1. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同溶液中时，浸在溶液中的高度$h$（cm）与溶液的密度$\rho (\mathrm{g/cm^3})$之间满足反比例函数$h=\dfrac{k}{\rho }$$(k≠ 0,\rho＞0)$的关系，其图象如图所示. 当溶液密度$\rho =4\ \mathrm{g/cm^3}$时，密度计浸在溶液中的高度$h$为（）


A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$

1. D 提示:设反比例函数表达式为$h=\dfrac{k}{\rho}$. 因为当$\rho=1$时,$h=20$,所以$k=1×20=20$. 所以$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\dfrac{20}{\rho}$,把$\rho=4\ \mathrm{g/cm^3}$代入$h=\dfrac{20}{\rho}$,得$h=\dfrac{20}{4}=5(\mathrm{cm})$,所以密度计浸在溶液中的高度$h$为$5\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要解决该问题，需先根据题目给出的反比例关系和图像上的已知点，用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将给定的溶液密度代入解析式，计算对应的浸液高度h，从而得到答案。
【解析】
设反比例函数的表达式为$ h = \dfrac{k}{\rho} $（$ k≠0,\rho＞0 $）。
由图像可知，当$ \rho = 1\ \mathrm{g/cm^3} $时，$ h = 20\ \mathrm{cm} $，将其代入表达式得：
$ 20 = \dfrac{k}{1} $，解得$ k = 20 $。
因此，h与ρ的函数表达式为$ h = \dfrac{20}{\rho} $。
当$ \rho = 4\ \mathrm{g/cm^3} $时，代入表达式得：
$ h = \dfrac{20}{4} = 5\ \mathrm{cm} $。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，再代入求值，解题思路清晰，计算简单，属于容易题。
【难度系数】
0.7

2. 密度计是一种重要的密度分析仪表,用于连续测量液体的密度,进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数,广泛应用于化工生产装置中,其检测精度和稳定性直接影响到产品质量. 如图,密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度$h$(cm)是液体的密度$\rho (\mathrm{g/cm^3})$的函数,其函数关系的部分对应值如下表($\rho＞0$).


当液体密度$\rho=12\ \mathrm{g/cm^3}$时,浸在液体中的高度$h=$cm.

2. $\dfrac{3}{2}$ 提示:由表格数据可知,浸在液体中的高度$h(\mathrm{cm})$是液体的密度$\rho(\mathrm{g/cm^3})$的反比例函数,所以可设$h=\dfrac{k}{\rho}(k≠0)$,因为当密度计悬浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm^3}$的水中时,$h=18\ \mathrm{cm}$,所以$18=\dfrac{k}{1}$,解得$k=18$,所以$h=\dfrac{18}{\rho}$,所以当$\rho=12\ \mathrm{g/cm^3}$时,$h=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}(\mathrm{cm})$.

【分析】
首先根据题目中h与ρ的对应关系，判断两者成反比例函数关系；接着用待定系数法设出反比例函数解析式，利用已知的一组ρ和h的值求出比例系数k，得到函数解析式；最后将ρ=12代入解析式，计算对应的h值。
【解析】
解：由题意可知，浸在液体中的高度$ h $与液体密度$ \rho $成反比例函数关系，设其函数解析式为$ h = \frac{k}{\rho} (k ≠ 0) $。
将$ \rho = 1\ \mathrm{g/cm^3} $，$ h = 18\ \mathrm{cm} $代入解析式，得$ 18 = \frac{k}{1} $，解得$ k = 18 $。
因此函数解析式为$ h = \frac{18}{\rho} $。
当$ \rho = 12\ \mathrm{g/cm^3} $时，代入得$ h = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题是反比例函数在实际生产中的基础应用题，关键在于判断变量间的反比例关系，通过待定系数法确定解析式后代入求值，整体难度不大，侧重考查学生对反比例函数应用的掌握。
【难度系数】
0.8

3. 某科技小组学习了测量密度后,查阅相关资料,自制了一个如图所示的简易吸管密度计(圆柱形),并进行了调试实验,将吸管密度计浸入液体中,静止后浸入液体的深度记为 $x\ \mathrm{cm}$,该液体的密度记为 $y\ \mathrm{g/cm^3}$,部分实验数据如下表:

(1) 根据调试数据发现 $y\ (\mathrm{g/cm^3})$ 是$x\ (\mathrm{cm})$ 的反比例函数,求 $y\ (\mathrm{g/cm^3})$ 与$x\ (\mathrm{cm})$ 之间的函数表达式.
(2) 为了验证自制吸管密度计的准确性,小组成员将自制吸管密度计浸入已知密度为 $1.2\ \mathrm{g/cm^3}$ 的液体中,静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确?
(3) 调试结束之后,小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为 $10\ \mathrm{cm}$,最少浸入液体的深度需 $3\ \mathrm{cm}$ 才能保持测量状态稳定,请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度 $y\ (\mathrm{g/cm^3})$ 的取值范围.

3. 解:(1) 由题意设 $y(\mathrm{g/cm^3})$ 与 $x(\mathrm{cm})$ 之间的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$,将 $x=6$,$y=1$ 代入,得 $1=\dfrac{k}{6}$,解得 $k=6$,所以 $y(\mathrm{g/cm^3})$ 与 $x(\mathrm{cm})$ 之间的函数表达式为 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$.
(2) 因为 $y(\mathrm{g/cm^3})$ 与 $x(\mathrm{cm})$ 之间的函数表达式为 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$,所以将 $y=1.2$ 代入,得 $1.2=\dfrac{6}{x}$,解得 $x=5$.
答:静止后浸入液体的深度稳定在约 $5\ \mathrm{cm}$ 可说明此自制吸管密度计较准确.
(3) 当 $x=10$ 时,$y=\dfrac{6}{10}=0.6$,当 $x=3$ 时,$y=\dfrac{6}{3}=2$,所以这个吸管密度计能够测量的液体密度 $y(\mathrm{g/cm^3})$ 的取值范围是 $0.6≤ y≤2$.

【分析】
本题围绕简易吸管密度计的测量问题，利用反比例函数解决实际问题。第(1)问，题目明确y是x的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式，再代入一组对应值求出比例系数k，即可得到函数表达式；第(2)问，将已知的液体密度y代入已求得的反比例函数，解出对应的x，就是所求的浸入深度；第(3)问，根据题目给出的x的取值范围，分别代入函数求出对应的y值，进而确定y的取值范围。
【解析】
(1) 因为y是x的反比例函数，设函数表达式为$ y = \frac{k}{x} (x＞0) $。
将$ x=6 $，$ y=1 $代入表达式，得$ 1 = \frac{k}{6} $，解得$ k=6 $。
因此，y与x之间的函数表达式为$ y = \frac{6}{x} (x＞0) $。
(2) 将$ y=1.2 $代入$ y = \frac{6}{x} $，得$ 1.2 = \frac{6}{x} $，
解得$ x = \frac{6}{1.2} = 5 $。
(3) 当$ x=10 $时，$ y = \frac{6}{10} = 0.6 $；
当$ x=3 $时，$ y = \frac{6}{3} = 2 $。
所以y的取值范围是$ 0.6 ≤ y ≤ 2 $。
【答案】
(1) $ y = \frac{6}{x} (x＞0) $；(2) 5cm；(3) $ 0.6 ≤ y ≤ 2 $
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数的应用
【点评】
本题结合简易吸管密度计的实际场景，考查反比例函数的应用，步骤清晰，侧重基础应用，需要学生掌握反比例函数的设式、代入求值及范围确定的方法。
【难度系数】
0.6