1. 【知识回顾】
我们学习代数式的求值时，会遇到这样一类题，即“代数式 $ax - y + 6 + 3x - 5y - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $a$ 的值”。通常的解题方法是：把 $x$、$y$ 看作字母，$a$ 看作系数，合并同类项，因为代数式的值与 $x$ 的取值无关，所以含 $x$ 项的系数为 $0$，即原式 $= (a + 3)x - 6y + 5$，所以 $a + 3 = 0$，则 $a = -3$。
【理解应用】
(1) 若关于 $x$ 的多项式 $(2x - 3)m + 2m^2 - 3x$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $m$ 的值。
(2) 已知 $A = (2x + 1)(x - 1) - x(1 - 3y)$，$B = -x^2 + xy - 1$，且 $3A + 6B$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $y$ 的值。
【能力提升】
(3) 有 $7$ 个长为 $a$、宽为 $b$ 的小长方形(图 1)，按照图 2 的方式不重叠地放在大长方形 $ABCD$ 内，大长方形中有两个未被覆盖的部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为 $S_1$，左下角的面积为 $S_2$，当 $AB$ 的长变化时，$S_1 - S_2$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系。

1. (1) 原式 $ = 2 m x - 3 m + 2 m ^ { 2 } - 3 x = ( 2 m - 3 ) x + 2 m ^ { 2 } - 3 m $，
∵ 多项式的值与 $ x $ 的取值无关，
∴ $ 2 m - 3 = 0 $，解得 $ m = \frac { 3 } { 2 } $。
(2) $ 3 A + 6 B = 3 [ ( 2 x + 1 ) ( x - 1 ) - x ( 1 - 3 y ) ] + 6 ( - x ^ { 2 } + x y - 1 ) = 3 ( 2 x ^ { 2 } - 2 x + x - 1 - x + 3 x y ) - 6 x ^ { 2 } + 6 x y - 6 = 6 x ^ { 2 } - 6 x + 3 x - 3 - 3 x + 9 x y - 6 x ^ { 2 } + 6 x y - 6 = 15 x y - 6 x - 9 = 3 x ( 5 y - 2 ) - 9 $。
∵ $ 3 A + 6 B $ 的值与 $ x $ 的取值无关，
∴ $ 5 y - 2 = 0 $，解得 $ y = \frac { 2 } { 5 } $。 (3) 设 $ A B = x $，则 $ S _ { 1 } = a ( x - 3 b ) $，$ S _ { 2 } = 2 b ( x - 2 a ) $，
∴ $ S _ { 1 } - S _ { 2 } = a ( x - 3 b ) - 2 b ( x - 2 a ) = ( a - 2 b ) x + a b $。
∵ 当 $ A B $ 的长变化时，$ S _ { 1 } - S _ { 2 } $ 的值始终保持不变，
∴ $ S _ { 1 } - S _ { 2 } $ 的值与 $ x $ 的取值无关，
∴ $ a - 2 b = 0 $，
∴ $ a = 2 b $。