1. (2025 南京市秦淮区期末)用配方法解方程
$x^{2}-8x-5=0$,变形后的结果正确的是
（）

A.$(x-4)^{2}=21$
B.$(x-4)^{2}=5$
C.$(x+4)^{2}=5$
D.$(x+4)^{2}=21$

A

【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路为：先将方程的常数项移到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，将左边转化为完全平方式，从而得到变形后的结果。
【解析】用配方法解方程$x^2 -8x -5=0$，步骤如下：
1. 移项：把常数项$-5$移到等号右边，得$x^2 -8x =5$；
2. 配方：一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-8÷2)^2=16$，在等号两边同时加上16，得$x^2 -8x +16 =5 +16$；
3. 整理：左边可化为完全平方式，即$(x-4)^2=21$。
因此变形后的结果对应选项A。
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握移项和配方的关键操作，只要牢记“加一次项系数一半的平方”这一要点，即可快速得出正确结果。
【难度系数】0.6

2. (2024 河北省中考)淇淇在计算正数 $a$ 的平方时,误算成 $a$ 与 2 的积,求得的答案比正确答案小 1,则 $a$ 的值为()

A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1 或 $\sqrt{2}+1$

C

【分析】首先明确题目中的等量关系：正确计算是正数$a$的平方，即$a^2$；误算成$a$与2的积，即$2a$，且误算结果比正确结果小1，因此正确结果减去误算结果等于1，据此列出一元二次方程，再结合$a$是正数的条件筛选出符合要求的解。
【解析】根据题意，正确答案为$a^2$，误算的答案为$2a$，由两者相差1可得方程：
$a^2 - 2a = 1$
整理为一元二次方程的标准形式：
$a^2 - 2a - 1 = 0$
使用求根公式，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（此处$A=1$，$B=-2$，$C=-1$），根为$a=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$，代入得：
判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(-1)=8$
则根为：
$a=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因为$a$是正数，$1-\sqrt{2}\approx-0.414＜0$，不符合要求，舍去；$1+\sqrt{2}＞0$，符合条件，故$a=\sqrt{2}+1$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用、正数的性质
【点评】本题考查一元二次方程的简单应用，核心是根据题意建立等量关系，解方程后需注意题目中“正数$a$”的限制条件，排除不符合的解，整体难度适中，属于中考基础题型。
【难度系数】0.6

3. 若 $a,b,c$ 分别是 $△ ABC$ 的三条边长，且满足 $a^2+2ab=c^2+2bc$，则 $△ ABC$ 是（）

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形

B 提示:配方,得$a^{2}+2ab+b^{2}=c^{2}+2bc+b^{2}$,即$(a+b)^{2}=(c+b)^{2}$.根据题意,可知a,b,c均大于0,所以$a+b=b+c$,所以$a=c$,所以$△ ABC$是等腰三角形.

【分析】要判断△ABC的类型，需根据给定的边长等式推导边的关系。观察等式含二次项和一次项，可通过配方转化为完全平方形式，再结合三角形边长为正数的性质，化简得到边的相等关系，进而确定三角形类型。
【解析】已知$a^2 + 2ab = c^2 + 2bc$，两边同时加$b^2$，得：
$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2bc + b^2$，
根据完全平方公式，左边为$(a + b)^2$，右边为$(c + b)^2$，即：
$(a + b)^2 = (c + b)^2$。
因为$a,b,c$是△ABC的三条边长，所以$a＞0,b＞0,c＞0$，则$a + b＞0$，$c + b＞0$，开平方得：
$a + b = c + b$，
两边同时减$b$，得$a = c$，即△ABC有两条边相等，故为等腰三角形。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、等腰三角形判定
【点评】本题通过配方变形等式，结合三角形边长的性质推导边的关系，是代数与几何结合的基础题，重点考察完全平方公式的应用和等腰三角形的判定。
【难度系数】0.7

4. 若一元二次方程$x^{2}-4x+3=0$配方为$(x-2)^{2}=k$,则$k$的值是.

1

【分析】本题考查一元二次方程的配方法应用，解题思路是先将原方程的常数项移到等号右侧，再在等号两侧加上一次项系数一半的平方完成配方，进而求出k的值。
【解析】对一元二次方程$x^2 -4x +3=0$配方：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$x^2 -4x = -3$；
2. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，两边加4得$x^2 -4x +4 = -3 +4$；
3. 化为完全平方式：左边为$(x-2)^2$，右边为1，即$(x-2)^2=1$，对比$(x-2)^2=k$，得k=1。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的配方法
【点评】本题是一元二次方程配方法的基础题型，直接考察配方法的基本操作步骤，属于基础知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.8

