1.若一个三角形的三条边长分别为 $a,b,c$，且满足分式 $\dfrac{a^2 + 2ab - c^2 - 2bc}{a - b}=0$，则该三角形一定是（）

A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.不确定

B

分式的值为0需满足分子为0且分母不为0：
1. 令分子为0：$a^2 + 2ab - c^2 - 2bc = 0$，分组因式分解得：
$a^2 - c^2 + 2ab - 2bc = 0$
$(a-c)(a+c) + 2b(a-c) = 0$
$(a-c)(a+c+2b) = 0$
因为a、b、c是三角形边长，均为正数，故$a+c+2b＞0$，因此$a-c=0$，即$a=c$。
2. 分母不为0：$a - b ≠ 0$，即$a ≠ b$。
综上该三角形有两条边相等$a=c$，且三边不全相等，一定是等腰三角形。

2. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为$(0,2\sqrt{3})$，点 B 在 x 轴负半轴上运动，将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转$60°$，得到线段 AC，连接 BC，OC，如图所示。在点 B 运动的过程中，当 OC 的长度最短时，点 C 的坐标为________。

$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2})}$

1. 由旋转性质可得：$AB=AC$，$∠ BAC=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形。
2. 以$OA$为边在第二象限作等边$△ AOD$，已知$A(0,2\sqrt{3})$，可得定点$D$的坐标为$(-3,\sqrt{3})$。
3. 由$∠ BAC=∠ OAD=60°$，可得$∠ BAC-∠ DAC=∠ OAD-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAO$。结合$AB=AC$，$AD=AO$，根据SAS可证$△ BAD ≌ △ CAO$，因此$OC=BD$。
4. 点$B$在$x$轴上运动，根据垂线段最短的性质，当$BD ⊥ x$轴时，$BD$长度最短，此时$OC$取得最小值。由$D(-3,\sqrt{3})$，可得此时点$B$坐标为$(-3,0)$。
5. 结合旋转规则，代入$A$、$B$坐标计算，最终得到此时点$C$的坐标为$(\dfrac{3}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$。

3. 阅读下面的材料。
当 $ a＞0,b＞0 $ 时，$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b ≥ 0$，
$\therefore a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $ a = b $ 时，等号成立。
请你利用上述结论解答下列问题。
(1)当 $ x＞0 $ 时，$ x+\frac{1}{x} $ 的最小值为 ______；当 $ x＜0 $ 时，$ x+\frac{1}{x} $ 的最大值为 ______。
(2)当 $ x＞0 $ 时，求 $ y = \frac{x^2 + 3x + 16}{x} $ 的最小值。
(3)如图，四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC, BD $ 相交于点 $ O $，$△ AOB, △ COD$ 的面积分别为 4 和 9，求四边形 $ ABCD $ 面积的最小值。

(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-2}$ (2) $\boldsymbol{11}$ (3) $\boldsymbol{25}$

(1) 当$x＞0$时，由题中给出的结论，令$a=x＞0$，$b=\frac{1}{x}＞0$，可得$x+\frac{1}{x} ≥ 2\sqrt{x · \frac{1}{x}}=2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$即$x=1$时取等号，因此最小值为2；
当$x＜0$时，$-x＞0$，将式子变形为$x+\frac{1}{x} = -[ (-x) + \frac{1}{-x} ]$，由结论得$(-x)+\frac{1}{-x} ≥ 2\sqrt{(-x)· \frac{1}{-x}}=2$，因此$-[ (-x) + \frac{1}{-x} ] ≤ -2$，当且仅当$-x=\frac{1}{-x}$即$x=-1$时取等号，因此最大值为-2。
(2) 当$x＞0$时，对y的表达式拆分变形：
$y=\frac{x^2+3x+16}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{16}{x} = x + \frac{16}{x} + 3$
由题中结论，$x＞0,\frac{16}{x}＞0$，得$x+\frac{16}{x} ≥ 2\sqrt{x · \frac{16}{x}}=8$，当且仅当$x=\frac{16}{x}$即$x=4$时取等号，因此$y≥ 8+3=11$，即y的最小值为11。
(3) 设$S_{△ AOD}=x$，$S_{△ BOC}=y$，
因为$△ AOB$与$△ AOD$同高，面积比等于对应底的比，即$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{4}{x}$；
同理$△ BOC$与$△ COD$同高，面积比$\frac{S_{△ BOC}}{S_{△ COD}}=\frac{OB}{OD}=\frac{y}{9}$，
因此$\frac{4}{x}=\frac{y}{9}$，整理得$xy=36$。
四边形ABCD的总面积$S = 4 + 9 + x + y = 13 + x + y$，
由题中结论，$x＞0,y＞0$，得$x+y ≥ 2\sqrt{xy}=2\sqrt{36}=12$，当且仅当$x=y=6$时取等号，
因此$S≥13+12=25$，即四边形ABCD面积的最小值为25。