登录
2. 在图中添上1个同样的小正方体(相邻两个小正方体之间至少有一个面重合)。
(1)若使从左面看到的图形不变,则有(
(2)若使从上面看到的图形不变,则有(
(3)若使从前面看到的图形不变,则有(
(1)若使从左面看到的图形不变,则有(
4
)种不同的添法。在图1中画出一种添法。(2)若使从上面看到的图形不变,则有(
4
)种不同的添法。在图2中画出一种添法。(3)若使从前面看到的图形不变,则有(
6
)种不同的添法。在图3中画出一种添法。答案
2. (1)4
(2)4 
(3)6
（画法不唯一）
解析 从不同方向看，让添上的小正方体与原几何体分别处于遮盖或被遮盖关系即可，如下图。
解析
【分析】
1. 对于(1)，先明确原几何体从左面看到的图形是上下两个小正方形。要使添加小正方体后左面视图不变，需保证添加的小正方体不会改变左面看到的层数和形状，可考虑将小正方体放在前排任意一个小正方体的前面，或后排小正方体的后面，逐一数出符合要求的位置。
2. 对于(2)，原几何体从上面看到的图形是前排三个小正方形、后排中间一个小正方形。要使添加后上面视图不变，添加的小正方体只能放在现有小正方体的上方，这样从上方看不会改变原有图形，数出这些位置即可。
3. 对于(3)，原几何体从前面看到的图形是三个并排的小正方形。要使添加后前面视图不变，添加的小正方体可放在前排每个小正方体的前面或后面，这些位置不会改变前面看到的形状，数出所有符合的位置。
【解析】
(1) 原几何体从左面看为两层的图形，添加小正方体时，可放在前排3个小正方体中任意一个的前面（3种），或后排小正方体的后面（1种），共4种添法，添法不唯一，示例见答案图。
(2) 原几何体从上面看的图形固定，添加小正方体时，可放在前排3个小正方体和后排1个小正方体的上方，共4个位置，即4种添法，添法不唯一，示例见答案图。
(3) 原几何体从前面看是三个并排的正方形，添加小正方体时，可放在前排每个小正方体的前面（3种）或后面（3种），共6种添法，添法不唯一，示例见答案图。
【答案】
(1)4
(2)4
(3)6
（画法不唯一）
【知识点】
观察物体（三视图）、立体图形拼接
【点评】
本题考查对立体图形三视图的理解与应用，需要学生具备一定的空间想象能力，通过分析不同方向视图的特征，确定添加小正方体的合理位置，能够有效锻炼学生的空间思维能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于(1)，先明确原几何体从左面看到的图形是上下两个小正方形。要使添加小正方体后左面视图不变，需保证添加的小正方体不会改变左面看到的层数和形状，可考虑将小正方体放在前排任意一个小正方体的前面，或后排小正方体的后面，逐一数出符合要求的位置。
2. 对于(2)，原几何体从上面看到的图形是前排三个小正方形、后排中间一个小正方形。要使添加后上面视图不变，添加的小正方体只能放在现有小正方体的上方，这样从上方看不会改变原有图形，数出这些位置即可。
3. 对于(3)，原几何体从前面看到的图形是三个并排的小正方形。要使添加后前面视图不变，添加的小正方体可放在前排每个小正方体的前面或后面，这些位置不会改变前面看到的形状，数出所有符合的位置。
【解析】
(1) 原几何体从左面看为两层的图形，添加小正方体时，可放在前排3个小正方体中任意一个的前面（3种），或后排小正方体的后面（1种），共4种添法，添法不唯一，示例见答案图。
(2) 原几何体从上面看的图形固定，添加小正方体时，可放在前排3个小正方体和后排1个小正方体的上方，共4个位置，即4种添法，添法不唯一，示例见答案图。
(3) 原几何体从前面看是三个并排的正方形，添加小正方体时，可放在前排每个小正方体的前面（3种）或后面（3种），共6种添法，添法不唯一，示例见答案图。
【答案】
(1)4
(2)4
(3)6
（画法不唯一）
【知识点】
观察物体（三视图）、立体图形拼接