5. 若一元二次方程$x^{2}-ax+b=0$配方后为$(x-4)^{2}=3$，则$a+b=$。

21

【分析】要解决这个问题，需先将配方后的方程展开为一元二次方程的一般形式，再与原方程对比对应项的系数，求出a、b的值，最后计算a+b。
【解析】解：将配方后的方程$(x-4)^2=3$展开并整理为一般式：
$x^2 - 8x + 16 = 3$
移项得：$x^2 - 8x + 13 = 0$
已知原一元二次方程为$x^2 - ax + b = 0$，两个方程对应项系数相等，因此：
$-a = -8$，解得$a=8$；
$b=13$；
则$a+b = 8 + 13 = 21$。
【答案】21
【知识点】一元二次方程的配方、一元二次方程的系数对应
【点评】本题是一元二次方程配方的基础应用，核心是利用配方前后方程的一致性，通过系数对应求解参数，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

6. 填空：
(1) $x^{2}-12x+$ $=(x-$ $)^{2}$；
(2) $x^{2}+6x+$ $=(x+$ $)^{2}$；
(3) $x^{2}-3x+$ $=(x-$ $)^{2}$；
(4) $x^{2}-\dfrac{5}{2}x+$ $=(x-$ $)^{2}.$

(1) 36 6 (2) 9 3 (3) $\dfrac{9}{4}$ $\dfrac{3}{2}$
(4) $\dfrac{25}{16}$ $\dfrac{5}{4}$

【分析】这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是：根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于形如$x^2+mx+n$的式子，要配成完全平方形式，常数项$n$等于一次项系数$m$一半的平方，括号内的常数项为$m$的一半（符号与一次项的符号一致），据此依次计算每个小题的空缺部分即可。
【解析】根据完全平方公式的配方法规则：
(1) 一次项系数为$-12$，其一半为$-6$，平方为$(-6)^2=36$，因此$x^2-12x+36=(x-6)^2$；
(2) 一次项系数为$6$，其一半为$3$，平方为$3^2=9$，因此$x^2+6x+9=(x+3)^2$；
(3) 一次项系数为$-3$，其一半为$-\frac{3}{2}$，平方为$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此$x^2-3x+\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2$；
(4) 一次项系数为$-\frac{5}{2}$，其一半为$-\frac{5}{4}$，平方为$(-\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，因此$x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=(x-\frac{5}{4})^2$。
【答案】(1) $36$，$6$；(2) $9$，$3$；(3) $\dfrac{9}{4}$，$\dfrac{3}{2}$；(4) $\dfrac{25}{16}$，$\dfrac{5}{4}$
【知识点】完全平方公式，配方法
【点评】本题是完全平方公式的基础应用题目，核心是掌握“常数项为一次项系数一半的平方”这一配方法规则，难度较低，属于代数变形的基础巩固题型，适合夯实相关技能。
【难度系数】0.8

7. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}+3x-1=0$；
(2) $x^{2}-\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{3}=0.$

解:(1) 移项,得$x^{2}+3x=1$.配方,得$x^{2}+3x+(\dfrac{3}{2})^{2}=1+(\dfrac{3}{2})^{2}$,即$(x+\dfrac{3}{2})^{2}=\dfrac{13}{4}$.直接开平方,得$x+\dfrac{3}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.所以$x_{1}=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$.
(2) 移项,得$x^{2}-\dfrac{1}{6}x=\dfrac{1}{3}$.配方,得$x^{2}-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{144}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{144}$,即$(x-\dfrac{1}{12})^{2}=\dfrac{49}{144}$.直接开平方,得$x-\dfrac{1}{12}=\pm\dfrac{7}{12}$.所以$x_{1}=\dfrac{2}{3}$,$x_{2}=-\dfrac{1}{2}$.

【分析】
用配方法解一元二次方程的思路是：先移项，将常数项移到方程右侧，使方程左侧仅含二次项和一次项；再配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；接着对完全平方式直接开平方，转化为两个一元一次方程；最后解一元一次方程，得到原方程的解。本题需按照此步骤分别求解两个方程。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 3x = 1$。
配方，得 $x^2 + 3x + (\dfrac{3}{2})^2 = 1 + (\dfrac{3}{2})^2$，即 $(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$。
直接开平方，得 $x + \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$。
所以 $x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{13}}{2}$。
(2) 移项，得 $x^2 - \dfrac{1}{6}x = \dfrac{1}{3}$。
配方，得 $x^2 - \dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{144} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{144}$，即 $(x - \dfrac{1}{12})^2 = \dfrac{49}{144}$。
直接开平方，得 $x - \dfrac{1}{12} = \pm\dfrac{7}{12}$。
所以 $x_1 = \dfrac{2}{3}$，$x_2 = -\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1 = \dfrac{2}{3}$，$x_2 = -\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，属于基础题型，核心是掌握配方的关键操作（在方程两边加一次项系数一半的平方），计算时需注意分数的运算准确性，是一元二次方程解法的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

8. 综合与实践.
【初步探索】
(1) 欧几里得的《几何原本》记载,对于形如$x^{2}+ax=b^{2}$的方程,可用如图 1 的几何解法:作$\mathrm{Rt}△ ABC$,其中$∠ C=90^{\circ }$,$AC=b$,$BC=\dfrac {a}{2}$, 在斜边 $AB$ 上截取$BD=BC$, 则该方程的其中一个正根是哪段线段的长? 说明你的理由.

