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9. 如图 3, 已知点 $A(-1,0)$ 和点 $B(1,2)$, 在 $y$ 轴的正半轴上确定点 $P$, 使得 $△ ABP$ 为直角三角形, 则满足条件的点 $P$ 的个数为
(
A.1
B.2
C.3
D.4
(
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9.B
解析
【分析】
要确定y轴正半轴上使△ABP为直角三角形的点P的个数，需采用分类讨论思想：直角三角形的直角顶点未明确，因此分三种情况讨论：①∠A为直角；②∠B为直角；③∠P为直角。设点P坐标为(0,p)（p＞0，符合y轴正半轴要求），结合勾股定理分别计算每种情况下p的取值，判断是否满足p＞0的条件，最终统计符合条件的点的个数即可。
【解析】
设点P的坐标为$(0,p)$，其中$p＞0$（满足P在y轴正半轴的要求）。
先计算各线段长度的平方：
$AB^2=(1-(-1))^2+(2-0)^2=2^2+2^2=8$
$AP^2=(0-(-1))^2+(p-0)^2=1+p^2$
$BP^2=(0-1)^2+(p-2)^2=1+(p-2)^2$
分三种情况讨论：
1. 当∠A为直角时，由勾股定理得$AB^2 + AP^2 = BP^2$
代入得：$8 + 1 + p^2 = 1 + (p-2)^2$
化简得：$9+p^2=p^2-4p+5$，解得$p=-1$，不符合$p＞0$的条件，舍去。
2. 当∠B为直角时，由勾股定理得$AB^2 + BP^2 = AP^2$
代入得：$8 + 1 + (p-2)^2 = 1 + p^2$
化简得：$9+p^2-4p+4 = 1+p^2$，解得$p=3$，符合$p＞0$，存在对应点P。
3. 当∠P为直角时，由勾股定理得$AP^2 + BP^2 = AB^2$
代入得：$1+p^2 + 1 + (p-2)^2 = 8$
化简得：$2p^2-4p+6=8$，即$p^2-2p-1=0$
解得$p=1\pm\sqrt{2}$，其中$p=1-\sqrt{2}＜0$舍去，$p=1+\sqrt{2}＞0$，符合要求，存在对应点P。
综上，符合条件的点P共有2个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，分类讨论思想，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的关键是明确直角顶点的三种可能情况，结合坐标与勾股定理求解，同时要注意题目中点P在y轴正半轴的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
要确定y轴正半轴上使△ABP为直角三角形的点P的个数，需采用分类讨论思想：直角三角形的直角顶点未明确，因此分三种情况讨论：①∠A为直角；②∠B为直角；③∠P为直角。设点P坐标为(0,p)（p＞0，符合y轴正半轴要求），结合勾股定理分别计算每种情况下p的取值，判断是否满足p＞0的条件，最终统计符合条件的点的个数即可。
【解析】
设点P的坐标为$(0,p)$，其中$p＞0$（满足P在y轴正半轴的要求）。
先计算各线段长度的平方：
$AB^2=(1-(-1))^2+(2-0)^2=2^2+2^2=8$
$AP^2=(0-(-1))^2+(p-0)^2=1+p^2$
$BP^2=(0-1)^2+(p-2)^2=1+(p-2)^2$
分三种情况讨论：
1. 当∠A为直角时，由勾股定理得$AB^2 + AP^2 = BP^2$
代入得：$8 + 1 + p^2 = 1 + (p-2)^2$
化简得：$9+p^2=p^2-4p+5$，解得$p=-1$，不符合$p＞0$的条件，舍去。
2. 当∠B为直角时，由勾股定理得$AB^2 + BP^2 = AP^2$
代入得：$8 + 1 + (p-2)^2 = 1 + p^2$
化简得：$9+p^2-4p+4 = 1+p^2$，解得$p=3$，符合$p＞0$，存在对应点P。
3. 当∠P为直角时，由勾股定理得$AP^2 + BP^2 = AB^2$
代入得：$1+p^2 + 1 + (p-2)^2 = 8$
化简得：$2p^2-4p+6=8$，即$p^2-2p-1=0$
解得$p=1\pm\sqrt{2}$，其中$p=1-\sqrt{2}＜0$舍去，$p=1+\sqrt{2}＞0$，符合要求，存在对应点P。
综上，符合条件的点P共有2个。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，分类讨论思想，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的关键是明确直角顶点的三种可能情况，结合坐标与勾股定理求解，同时要注意题目中点P在y轴正半轴的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
10. 如图 4, 四边形 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°,E 是 DA 的中点,F 是对角线AC 上一点,且 ∠DEF=45°,则 AF : FC 的值是
(
图 4
A.3
B.$\sqrt{5}+1$
C.$2\sqrt{2}+1$
D.$2+\sqrt{3}$
(
D
)图 4
A.3
B.$\sqrt{5}+1$
C.$2\sqrt{2}+1$
D.$2+\sqrt{3}$
答案
10.D 提示:如图,连接DB,交AC于点O,连接OE.
