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探究一
下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形,你能摆出这个几何体吗?
从前面看
从左面看
从上面看
这个几何体有上下(
下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形,你能摆出这个几何体吗?
从前面看
从左面看
从上面看
这个几何体有上下(
2
)层,左右(2
)列,前后(2
)行;底层有(4
)个小正方体,上层有(1
)个小正方体。摆这个几何体,有(1
)种摆法。下图是从上面观察这个几何体看到的图形,请在相应的正方形里填上数字,表示出这个几何体的摆法。(每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数)答案
2 2 2 4 1 1
解析
【分析】
我们可以通过三个视图的信息逐步推导几何体的结构：
1. 先观察从前面看到的图形，能判断出几何体的上下层数为2层，左右列数为2列；
2. 再看从左面看到的图形，可确定几何体的前后行数为2行；
3. 从上面看到的图形能明确底层小正方体的分布，底层在2行2列的所有位置都有小正方体，因此底层有4个小正方体；
4. 结合前面和左面的视图，上层只能有1个小正方体，且这个小正方体的位置要同时满足两个视图的形状要求，经分析只有1种摆放位置，所以摆法有1种；
5. 最后根据确定的摆法，在俯视图的对应位置填写小正方体的个数，上层所在位置填2，其余底层位置填1。
【解析】
1. 确定层数、列数、行数：
从前面看的图形显示上下有2层，左右有2列；从左面看的图形显示前后有2行，因此该几何体有上下2层，左右2列，前后2行。
2. 计算底层小正方体数量：
从上面看的图形是2行2列的正方形阵列，说明底层每个位置都有1个小正方体，总数为 $2×2=4$ 个。
3. 分析上层小正方体数量与摆法：
结合前面和左面的视图，上层只能放置1个小正方体，且这个小正方体的位置必须同时满足从前面和左面看都能看到上层的形状，经分析仅有一种符合要求的摆放位置，因此摆法有1种。
4. 填写俯视图数字：
底层每个位置的小正方体个数为1，上层所在位置的小正方体个数为2，对应俯视图的位置填写数字即可。
【答案】
2 2 2 4 1 1
【知识点】
三视图还原几何体，空间想象能力
【点评】
本题主要考查根据三视图还原立体几何体，需要综合利用三个视图的信息，逐步推导几何体的结构特征，重点培养学生的空间想象能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
我们可以通过三个视图的信息逐步推导几何体的结构：
1. 先观察从前面看到的图形，能判断出几何体的上下层数为2层，左右列数为2列；
2. 再看从左面看到的图形，可确定几何体的前后行数为2行；
3. 从上面看到的图形能明确底层小正方体的分布，底层在2行2列的所有位置都有小正方体，因此底层有4个小正方体；
4. 结合前面和左面的视图，上层只能有1个小正方体，且这个小正方体的位置要同时满足两个视图的形状要求，经分析只有1种摆放位置，所以摆法有1种；
5. 最后根据确定的摆法，在俯视图的对应位置填写小正方体的个数，上层所在位置填2，其余底层位置填1。
【解析】
1. 确定层数、列数、行数：
从前面看的图形显示上下有2层，左右有2列；从左面看的图形显示前后有2行，因此该几何体有上下2层，左右2列，前后2行。
2. 计算底层小正方体数量：
从上面看的图形是2行2列的正方形阵列，说明底层每个位置都有1个小正方体，总数为 $2×2=4$ 个。
3. 分析上层小正方体数量与摆法：
结合前面和左面的视图，上层只能放置1个小正方体，且这个小正方体的位置必须同时满足从前面和左面看都能看到上层的形状，经分析仅有一种符合要求的摆放位置，因此摆法有1种。
4. 填写俯视图数字：
底层每个位置的小正方体个数为1，上层所在位置的小正方体个数为2，对应俯视图的位置填写数字即可。
【答案】
2 2 2 4 1 1
【知识点】
三视图还原几何体，空间想象能力
【点评】
本题主要考查根据三视图还原立体几何体，需要综合利用三个视图的信息，逐步推导几何体的结构特征，重点培养学生的空间想象能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
探究二
下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形,你能摆出这个几何体吗?
所以,一共有(
下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形,你能摆出这个几何体吗?