【再次探索】
(2) 我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法: 以方程$x^{2}+10x=36$为例,因为$x^{2}+10x=36$, 所以有$x(x+10)=36$. 如图 2, 用 4 个长都是$(x+10)$, 宽都是 $x$ 的相同矩形, 拼成如图所示的正方形.
图 2 中, 大正方形的面积可以表示为(用含 $x$ 的代数式表示); 另一方面, 它又等于 4 个小矩形的面积加上中间小正方形的面积, 即等于$4× 36+100$, 故可得原方程的一个正根是.
【类比运用】
(3) 请分别用上述两种几何方法直观地求方程$x^{2}+2x-4=0$的正根 (请画出图形, 注意在图中标注出相关线段的长度).

解:(1) 该方程的其中一个正根是线段AD的长.理由如下:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,根据勾股定理,得$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$,所以$(\dfrac{a}{2})^{2}+b^{2}=(\dfrac{a}{2}+AD)^{2}$.整理,得$AD^{2}+aAD=b^{2}$.所以对于形如$x^{2}+ax=b^{2}$的方程,其中一个正根是线段AD的长.
(2) $(2x+10)^{2}$ $x=\sqrt{61}-5$
(3) 因为$x^{2}+2x-4=0$,所以$x^{2}+2x=4$.
方法一:如图1,作$\mathrm{Rt}△ ABC$,其中$∠ C=90°$,$AC=2$,$BC=1$,在斜边AB上截取$BD=BC$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$,则该方程的其中一个正根为AD的长,即$\sqrt{5}-1$.

方法二:如图2,用4个长是$(x+2)$,宽是$x$的矩形拼成如图所示的正方形.因为$x^{2}+2x=4$,所以$x(x+2)=4$,所以一个矩形的面积是4,所以$(2x+2)^{2}=4×4+2^{2}=20$,所以$(x+1)^{2}=5$,所以该方程的一个正根为$\sqrt{5}-1$.

【分析】
本题是一元二次方程的几何解法综合实践题，分三小问逐步引导：
1. 第(1)问：利用勾股定理建立直角三角形边长与方程系数的对应关系，通过代数变形推导线段AD为方程的正根，核心是将几何线段长度与方程根关联；
2. 第(2)问：运用面积法，把大正方形面积拆分为4个矩形面积加中间小正方形面积，结合已知方程的矩形面积，计算大正方形边长进而求解正根，关键是确定大、小正方形的边长表达式；
3. 第(3)问：类比前两种几何方法，先将方程变形为符合前两问的形式，再分别用直角三角形截取线段、赵爽弦图两种方式，通过勾股定理或面积法求正根，需掌握类比迁移的思路。
【解析】
(1) 设方程$x^2+ax=b^2$的正根为$AD=x$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=b$，$BC=\frac{a}{2}$，则斜边$AB=AD+BD$，又$BD=BC=\frac{a}{2}$，故$AB=x+\frac{a}{2}$。
根据勾股定理：$BC^2+AC^2=AB^2$，代入得：
$(\frac{a}{2})^2 + b^2 = (x+\frac{a}{2})^2$
展开右边得$x^2 + ax + \frac{a^2}{4}$，整理后消去$\frac{a^2}{4}$，得$x^2 + ax = b^2$，与原方程一致，因此正根为线段AD的长。
(2) 图2中，大正方形的边长为矩形长加宽，即$x+(x+10)=2x+10$，故大正方形面积为$(2x+10)^2$；中间小正方形边长为$(x+10)-x=10$，面积为$10^2=100$，4个矩形面积为$4×36=144$，因此大正方形面积也为$144+100=244$，即$(2x+10)^2=244$。因$x＞0$，故$2x+10=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$，解得$x=\sqrt{61}-5$，即原方程的正根为$\sqrt{61}-5$。
(3) 方程$x^2+2x-4=0$变形为$x^2+2x=4$，对应$a=2$，$b=4$：
方法一（欧几里得法）：作$\mathrm{Rt}△ ABC$，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，斜边$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，在$AB$上截取$BD=BC=1$，则正根$AD=AB-BD=\sqrt{5}-1$；
方法二（赵爽弦图法）：用4个长为$(x+2)$、宽为$x$的矩形拼正方形，矩形面积为4，中间小正方形边长为2，面积为$2^2=4$，大正方形面积为$4×4+4=20$，大正方形边长为$2x+2$，故$(2x+2)^2=20$，解得正根$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 线段AD的长；
(2) $(2x+10)^2$；$\sqrt{61}-5$；
(3) 正根为$\sqrt{5}-1$，图形如下：


【知识点】
一元二次方程的几何解法、勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题通过几何图形直观呈现一元二次方程的根，体现数形结合思想，引导学生将代数问题转化为几何问题求解，培养几何直观与代数运算的迁移能力，是跨学科的综合实践题。
【难度系数】
0.5