∵ 四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴ ∠DAC=1/2∠DAB=30°,AC⊥BD,OD=1/2BD,AC=2AO,AB=AD.
∵ ∠DAB = 60°,
∴ △ABD 是等边三角形.
∴ DB=AD.
∵ ∠AOD=90°,E是DA的中点,
∴ OE=AE=DE=1/2AD.设 OE=AE=DE=a( a＞0).
∴ AD=BD=2a.
∴ OD=1/2BD = a. 在Rt△AOD 中, AO = √(AD²-OD²) = √((2a)²-a²) =√3 a,
∴ AC=2AO=2√3 a.
∵ EA=EO,
∴ ∠EAO=∠EOA=30°.
∴ ∠DEO =∠EAO+∠EOA=60°.
∵ ∠DEF=45°,
∴ ∠OEF=∠DEO-∠DEF=15°.
∴ ∠EFO=∠EOA-∠OEF=15°.
∴ ∠OEF=∠EFO=15°.
∴ OE=OF=a.
∴ AF=AO+OF=√3 a+a.
∴ FC=AC-AF=√3 a -a.
∴ AF/FC=(√3 a+a)/(√3 a -a)=(√3+1)/(√3-1)=2+√3.
解析
【分析】
解决本题首先要结合菱形的性质添加辅助线：连接BD交AC于点O，连接OE。首先利用菱形对角线平分内角、互相垂直平分的性质，得到∠DAC=30°、AC⊥BD；再结合∠DAB=60°、AD=AB，推出△ABD是等边三角形。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OE=AE=DE，设参数a表示各相关线段长度，再通过角度推导得出∠OEF=∠EFO，得到OE=OF，最后分别表示出AF和FC的长度，计算比值即可。
【解析】
解：如图，连接DB，交AC于点O，连接OE。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ ∠DAC=½∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=½BD，AC=2AO，AB=AD。
∵ ∠DAB=60°，AB=AD，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ DB=AD。
∵ ∠AOD=90°，E是DA的中点，
∴ OE=AE=DE=½AD。
设OE=AE=DE=a（a＞0），
∴ AD=BD=2a，
∴ OD=½BD=a。
在Rt△AOD中，AO=√(AD²-OD²)=√((2a)²-a²)=√3 a，
∴ AC=2AO=2√3 a。
∵ EA=EO，
∴ ∠EAO=∠EOA=30°，
∴ ∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°。
∵ ∠DEF=45°，
∴ ∠OEF=∠DEO-∠DEF=60°-45°=15°。
∵ ∠EOA是△EOF的外角，
∴ ∠EFO=∠EOA-∠OEF=30°-15°=15°，
∴ ∠OEF=∠EFO，
∴ OF=OE=a。
∴ AF=AO+OF=√3 a + a，
FC=AC-AF=2√3 a - (√3 a + a)=√3 a - a。
∴ AF:FC=(√3 a + a):(√3 a - a)=(√3+1)/(√3-1)=2+√3。
【答案】D
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查特殊四边形和特殊三角形的相关性质，解题的关键是合理添加辅助线构造特殊三角形，通过角度推导得到等线段关系，结合参数法和二次根式化简计算线段比值，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要结合菱形的性质添加辅助线：连接BD交AC于点O，连接OE。首先利用菱形对角线平分内角、互相垂直平分的性质，得到∠DAC=30°、AC⊥BD；再结合∠DAB=60°、AD=AB，推出△ABD是等边三角形。根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OE=AE=DE，设参数a表示各相关线段长度，再通过角度推导得出∠OEF=∠EFO，得到OE=OF，最后分别表示出AF和FC的长度，计算比值即可。
