

6.（2025 南京市建邺区期末）青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法. 如图，四边形 $ABCD,DEFG,CGHI$ 均为正方形.若正方形 $ABCD,CGHI$ 的面积分别为$S_1,S_2$,则 $AF=$（用含 $S_1$和 $S_2$ 的代数式表示）.

6. $\sqrt{S_1-S_2}-\sqrt{S_2}$ 提示:由题意,得 $EF=DG=\sqrt{DC^2-CG^2}=\sqrt{S_1-S_2}$. 由割补,可知 $AE=IC=\sqrt{S_2}$,所以 $AF=EF-AE=\sqrt{S_1-S_2}-\sqrt{S_2}.$

7. (2025 扬州市宝应县期中)著名的赵爽弦图(图1)可以推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长分别为$a$,$b$,斜边长为$c$,那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(1) 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理.
(2) 如图3,在$△ ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,$AB=13$,$AC=15$,$BC=14$,设$BD=x$,求$x$的值及$AD$的长.

7. 解:(1) 梯形 ABCD 的面积可以表示为 $\dfrac{1}{2}(a+b)·(a+b)=\dfrac{1}{2}a^2+ab+\dfrac{1}{2}b^2$,也可以表示为 $\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2$,所以 $\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^2=\dfrac{1}{2}a^2+ab+\dfrac{1}{2}b^2$,即 $a^2+b^2=c^2.$
(2) 由题意,得 $CD=14-x$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^2=AC^2-DC^2=15^2-(14-x)^2=29+28x-x^2$. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2=169-x^2$. 所以 $169-x^2=29+28x-x^2$,解得 $x=5$. 所以 $AD^2=AB^2-BD^2=13^2-5^2=144$. 所以 $AD=12.$