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8.《九章算术》中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为。
答案
8.$\begin{cases}9x=11y,\\(10y+x)-(8x+y)=13\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先从题目中提取两个独立的等量关系，再对应列方程即可。第一个等量关系是未交换时9枚黄金的总重量与11枚白银的总重量相等；第二个等量关系是交换1枚后甲袋比乙袋轻13两，需先明确交换后两袋的重量构成：交换后甲袋有8枚黄金和1枚白银，乙袋有10枚白银和1枚黄金，用乙袋重量减去甲袋重量等于13两即可列出第二个方程，最后联立两个方程得到方程组。
【解析】
1. 根据“9枚黄金和11枚白银称重相等”的条件，9枚黄金总重等于11枚白银总重，可列方程：$9x=11y$。
2. 分析交换1枚后的两袋重量：
交换后甲袋：原有9枚黄金，拿出1枚黄金、放入1枚白银，总重为$8x+y$；
交换后乙袋：原有11枚白银，拿出1枚白银、放入1枚黄金，总重为$10y+x$。
根据“交换后甲袋比乙袋轻13两”，即乙袋重量减去甲袋重量等于13两，可列方程：$(10y+x)-(8x+y)=13$。
3. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}9x=11y,\\(10y+x)-(8x+y)=13\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系分析
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查列二元一次方程组解决实际问题的能力，解题核心是准确梳理不同状态下的重量关系，尤其要注意交换后两袋的物品构成，以及“轻13两”对应的重量差的表达式顺序，避免列反方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题目中提取两个独立的等量关系，再对应列方程即可。第一个等量关系是未交换时9枚黄金的总重量与11枚白银的总重量相等；第二个等量关系是交换1枚后甲袋比乙袋轻13两，需先明确交换后两袋的重量构成：交换后甲袋有8枚黄金和1枚白银，乙袋有10枚白银和1枚黄金，用乙袋重量减去甲袋重量等于13两即可列出第二个方程，最后联立两个方程得到方程组。
【解析】
1. 根据“9枚黄金和11枚白银称重相等”的条件，9枚黄金总重等于11枚白银总重，可列方程：$9x=11y$。
2. 分析交换1枚后的两袋重量：
交换后甲袋：原有9枚黄金，拿出1枚黄金、放入1枚白银，总重为$8x+y$；
交换后乙袋：原有11枚白银，拿出1枚白银、放入1枚黄金，总重为$10y+x$。
根据“交换后甲袋比乙袋轻13两”，即乙袋重量减去甲袋重量等于13两，可列方程：$(10y+x)-(8x+y)=13$。
3. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}9x=11y,\\(10y+x)-(8x+y)=13\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 等量关系分析
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查列二元一次方程组解决实际问题的能力，解题核心是准确梳理不同状态下的重量关系，尤其要注意交换后两袋的物品构成，以及“轻13两”对应的重量差的表达式顺序，避免列反方程。
【难度系数】
0.7
9. 关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x+ay+1=0, \\ bx+2y+1=0\end{cases}$有无数组解，则$a+b$的值为 ______ 。
答案
9.3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程组有无数组解的条件：当两个方程化简后完全相同时，方程组存在无数组解，此时两个方程中x的系数之比、y的系数之比、常数项之比完全相等。我们可以根据这个比例关系分别求出a、b的取值，最后计算a+b的值即可。
【解析】
∵ 关于x、y的方程组$\begin{cases}x+ay+1=0 \\ bx+2y+1=0\end{cases}$有无数组解
∴ 两个方程的对应项系数比值相等，即：
$\frac{1}{b}=\frac{a}{2}=\frac{1}{1}$
由$\frac{1}{b}=1$，解得$b=1$；
由$\frac{a}{2}=1$，解得$a=2$；
∴ $a+b=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组解的判定、比例的基本性质、代数式求值
【点评】
本题主要考查二元一次方程组有无数组解的判定规则，解题核心是准确掌握两个方程对应系数成比例的规律，计算难度较低，属于对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确二元一次方程组有无数组解的条件：当两个方程化简后完全相同时，方程组存在无数组解，此时两个方程中x的系数之比、y的系数之比、常数项之比完全相等。我们可以根据这个比例关系分别求出a、b的取值，最后计算a+b的值即可。
【解析】
∵ 关于x、y的方程组$\begin{cases}x+ay+1=0 \\ bx+2y+1=0\end{cases}$有无数组解
∴ 两个方程的对应项系数比值相等，即：
$\frac{1}{b}=\frac{a}{2}=\frac{1}{1}$
由$\frac{1}{b}=1$，解得$b=1$；
由$\frac{a}{2}=1$，解得$a=2$；
∴ $a+b=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组解的判定、比例的基本性质、代数式求值
【点评】
本题主要考查二元一次方程组有无数组解的判定规则，解题核心是准确掌握两个方程对应系数成比例的规律，计算难度较低，属于对基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 方程组$\begin{cases}x+y=-1, \\3x-2y=7\end{cases}$的解满足$2x-ky=10$.（k是常数）
（1）求k的值.