【解析】
解：如图，连接DB，交AC于点O，连接OE。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ ∠DAC=½∠DAB=30°，AC⊥BD，OD=½BD，AC=2AO，AB=AD。
∵ ∠DAB=60°，AB=AD，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ DB=AD。
∵ ∠AOD=90°，E是DA的中点，
∴ OE=AE=DE=½AD。
设OE=AE=DE=a（a＞0），
∴ AD=BD=2a，
∴ OD=½BD=a。
在Rt△AOD中，AO=√(AD²-OD²)=√((2a)²-a²)=√3 a，
∴ AC=2AO=2√3 a。
∵ EA=EO，
∴ ∠EAO=∠EOA=30°，
∴ ∠DEO=∠EAO+∠EOA=60°。
∵ ∠DEF=45°，
∴ ∠OEF=∠DEO-∠DEF=60°-45°=15°。
∵ ∠EOA是△EOF的外角，
∴ ∠EFO=∠EOA-∠OEF=30°-15°=15°，
∴ ∠OEF=∠EFO，
∴ OF=OE=a。
∴ AF=AO+OF=√3 a + a，
FC=AC-AF=2√3 a - (√3 a + a)=√3 a - a。
∴ AF:FC=(√3 a + a):(√3 a - a)=(√3+1)/(√3-1)=2+√3。
【答案】D
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查特殊四边形和特殊三角形的相关性质，解题的关键是合理添加辅助线构造特殊三角形，通过角度推导得到等线段关系，结合参数法和二次根式化简计算线段比值，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 新定义:$[a,b,c]$为函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为实数)的“关联数”.若“关联数”为$[m-2,m,1]$的函数为一次函数，则$m$的值为
2
.答案
11.2
解析
【分析】首先根据题目给出的新定义，先写出“关联数”对应的函数表达式；再结合一次函数的定义分析：一次函数中自变量的最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此首先令二次项系数为0求出m的可能值，再验证一次项系数不为0即可得到最终结果。
【解析】根据“关联数”的定义，“关联数”为$[m-2,m,1]$的函数为：
$y=(m-2)x^2 + mx + 1$
∵该函数为一次函数，根据一次函数的定义，需满足两个条件：
① 二次项系数为0：$m-2=0$，解得$m=2$；
② 一次项系数不为0：将$m=2$代入，得一次项系数$m=2≠0$，符合要求。
综上，$m$的值为2。
【答案】2
【知识点】一次函数的定义；新定义运算
【点评】本题结合新定义考查一次函数的基本特征，解题的关键是准确理解新定义的对应规则，同时注意一次函数需满足无二次项、且一次项系数不为0的要求，避免漏看条件出错。
【难度系数】0.8
【解析】根据“关联数”的定义，“关联数”为$[m-2,m,1]$的函数为：
$y=(m-2)x^2 + mx + 1$
∵该函数为一次函数，根据一次函数的定义，需满足两个条件：
① 二次项系数为0：$m-2=0$，解得$m=2$；
② 一次项系数不为0：将$m=2$代入，得一次项系数$m=2≠0$，符合要求。
综上，$m$的值为2。
【答案】2
【知识点】一次函数的定义；新定义运算
【点评】本题结合新定义考查一次函数的基本特征，解题的关键是准确理解新定义的对应规则，同时注意一次函数需满足无二次项、且一次项系数不为0的要求，避免漏看条件出错。
【难度系数】0.8
12. 若$3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则代数式$(2+\sqrt{2}a) · b$的值是______________.