所以,一共有(
2
)种不同的摆法。答案
2解析
【分析】
1. 先根据从上面看的图形确定底层结构：底层有4个小正方体，位置为后排左、中、右各1个，前排中间1个，每个位置底层都是1层。
2. 结合从前面看的图形：可知几何体有两层，上层小正方体需在左列和中列区域；再结合从左面看的图形：可知上层小正方体需在前、后排都有。
3. 综合两个视图的要求，上层小正方体的摆放组合只能是“后排左+前排中”或“后排中+前排中”，由此确定摆法数量。
【解析】
1. 底层按从上面看的图形摆放4个小正方体，每个位置标注层数1。
2. 上层小正方体需同时满足前面看和左面看的视图要求：
摆法1：上层小正方体放在后排左和前排中，对应从上面看的图形标注层数为$\begin{array}{ccc}2&1&1\\ &2&\end{array}$；
摆法2：上层小正方体放在后排中和前排中，对应从上面看的图形标注层数为$\begin{array}{ccc}1&2&1\\ &2&\end{array}$。
两种摆法均符合三个视图的要求，因此一共有2种不同摆法。
【答案】
2
【知识点】
三视图还原几何体、正方体组合摆法
【点评】
本题需要结合三个视图的信息，通过空间想象推理出上层小正方体的可行摆放位置，锻炼了空间想象能力和逻辑分析能力，是对三视图知识的综合应用。
【难度系数】
0.4
1. 先根据从上面看的图形确定底层结构：底层有4个小正方体，位置为后排左、中、右各1个，前排中间1个，每个位置底层都是1层。
2. 结合从前面看的图形：可知几何体有两层，上层小正方体需在左列和中列区域；再结合从左面看的图形：可知上层小正方体需在前、后排都有。
3. 综合两个视图的要求，上层小正方体的摆放组合只能是“后排左+前排中”或“后排中+前排中”，由此确定摆法数量。
【解析】
1. 底层按从上面看的图形摆放4个小正方体，每个位置标注层数1。
2. 上层小正方体需同时满足前面看和左面看的视图要求：
摆法1：上层小正方体放在后排左和前排中，对应从上面看的图形标注层数为$\begin{array}{ccc}2&1&1\\ &2&\end{array}$；
摆法2：上层小正方体放在后排中和前排中，对应从上面看的图形标注层数为$\begin{array}{ccc}1&2&1\\ &2&\end{array}$。
两种摆法均符合三个视图的要求，因此一共有2种不同摆法。
【答案】
2【知识点】
三视图还原几何体、正方体组合摆法
【点评】
本题需要结合三个视图的信息，通过空间想象推理出上层小正方体的可行摆放位置，锻炼了空间想象能力和逻辑分析能力，是对三视图知识的综合应用。
【难度系数】
0.4
灵活应用
一个用9个同样的小正方体摆成的几何体,从三个方向观察到的图形如下图所示。摆这个几何体,一共有(
从前面看
从左面看
从上面看
一个用9个同样的小正方体摆成的几何体,从三个方向观察到的图形如下图所示。摆这个几何体,一共有(
6
)种不同的摆法。从前面看
从左面看
从上面看
答案
6
解析
【分析】
首先，根据从上面看到的图形，可确定底层有6个小正方体（2行3列），结合总共有9个小正方体，可知上层需放置3个小正方体。接着结合从前面看和左面看的图形分析限制条件：从前面看要求每一列至少有1个上层小正方体；从左面看要求两行中至少各有1个上层小正方体。我们可以先计算每列选1个的总摆法，再排除不符合左面视图要求的摆法，即可得到最终的摆法数量。
【解析】
1. 确定底层与上层小正方体数量：由从上面看的图形可知底层有6个小正方体，总共有9个小正方体，因此上层需要放置$9-6=3$个小正方体。
2. 标记位置并分析限制：将上面看的第一行三个位置记为①、②、③，第二行三个位置记为④、⑤、⑥（①与④为第一列，②与⑤为第二列，③与⑥为第三列）。根据从前面看的图形，每列至少选1个上层位置；根据从左面看的图形，不能全选第一行或全选第二行的位置。
3. 计算摆法数量：每列选1个的总摆法有$2×2×2=8$种，其中全选第一行（①②③）和全选第二行（④⑤⑥）这2种不符合要求，因此符合条件的摆法有$8-2=6$种。
【答案】
6
【知识点】
三视图的应用、空间想象能力
【点评】
本题考查根据三视图还原几何体的能力，需要结合三个视图的限制条件，通过逻辑推理和组合计数确定上层小正方体的放置位置，既考验对三视图的理解，也锻炼了空间思维能力。
【难度系数】
0.4
首先，根据从上面看到的图形，可确定底层有6个小正方体（2行3列），结合总共有9个小正方体，可知上层需放置3个小正方体。接着结合从前面看和左面看的图形分析限制条件：从前面看要求每一列至少有1个上层小正方体；从左面看要求两行中至少各有1个上层小正方体。我们可以先计算每列选1个的总摆法，再排除不符合左面视图要求的摆法，即可得到最终的摆法数量。
【解析】
1. 确定底层与上层小正方体数量：由从上面看的图形可知底层有6个小正方体，总共有9个小正方体，因此上层需要放置$9-6=3$个小正方体。
2. 标记位置并分析限制：将上面看的第一行三个位置记为①、②、③，第二行三个位置记为④、⑤、⑥（①与④为第一列，②与⑤为第二列，③与⑥为第三列）。根据从前面看的图形，每列至少选1个上层位置；根据从左面看的图形，不能全选第一行或全选第二行的位置。
3. 计算摆法数量：每列选1个的总摆法有$2×2×2=8$种，其中全选第一行（①②③）和全选第二行（④⑤⑥）这2种不符合要求，因此符合条件的摆法有$8-2=6$种。
【答案】
6
【知识点】
三视图的应用、空间想象能力
【点评】
本题考查根据三视图还原几何体的能力，需要结合三个视图的限制条件，通过逻辑推理和组合计数确定上层小正方体的放置位置，既考验对三视图的理解，也锻炼了空间思维能力。
【难度系数】
0.4