【点评】
本题考查对立体图形三视图的理解与应用，需要学生具备一定的空间想象能力，通过分析不同方向视图的特征，确定添加小正方体的合理位置，能够有效锻炼学生的空间思维能力。
【难度系数】
0.6
3. 课堂实践:王老师让同学们用同样的正方体粉笔盒在讲台上摆一个几何体,要使从前面、上面和左面看到的图形都是
。
同学们最少需要用(
最少:
最多:
。同学们最少需要用(
6
)个粉笔盒,最多需要用(8
)个粉笔盒,在下图中表示出他们可能的正确摆法(在每个小正方形上面用数字表示所用粉笔盒个数)。最少:
最多:
答案
3. 6 8
从上面看 （或
）从上面看
从上面看
解析 本题需考虑棱对棱的情况。
从上面看是□□□□→底层需要4个→
从前面看是□□→左右两列各两层，最少□□、□□
从左面看是□□→前后两行各两层，最多□□
解析
【分析】
首先，我们根据三视图的特征逐步推导：
1. 先看俯视图，它是4个小正方形，说明底层必然有4个粉笔盒，呈2行2列的布局。
2. 再结合主视图和左视图，两者都是两层的两个小正方形，这要求几何体的左右两列、前后两行都必须存在两层结构。
3. 求最少数量时，只需在底层对角的两个位置各添加1个粉笔盒，就能同时满足主视图和左视图的要求，此时总数为底层4个加上层2个；求最多数量时，在底层每个位置都添加1个粉笔盒，让每一行每一列都有两层，此时总数为底层4个加上层4个。最后根据这个逻辑画出对应的摆法。
【解析】
1. 确定底层粉笔盒数量：由俯视图可知，底层需摆放4个粉笔盒，呈2行2列分布。
2. 计算最少粉笔盒数：为满足主视图和左视图的两层要求，在底层对角的两个位置各叠加1个粉笔盒，总数为 $4 + 2 = 6$ 个，摆法（从上面看）：
3. 计算最多粉笔盒数：在底层每个位置都叠加1个粉笔盒，使每一行每一列都有两层，满足三个视图要求，总数为 $4 + 4 = 8$ 个，摆法（从上面看）：
【答案】
6 8
最少:（从上面看）
最多:（从上面看）
【知识点】
三视图的应用、正方体组合几何体
【点评】
本题重点考查空间想象能力与三视图的综合应用，解题核心是先通过俯视图确定底层的基础布局，再结合主视图和左视图的要求，推导上层粉笔盒的最少和最多摆放方式，需要学生能将平面视图转化为立体结构。
【难度系数】
0.4
首先，我们根据三视图的特征逐步推导：
1. 先看俯视图，它是4个小正方形，说明底层必然有4个粉笔盒，呈2行2列的布局。
2. 再结合主视图和左视图，两者都是两层的两个小正方形，这要求几何体的左右两列、前后两行都必须存在两层结构。
3. 求最少数量时，只需在底层对角的两个位置各添加1个粉笔盒，就能同时满足主视图和左视图的要求，此时总数为底层4个加上层2个；求最多数量时，在底层每个位置都添加1个粉笔盒，让每一行每一列都有两层，此时总数为底层4个加上层4个。最后根据这个逻辑画出对应的摆法。
【解析】
1. 确定底层粉笔盒数量：由俯视图可知，底层需摆放4个粉笔盒，呈2行2列分布。
2. 计算最少粉笔盒数：为满足主视图和左视图的两层要求，在底层对角的两个位置各叠加1个粉笔盒，总数为 $4 + 2 = 6$ 个，摆法（从上面看）：
3. 计算最多粉笔盒数：在底层每个位置都叠加1个粉笔盒，使每一行每一列都有两层，满足三个视图要求，总数为 $4 + 4 = 8$ 个，摆法（从上面看）：
【答案】
6 8
最少:
（从上面看）最多:
（从上面看）【知识点】
三视图的应用、正方体组合几何体
【点评】
本题重点考查空间想象能力与三视图的综合应用，解题核心是先通过俯视图确定底层的基础布局，再结合主视图和左视图的要求，推导上层粉笔盒的最少和最多摆放方式，需要学生能将平面视图转化为立体结构。
【难度系数】
0.4
五、解决问题。
1. 快递公司的智能机器人通过识别货物从不同方向观察到的图形,来判断货物的数量。如图,这堆货物有多少箱？
1. 快递公司的智能机器人通过识别货物从不同方向观察到的图形,来判断货物的数量。如图,这堆货物有多少箱？