答案
12.2
解析
【分析】
要解决本题，首先需要估算无理数√2的取值范围，由此推导得出3-√2的范围，进而确定其整数部分a；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出b的值；最后将a、b代入代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算√2的取值范围
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$1＜2＜4$
∴$1＜\sqrt{2}＜2$
第二步：求$3-\sqrt{2}$的范围，确定整数部分a
不等式两边同乘-1，得$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -1$
不等式三边同时加3，得$1 ＜ 3-\sqrt{2} ＜ 2$
∴$3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$
第三步：求小数部分b
根据小数部分=原数-整数部分，可得：
$b = (3-\sqrt{2}) - a = 3-\sqrt{2} -1 = 2-\sqrt{2}$
第四步：代入代数式计算
将$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入$(2+\sqrt{2} a) · b$得：
原式=$(2 + \sqrt{2}×1)×(2 - \sqrt{2})$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
=$2^2 - (\sqrt{2})^2$
=$4 - 2$
=$2$
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数的估算方法，明确一个数的整数部分和小数部分的关系，计算时运用平方差公式可有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要估算无理数√2的取值范围，由此推导得出3-√2的范围，进而确定其整数部分a；再根据“小数部分=原数-整数部分”求出b的值；最后将a、b代入代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算√2的取值范围
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$1＜2＜4$
∴$1＜\sqrt{2}＜2$
第二步：求$3-\sqrt{2}$的范围，确定整数部分a
不等式两边同乘-1，得$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -1$
不等式三边同时加3，得$1 ＜ 3-\sqrt{2} ＜ 2$
∴$3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$
第三步：求小数部分b
根据小数部分=原数-整数部分，可得：
$b = (3-\sqrt{2}) - a = 3-\sqrt{2} -1 = 2-\sqrt{2}$
第四步：代入代数式计算
将$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入$(2+\sqrt{2} a) · b$得：
原式=$(2 + \sqrt{2}×1)×(2 - \sqrt{2})$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
=$2^2 - (\sqrt{2})^2$
=$4 - 2$
=$2$
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数的估算方法，明确一个数的整数部分和小数部分的关系，计算时运用平方差公式可有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
13. 一组数据-1,0,1,2,x 的众数是2,
则这组数据的中位数是________.
则这组数据的中位数是________.
答案
13.1
解析
【分析】
解题时首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数。观察已知的4个数据-1、0、1、2，每个数都仅出现1次，要让2成为众数，2的出现次数必须最多，因此未知数据x只能是2。确定x的取值后，再回忆中位数的计算方法：将数据按从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，最中间的数就是中位数，将排序后的5个数据找到中间项即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 这组数据的众数是2，众数是一组数据中出现次数最多的数，
已知的-1、0、1、2均只出现1次，
∴ x=2，此时2出现2次，是出现次数最多的数，符合众数定义。
将这组数据从小到大排列为：-1，0，1，2，2，
数据总个数为5，是奇数，中位数为排序后第3个数据，即1。
【答案】
1
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查对众数、中位数两个基本概念的理解和应用，解题关键是先根据众数的特征确定未知参数x的取值，再按规则计算中位数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数。观察已知的4个数据-1、0、1、2，每个数都仅出现1次，要让2成为众数，2的出现次数必须最多，因此未知数据x只能是2。确定x的取值后，再回忆中位数的计算方法：将数据按从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，最中间的数就是中位数，将排序后的5个数据找到中间项即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 这组数据的众数是2，众数是一组数据中出现次数最多的数，
已知的-1、0、1、2均只出现1次，
∴ x=2，此时2出现2次，是出现次数最多的数，符合众数定义。
将这组数据从小到大排列为：-1，0，1，2，2，
数据总个数为5，是奇数，中位数为排序后第3个数据，即1。
【答案】
1
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查对众数、中位数两个基本概念的理解和应用，解题关键是先根据众数的特征确定未知参数x的取值，再按规则计算中位数。
【难度系数】
0.8
14. 已知 CD 是$△ ABC$的边 AB 上的高,若$CD=\sqrt{3},AD=1,AB=2AC$,则 BC 的长为________.
