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1. 下列函数中,为一次函数的是()
A.$y=x^2 - 1$
B.$y=-2x + 1$
C.$y=kx + b$
D.$y=\dfrac{3}{x}$
A.$y=x^2 - 1$
B.$y=-2x + 1$
C.$y=kx + b$
D.$y=\dfrac{3}{x}$
答案
B
解析
根据八年级所学一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，逐一判断：
1. 选项A：函数中自变量$x$的次数为2，是二次函数，不是一次函数；
2. 选项B：$y=-2x+1$完全符合一次函数的定义形式，是一次函数；
3. 选项C：$y=kx+b$没有限定$k≠0$，当$k=0$时该函数不是一次函数，不符合要求；
4. 选项D：$y=\dfrac{3}{x}$的自变量在分母位置，属于反比例函数，不是一次函数。
综上，只有B选项是一次函数。
1. 选项A：函数中自变量$x$的次数为2，是二次函数，不是一次函数；
2. 选项B：$y=-2x+1$完全符合一次函数的定义形式，是一次函数；
3. 选项C：$y=kx+b$没有限定$k≠0$，当$k=0$时该函数不是一次函数，不符合要求；
4. 选项D：$y=\dfrac{3}{x}$的自变量在分母位置，属于反比例函数，不是一次函数。
综上，只有B选项是一次函数。
2. 下列函数中,不是一次函数的是()
A.$y=3x$
B.$y=2-\sqrt{3}x$
C.$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$
D.$y=\frac{1}{x}-3$
A.$y=3x$
B.$y=2-\sqrt{3}x$
C.$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$
D.$y=\frac{1}{x}-3$
答案
D
解析
根据一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，要求自变量x的次数为1，且x不能出现在分母中。选项A是k=3、b=0的正比例函数，属于特殊的一次函数；选项B、C均满足一次函数的形式要求，都是一次函数；选项D中自变量x在分母位置，x的次数为-1，不符合一次函数的定义，不是一次函数。
3. 若函数$y=(m-2)x^{|m|-1}$是一次函数，则$m$的值为（）
A.$2$
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$0$
A.$2$
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$0$
答案
B
解析
根据一次函数的定义，需同时满足两个条件：①自变量的次数为1，即$|m|-1=1$，解得$m=\pm2$；②一次项系数不为0，即$m-2≠0$，得$m≠2$。综合两个条件，可得$m=-2$。
4. 已知函数$y=(m-1)x^{|m|}-3$是关于$x$的一次函数，则$m$的值为.
答案
$-1$
解析
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，本题需要同时满足两个条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，可得$m=-1$。
1. 自变量$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，可得$m=-1$。
5.若$y=(a+1)x^{a^2}+b-2$是正比例函数，则$(a-b)^{2025}$的值是________.
答案
$-1$
解析
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，可得本题需同时满足以下条件：
1. 自变量$x$的次数为1：$a^2=1$
2. 一次项系数不为0：$a+1≠0$
3. 常数项为0：$b-2=0$
由$a^2=1$解得$a=\pm1$，结合$a+1≠0$即$a≠-1$，可得$a=1$；由$b-2=0$可得$b=2$。
将$a=1$，$b=2$代入$(a-b)^{2025}$，得$(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
1. 自变量$x$的次数为1：$a^2=1$
2. 一次项系数不为0：$a+1≠0$
3. 常数项为0：$b-2=0$
由$a^2=1$解得$a=\pm1$，结合$a+1≠0$即$a≠-1$，可得$a=1$；由$b-2=0$可得$b=2$。
将$a=1$，$b=2$代入$(a-b)^{2025}$，得$(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
6. 有下列函数:①$y=kx+b$;②$y=2x$;③$y=\dfrac{3}{x}$;④$y=\dfrac{1}{3}x+3$;⑤$y=x^2-2x+1$.其中是一次函数的有________(填序号).
答案
②④
解析
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，逐个分析各函数：
1. ①$y=kx+b$：未明确限定$k≠0$，若$k=0$该函数不是一次函数，因此①不属于一次函数；
2. ②$y=2x$：符合一次函数形式，其中$k=2≠0$，$b=0$，正比例函数是特殊的一次函数，属于一次函数；
3. ③$y=\dfrac{3}{x}$：自变量在分母位置，是反比例函数，不属于一次函数；
4. ④$y=\dfrac{1}{3}x+3$：满足$k=\dfrac{1}{3}≠0$，符合一次函数定义，属于一次函数；
5. ⑤$y=x^2-2x+1$：自变量最高次数为2，是二次函数，不属于一次函数。
综上符合要求的一次函数是②④。
1. ①$y=kx+b$：未明确限定$k≠0$，若$k=0$该函数不是一次函数，因此①不属于一次函数；
2. ②$y=2x$：符合一次函数形式，其中$k=2≠0$，$b=0$，正比例函数是特殊的一次函数，属于一次函数；
3. ③$y=\dfrac{3}{x}$：自变量在分母位置，是反比例函数，不属于一次函数；
4. ④$y=\dfrac{1}{3}x+3$：满足$k=\dfrac{1}{3}≠0$，符合一次函数定义，属于一次函数；
5. ⑤$y=x^2-2x+1$：自变量最高次数为2，是二次函数，不属于一次函数。
综上符合要求的一次函数是②④。
7.小茹在银行存入一笔零花钱,已知这种储蓄的年利率为n%.设到期后的本息和(本金+利息)为y(单位:元),存入的时间为x(单位:年),已知y关于x的函数图象如图所示.
(1)从图中你能看出存入的本金是多少元?一年后的本息和是多少元?
(2)根据图象,求出y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围),并求出两年后的本息和.
(1)从图中你能看出存入的本金是多少元?一年后的本息和是多少元?
(2)根据图象,求出y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围),并求出两年后的本息和.
答案
(1) 存入的本金为100元，一年后的本息和为102.25元；
(2) y关于x的函数解析式为y=2.25x+100，两年后的本息和为104.5元。
(2) y关于x的函数解析式为y=2.25x+100，两年后的本息和为104.5元。
解析
(1) 当存入时间x=0时，对应的y值即为初始本金，从图像可得x=0时y=100；当x=1时，对应的y值就是1年后的本息和，从图像可得该值为102.25元。
(2) 设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），将点(0,100)、(1,102.25)代入解析式：
① 将x=0，y=100代入，得b=100；
② 将x=1，y=102.25，b=100代入，得k+100=102.25，解得k=2.25。
因此得到函数解析式为y=2.25x+100。
将x=2代入解析式，得y=2.25×2+100=104.5，即可算出两年后的本息和。
(2) 设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），将点(0,100)、(1,102.25)代入解析式：
① 将x=0，y=100代入，得b=100；
② 将x=1，y=102.25，b=100代入，得k+100=102.25，解得k=2.25。
因此得到函数解析式为y=2.25x+100。
将x=2代入解析式，得y=2.25×2+100=104.5，即可算出两年后的本息和。