答案
五、1. $3 + 2 + 1 + 1 = 7$(箱)
答:这堆货物有7箱。
解析 以从上面看到的图形入手，填数后相加即可。
从左面看 $\xrightarrow{可确定第1行只有1箱}$
从上面看
从前面看 $\xrightarrow{可确定第2行从左往右依次有3、2、1箱}$
从上面看
解析
【分析】
要确定这堆货物的总箱数，可按以下思路分析：
1. 先借助从上面看到的图形明确货物的摆放布局：货物分为两行，第一行有1个摆放位置，第二行有3个摆放位置。
2. 结合从前面看到的图形，判断出第二行从左到右的每个位置的货物箱数依次为3箱、2箱、1箱。
3. 再结合从左面看到的图形，确定第一行的摆放位置只有1箱。
4. 将所有位置的箱数相加，即可得到货物的总箱数。
【解析】
1. 根据从上面的视图，确定货物的摆放位置：共两行，第一行1个位置，第二行3个位置。
2. 结合从前面的视图，得出第二行从左到右的箱数分别为3箱、2箱、1箱。
3. 结合从左面的视图，确定第一行的位置有1箱。
4. 计算总箱数：$3 + 2 + 1 + 1 = 7$(箱)
【答案】
$3 + 2 + 1 + 1 = 7$(箱)
答:这堆货物有7箱。
【知识点】
三视图的应用
【点评】
本题需要结合三个方向的视图逐步确定每个位置的货物箱数，重点考查空间想象能力，解题关键是先通过上面的视图明确货物布局，再结合其他视图确定各位置的箱数。
【难度系数】
0.6
要确定这堆货物的总箱数，可按以下思路分析：
1. 先借助从上面看到的图形明确货物的摆放布局：货物分为两行，第一行有1个摆放位置，第二行有3个摆放位置。
2. 结合从前面看到的图形，判断出第二行从左到右的每个位置的货物箱数依次为3箱、2箱、1箱。
3. 再结合从左面看到的图形，确定第一行的摆放位置只有1箱。
4. 将所有位置的箱数相加，即可得到货物的总箱数。
【解析】
1. 根据从上面的视图，确定货物的摆放位置：共两行，第一行1个位置，第二行3个位置。
2. 结合从前面的视图，得出第二行从左到右的箱数分别为3箱、2箱、1箱。
3. 结合从左面的视图，确定第一行的位置有1箱。
4. 计算总箱数：$3 + 2 + 1 + 1 = 7$(箱)
【答案】
$3 + 2 + 1 + 1 = 7$(箱)
答:这堆货物有7箱。
【知识点】
三视图的应用
【点评】
本题需要结合三个方向的视图逐步确定每个位置的货物箱数，重点考查空间想象能力，解题关键是先通过上面的视图明确货物布局，再结合其他视图确定各位置的箱数。
【难度系数】
0.6
2. 琳琳要搭建商场展示架,她用一些同样的小正方体模型摆成了如图所示的几何体。
(1)小正方体模型每个面的面积都是$1\ \mathrm{dm}^2$,现在要给这个几何体的前面和后面贴上装饰板,那么至少需要多少平方分米的装饰板？你发现了什么？
(2)如果再添加几个同样的小正方体模型,且从左面和上面看到的图形都不变,那么最多可以添加(
(1)小正方体模型每个面的面积都是$1\ \mathrm{dm}^2$,现在要给这个几何体的前面和后面贴上装饰板,那么至少需要多少平方分米的装饰板？你发现了什么？
(2)如果再添加几个同样的小正方体模型,且从左面和上面看到的图形都不变,那么最多可以添加(
6
)个。答案
2. (1)$6×2×1 = 12(\mathrm{dm}^2)$
答:至少需要$12\ \mathrm{dm}^2$的装饰板，我发现这个几何体前面和后面的小正方形面数一样多。（发现合理即可）
解析 从前面将这个几何体压扁后得到的图形是□□□□。它的反面就是从后面看到的图形。前、后面是一个图形的正反面，因此面数相同，面积也相同。
(2)6
解析 从上面看是□□□□，从左面看是□□，所以每列最多可放3个小正方体模型，如图。
答:至少需要$12\ \mathrm{dm}^2$的装饰板，我发现这个几何体前面和后面的小正方形面数一样多。（发现合理即可）