答案
14. $2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$
解析
【分析】
本题已知CD是△ABC的AB边上的高，首先可确定△ACD、△BCD均为直角三角形，可先利用勾股定理求出AC的长度，再根据AB=2AC算出AB的长度。需要注意的是，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（即D点在BA的延长线上），因此要分两种情况讨论，分别计算不同情况下BD的长度，最后再用勾股定理求出BC的长即可。
【解析】
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$
∴$AC=2$（边长为正数，舍去负值）
∵$AB=2AC$，
∴$AB=2×2=4$
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
$BD = AB - AD = 4 - 1 = 3$
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$
∴$BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
② 当点D在BA的延长线上时：
$BD = AB + AD = 4 + 1 = 5$
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 = 3 + 25 = 28$
∴$BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
综上，BC的长为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的高可能在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需先根据高的位置分情况讨论，再结合勾股定理逐步计算对应边长即可。
【难度系数】
0.6
本题已知CD是△ABC的AB边上的高，首先可确定△ACD、△BCD均为直角三角形，可先利用勾股定理求出AC的长度，再根据AB=2AC算出AB的长度。需要注意的是，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部（即D点在BA的延长线上），因此要分两种情况讨论，分别计算不同情况下BD的长度，最后再用勾股定理求出BC的长即可。
【解析】
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$
∴$AC=2$（边长为正数，舍去负值）
∵$AB=2AC$，
∴$AB=2×2=4$
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
$BD = AB - AD = 4 - 1 = 3$
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$
∴$BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
② 当点D在BA的延长线上时：
$BD = AB + AD = 4 + 1 = 5$
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 = 3 + 25 = 28$
∴$BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
综上，BC的长为$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的高可能在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需先根据高的位置分情况讨论，再结合勾股定理逐步计算对应边长即可。
【难度系数】
0.6
15. 如图 5,CD 是$△ ABC$的角平分线,过点 D 分别作 AC,BC 的平行线,交 BC 于点 E,交 AC 于点 F. 若$∠ ACB = 60°, CD = 4\sqrt{3}$,则四边形 CEDF 的周长是________.
答案
15.16
解析
【分析】
解题时首先根据DE//AC、DF//BC判定四边形CEDF是平行四边形；再结合CD是角平分线，利用平行线的性质推出一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形；接下来根据∠ACB=60°得到菱形被对角线分出的直角三角形中含有30°角，结合CD的长度，利用勾股定理求出菱形的边长，最后计算周长即可。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵DE//AC，DF//BC，
∴四边形CEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
2. 推导邻边相等，判定菱形：
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD=∠ECD。
∵DF//BC，
∴∠FDC=∠ECD（两直线平行，内错角相等），
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD（等角对等边），
∴平行四边形CEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
因此CE=ED=DF=FC，且菱形的对角线CD、EF互相垂直平分，CD平分∠ECF。
3. 计算菱形边长：
∵∠ACB=60°，
∴∠FCD=½∠ACB=30°。
设CD与EF交于点O，则OC=½CD=½×4√3=2√3。
在Rt△COF中，∠FCO=30°，
∴CF=2OF，设OF=x，则CF=2x，
由勾股定理得：OC² + OF² = CF²，
代入得：(2√3)² + x² = (2x)²，
即12 + x² = 4x²，解得x=2（边长为正，舍去负解），
∴CF=2×2=4。
4. 计算周长：
菱形CEDF的周长=4×CF=4×4=16。
【答案】
16
【知识点】