（2）直接写出关于x，y的方程$(k-1)x+2y=13$的正整数解.
10. 方程组$\begin{cases}x+y=-1, \\3x-2y=7\end{cases}$的解满足$2x-ky=10$.（k是常数）
（1）求k的值.
（2）直接写出关于x，y的方程$(k-1)x+2y=13$的正整数解.
答案
10.(1) 4
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
解析
【分析】
（1）先求解给出的二元一次方程组，得到x、y的具体取值，再将x、y的值代入含有k的方程$2x-ky=10$，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
（2）把（1）中求得的k代入方程$(k-1)x+2y=13$，将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再结合正整数（x、y都大于0且为整数）的限制条件，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
（1）解方程组$\begin{cases}x+y=-1① \\3x-2y=7②\end{cases}$：
将①两边同乘2，得$2x+2y=-2$③，
②+③消去y，得$5x=5$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①，得$1+y=-1$，解得$y=-2$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\y=-2\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=1 \\y=-2\end{cases}$代入$2x-ky=10$，得$2×1 - k×(-2)=10$，
整理得$2+2k=10$，解得$k=4$。
（2）把$k=4$代入$(k-1)x+2y=13$，得$3x+2y=13$，
变形为$y=\frac{13-3x}{2}$。
因为x、y均为正整数，所以$13-3x＞0$且$13-3x$是2的倍数，
可得$x＜\frac{13}{3}\approx4.33$，x的正整数值可取1、2、3、4：
当$x=1$时，$y=\frac{13-3×1}{2}=5$，符合要求；
当$x=2$时，$y=\frac{13-3×2}{2}=3.5$，不是整数，舍去；
当$x=3$时，$y=\frac{13-3×3}{2}=2$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{13-3×4}{2}=0.5$，不是整数，舍去。
所以正整数解为$\begin{cases}x=1 \\y=5\end{cases}$，$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$。
【答案】
(1) $4$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
【知识点】
1. 解二元一次方程组
2. 求参数值
3. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础应用类题目，解题核心是先求出已知方程组的解，再逐步代入推导后续结果，求正整数解时要注意验证x、y是否同时满足正整数要求，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.75
（1）先求解给出的二元一次方程组，得到x、y的具体取值，再将x、y的值代入含有k的方程$2x-ky=10$，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
（2）把（1）中求得的k代入方程$(k-1)x+2y=13$，将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再结合正整数（x、y都大于0且为整数）的限制条件，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
（1）解方程组$\begin{cases}x+y=-1① \\3x-2y=7②\end{cases}$：
将①两边同乘2，得$2x+2y=-2$③，
②+③消去y，得$5x=5$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①，得$1+y=-1$，解得$y=-2$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\y=-2\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=1 \\y=-2\end{cases}$代入$2x-ky=10$，得$2×1 - k×(-2)=10$，
整理得$2+2k=10$，解得$k=4$。
（2）把$k=4$代入$(k-1)x+2y=13$，得$3x+2y=13$，
变形为$y=\frac{13-3x}{2}$。
因为x、y均为正整数，所以$13-3x＞0$且$13-3x$是2的倍数，
可得$x＜\frac{13}{3}\approx4.33$，x的正整数值可取1、2、3、4：
当$x=1$时，$y=\frac{13-3×1}{2}=5$，符合要求；
当$x=2$时，$y=\frac{13-3×2}{2}=3.5$，不是整数，舍去；
当$x=3$时，$y=\frac{13-3×3}{2}=2$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{13-3×4}{2}=0.5$，不是整数，舍去。
所以正整数解为$\begin{cases}x=1 \\y=5\end{cases}$，$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$。
【答案】
(1) $4$
(2) $\begin{cases}x=1,\\y=5,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$
【知识点】
1. 解二元一次方程组
2. 求参数值
3. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础应用类题目，解题核心是先求出已知方程组的解，再逐步代入推导后续结果，求正整数解时要注意验证x、y是否同时满足正整数要求，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.75
11. 某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表.
（1）求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元.
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动.后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的$\frac{1}{4}$，求此次按原价购买的咖啡有多少箱.
（1）求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元.
（2）超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动.后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的$\frac{1}{4}$，求此次按原价购买的咖啡有多少箱.