解析 从前面将这个几何体压扁后得到的图形是□□□□。它的反面就是从后面看到的图形。前、后面是一个图形的正反面，因此面数相同，面积也相同。
(2)6
解析 从上面看是□□□□，从左面看是□□，所以每列最多可放3个小正方体模型，如图。
解析
【分析】
(1) 首先要明确，给几何体的前面和后面贴装饰板，需要先确定前面有多少个小正方形面。由于前后视图是对称的，后面的小正方形面数和前面完全相同，所以先数出前面的面数，再乘2得到前后总面数，最后结合每个面的面积就能算出所需装饰板的总面积，同时可观察到前后小正方形面数相等的规律。
(2) 要解决添加小正方体的问题，需结合左视图和俯视图分析：俯视图确定几何体的列数，左视图确定每列最多可摆放的小正方体层数。先看现有每列的小正方体数量，计算每列最多能添加的数量，最后求和得到最多可添加的总数。
【解析】
(1) 观察几何体前面，能看到6个小正方形面，后面与前面的面数相同，所以前后总面数为$6×2=12$个。
已知每个面面积是$1\ \mathrm{dm}^2$，则装饰板总面积为：$12×1=12(\mathrm{dm}^2)$
答：至少需要$12\ \mathrm{dm}^2$的装饰板，发现这个几何体前面和后面的小正方形面数一样多（合理即可）。
(2) 从上面看几何体有4列，从左面看每列最多可放3个小正方体。现有小正方体：第一列1个，第二列3个（已达上限），第三列1个，第四列1个。
第一列可添加：$3-1=2$个
第三列可添加：$3-1=2$个
第四列可添加：$3-1=2$个
最多可添加总数：$2+2+2=6$个
【答案】
(1) $12\ \mathrm{dm}^2$，发现：这个几何体前面和后面的小正方形面数一样多（合理即可）
(2) 6
【知识点】
1. 观察几何体
2. 正方体表面积应用
【点评】
本题考查从不同方向观察几何体的空间想象能力，以及正方体表面积的实际应用。第一问需利用前后视图的对称性简化计算，第二问需结合左视图和俯视图确定每列的摆放上限，锻炼学生的空间思维。
【难度系数】
0.6
(1) 首先要明确，给几何体的前面和后面贴装饰板，需要先确定前面有多少个小正方形面。由于前后视图是对称的，后面的小正方形面数和前面完全相同，所以先数出前面的面数，再乘2得到前后总面数，最后结合每个面的面积就能算出所需装饰板的总面积，同时可观察到前后小正方形面数相等的规律。
(2) 要解决添加小正方体的问题，需结合左视图和俯视图分析：俯视图确定几何体的列数，左视图确定每列最多可摆放的小正方体层数。先看现有每列的小正方体数量，计算每列最多能添加的数量，最后求和得到最多可添加的总数。
【解析】
(1) 观察几何体前面，能看到6个小正方形面，后面与前面的面数相同，所以前后总面数为$6×2=12$个。
已知每个面面积是$1\ \mathrm{dm}^2$，则装饰板总面积为：$12×1=12(\mathrm{dm}^2)$
答：至少需要$12\ \mathrm{dm}^2$的装饰板，发现这个几何体前面和后面的小正方形面数一样多（合理即可）。
(2) 从上面看几何体有4列，从左面看每列最多可放3个小正方体。现有小正方体：第一列1个，第二列3个（已达上限），第三列1个，第四列1个。
第一列可添加：$3-1=2$个
第三列可添加：$3-1=2$个
第四列可添加：$3-1=2$个
最多可添加总数：$2+2+2=6$个
【答案】
(1) $12\ \mathrm{dm}^2$，发现：这个几何体前面和后面的小正方形面数一样多（合理即可）
(2) 6
【知识点】
1. 观察几何体
2. 正方体表面积应用
【点评】
本题考查从不同方向观察几何体的空间想象能力，以及正方体表面积的实际应用。第一问需利用前后视图的对称性简化计算，第二问需结合左视图和俯视图确定每列的摆放上限，锻炼学生的空间思维。
【难度系数】
0.6