菱形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形的综合基础题，解题的关键是灵活运用平行四边形、菱形的判定定理，结合角平分线、平行线的性质和特殊直角三角形的性质求出边长，难度适中。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据DE//AC、DF//BC判定四边形CEDF是平行四边形；再结合CD是角平分线，利用平行线的性质推出一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形；接下来根据∠ACB=60°得到菱形被对角线分出的直角三角形中含有30°角，结合CD的长度，利用勾股定理求出菱形的边长，最后计算周长即可。
【解析】
1. 判定平行四边形：
∵DE//AC，DF//BC，
∴四边形CEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
2. 推导邻边相等，判定菱形：
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD=∠ECD。
∵DF//BC，
∴∠FDC=∠ECD（两直线平行，内错角相等），
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD（等角对等边），
∴平行四边形CEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
因此CE=ED=DF=FC，且菱形的对角线CD、EF互相垂直平分，CD平分∠ECF。
3. 计算菱形边长：
∵∠ACB=60°，
∴∠FCD=½∠ACB=30°。
设CD与EF交于点O，则OC=½CD=½×4√3=2√3。
在Rt△COF中，∠FCO=30°，
∴CF=2OF，设OF=x，则CF=2x，
由勾股定理得：OC² + OF² = CF²，
代入得：(2√3)² + x² = (2x)²，
即12 + x² = 4x²，解得x=2（边长为正，舍去负解），
∴CF=2×2=4。
4. 计算周长：
菱形CEDF的周长=4×CF=4×4=16。
【答案】
16
【知识点】
菱形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是四边形的综合基础题，解题的关键是灵活运用平行四边形、菱形的判定定理，结合角平分线、平行线的性质和特殊直角三角形的性质求出边长，难度适中。
【难度系数】
0.65
三、解答题
16. 已知 $ a=5+2\sqrt{6}, b=5-2\sqrt{6} $，求 $ a^2 - 3ab + b^2 $ 的值。
16. 已知 $ a=5+2\sqrt{6}, b=5-2\sqrt{6} $，求 $ a^2 - 3ab + b^2 $ 的值。
答案
16.
∵ $ a=5+2\sqrt{6},b=5-2\sqrt{6} $,
∴ $ a-b=4\sqrt{6},ab=1 $.
∴ $ a^2-3ab+b^2=(a-b)^2-ab=(4\sqrt{6})^2 -1= 96 - 1 = 95 $.
∵ $ a=5+2\sqrt{6},b=5-2\sqrt{6} $,
∴ $ a-b=4\sqrt{6},ab=1 $.
∴ $ a^2-3ab+b^2=(a-b)^2-ab=(4\sqrt{6})^2 -1= 96 - 1 = 95 $.
解析
【分析】
如果直接将a、b的值代入原式计算，运算量较大容易出错。我们可以先观察原式的结构，利用完全平方公式将原式变形为含(a-b)和ab的形式，先分别计算出a-b与ab的值，最后整体代入变形后的式子计算即可，这种整体代入的思路能大幅简化计算过程。
【解析】
已知 $a=5+2\sqrt{6}, b=5-2\sqrt{6}$，
首先计算$a-b$和$ab$的值：
$a-b=(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})=5+2\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}$，
$ab=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2=25-24=1$，
再对原式变形：
$a^2-3ab+b^2=(a^2-2ab+b^2)-ab=(a-b)^2-ab$，
将$a-b=4\sqrt{6}$，$ab=1$代入得：
原式$=(4\sqrt{6})^2 -1=16×6 -1=96-1=95$。
【答案】
$95$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是典型的代数式化简求值题，核心是通过乘法公式对所求式子和乘积项进行变形，运用整体代入思想简化运算，避免了复杂的二次根式乘方计算，是对整式乘法和二次根式运算的综合考查。
【难度系数】
0.7
如果直接将a、b的值代入原式计算，运算量较大容易出错。我们可以先观察原式的结构，利用完全平方公式将原式变形为含(a-b)和ab的形式，先分别计算出a-b与ab的值，最后整体代入变形后的式子计算即可，这种整体代入的思路能大幅简化计算过程。
【解析】
已知 $a=5+2\sqrt{6}, b=5-2\sqrt{6}$，
首先计算$a-b$和$ab$的值：
$a-b=(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})=5+2\sqrt{6}-5+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}$，
$ab=(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2=25-24=1$，
再对原式变形：
$a^2-3ab+b^2=(a^2-2ab+b^2)-ab=(a-b)^2-ab$，
将$a-b=4\sqrt{6}$，$ab=1$代入得：
原式$=(4\sqrt{6})^2 -1=16×6 -1=96-1=95$。
【答案】
$95$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是典型的代数式化简求值题，核心是通过乘法公式对所求式子和乘积项进行变形，运用整体代入思想简化运算，避免了复杂的二次根式乘方计算，是对整式乘法和二次根式运算的综合考查。
【难度系数】
0.7