答案
11.（1）设每箱牛奶的价格是$x$元，每箱咖啡的价格是$y$元，根据题意得$\begin{cases}20x+10y=1100,\\25x+20y=1750,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30,\\y=50\end{cases}$
（2）$\because 50×0.6=30$（元），$\therefore$打折的咖啡的价格与牛奶的原价价格相同. 设打折的牛奶买了$m$箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了$n$箱，则原价的咖啡买了$4m-m-n=(3m-n)$箱. 根据题意得$30×0.6m+30n+50(3m-n)=1200$，$\therefore 42m-5n=300$. 又$\because m$，$n$，$3m-n$均为非负整数，$\therefore \begin{cases}m=10,\\n=24,\end{cases}\therefore 3m-n=3×10-24=6$（箱），$\therefore$此次按原价购买的咖啡有6箱
（2）$\because 50×0.6=30$（元），$\therefore$打折的咖啡的价格与牛奶的原价价格相同. 设打折的牛奶买了$m$箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了$n$箱，则原价的咖啡买了$4m-m-n=(3m-n)$箱. 根据题意得$30×0.6m+30n+50(3m-n)=1200$，$\therefore 42m-5n=300$. 又$\because m$，$n$，$3m-n$均为非负整数，$\therefore \begin{cases}m=10,\\n=24,\end{cases}\therefore 3m-n=3×10-24=6$（箱），$\therefore$此次按原价购买的咖啡有6箱
解析
【分析】
（1）要计算牛奶和咖啡的单价，可分别设两个未知数，根据表格中两个方案的购买数量、总金额找到两组等量关系，列二元一次方程组求解即可。
（2）先计算打折后咖啡的单价，可发现其与原价牛奶单价相同，能简化计算过程。再根据“打折牛奶箱数是总箱数的$\frac{1}{4}$”设对应未知数，结合总花费1200元列方程，最后根据“箱数为非负整数”的实际意义，筛选出符合条件的解，即可求出原价购买的咖啡箱数。
【解析】
（1）设每箱牛奶的价格是$x$元，每箱咖啡的价格是$y$元。
根据方案一的总金额可得：$20x+10y=1100$
根据方案二的总金额可得：$25x+20y=1750$
联立得方程组$\begin{cases}20x+10y=1100\\25x+20y=1750\end{cases}$
将第一个方程化简为$2x+y=110$，变形得$y=110-2x$，代入第二个方程：
$25x+20(110-2x)=1750$
$25x+2200-40x=1750$
$-15x=-450$
解得$x=30$，代入$y=110-2x$得$y=110-2×30=50$。
（2）打折后咖啡的单价为$50×0.6=30$（元），与原价牛奶单价相同。
设打折的牛奶买了$m$箱，由题意得所有牛奶、咖啡的总箱数为$4m$箱。
设打折的咖啡和原价的牛奶共买了$n$箱，则按原价购买的咖啡箱数为$4m-m-n=3m-n$箱。
根据总花费为1200元列方程：
$30×0.6· m + 30n + 50(3m-n)=1200$
整理得：$18m+30n+150m-50n=1200$
化简得：$42m-5n=300$，即$n=\frac{42m-300}{5}$。
由于$m$、$n$、$3m-n$均为表示箱数的非负整数，代入验证可得仅当$m=10$时，$n=24$，此时$3m-n=3×10-24=6$，符合所有条件。
【答案】
（1）牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）此次按原价购买的咖啡有6箱。
【知识点】
二元一次方程组应用，打折销售问题，二元一次方程整数解
【点评】
本题结合生活实际的采购场景命题，第一问属于基础的二元一次方程组建模求解问题，第二问需要结合实际场景挖掘未知数的非负整数属性筛选解，较好地考查了学生的建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）要计算牛奶和咖啡的单价，可分别设两个未知数，根据表格中两个方案的购买数量、总金额找到两组等量关系，列二元一次方程组求解即可。
（2）先计算打折后咖啡的单价，可发现其与原价牛奶单价相同，能简化计算过程。再根据“打折牛奶箱数是总箱数的$\frac{1}{4}$”设对应未知数，结合总花费1200元列方程，最后根据“箱数为非负整数”的实际意义，筛选出符合条件的解，即可求出原价购买的咖啡箱数。
【解析】
（1）设每箱牛奶的价格是$x$元，每箱咖啡的价格是$y$元。
根据方案一的总金额可得：$20x+10y=1100$
根据方案二的总金额可得：$25x+20y=1750$
联立得方程组$\begin{cases}20x+10y=1100\\25x+20y=1750\end{cases}$
将第一个方程化简为$2x+y=110$，变形得$y=110-2x$，代入第二个方程：
$25x+20(110-2x)=1750$
$25x+2200-40x=1750$
$-15x=-450$
解得$x=30$，代入$y=110-2x$得$y=110-2×30=50$。
（2）打折后咖啡的单价为$50×0.6=30$（元），与原价牛奶单价相同。
设打折的牛奶买了$m$箱，由题意得所有牛奶、咖啡的总箱数为$4m$箱。
设打折的咖啡和原价的牛奶共买了$n$箱，则按原价购买的咖啡箱数为$4m-m-n=3m-n$箱。
根据总花费为1200元列方程：
$30×0.6· m + 30n + 50(3m-n)=1200$
整理得：$18m+30n+150m-50n=1200$
化简得：$42m-5n=300$，即$n=\frac{42m-300}{5}$。
由于$m$、$n$、$3m-n$均为表示箱数的非负整数，代入验证可得仅当$m=10$时，$n=24$，此时$3m-n=3×10-24=6$，符合所有条件。
【答案】
（1）牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）此次按原价购买的咖啡有6箱。
【知识点】
二元一次方程组应用，打折销售问题，二元一次方程整数解
【点评】
本题结合生活实际的采购场景命题，第一问属于基础的二元一次方程组建模求解问题，第二问需要结合实际场景挖掘未知数的非负整数属性筛选解，较好地考查了学生的建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
