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二、填空题
7.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,4)$,$△ OAB$沿$x$轴向右平移后得到$△ O'A'B'$,点A的对应点$A'$是直线$y=\frac{4}{5}x$上一点,则点B与其对应点$B'$间的距离为
7.如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,4)$,$△ OAB$沿$x$轴向右平移后得到$△ O'A'B'$,点A的对应点$A'$是直线$y=\frac{4}{5}x$上一点,则点B与其对应点$B'$间的距离为
5
。答案
7.5
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质分析：①图形沿x轴向右平移时，所有对应点的纵坐标保持不变，且各对应点之间的水平距离相等，因此点B和对应点B'的距离等于平移的水平距离，也等于点A到A'的水平距离；②已知点A的坐标为(0,4)，可得平移后A'的纵坐标为4，再将y=4代入直线解析式求出A'的横坐标，该横坐标的值就是平移的水平距离，也就是BB'的长度。
【解析】
∵△OAB沿x轴向右平移得到△O'A'B'，
根据平移的性质可知：平移后点的纵坐标不变，且对应点的连线长度相等，即$BB'=AA'=OO'$，$A'$的纵坐标与A的纵坐标相等，为4。
又
∵点$A'$在直线$y=\frac{4}{5}x$上，
将$y=4$代入解析式得：$4=\frac{4}{5}x$，
解得$x=5$，即平移的水平距离为5，
∴$BB'=5$。
【答案】
5
【知识点】
平移的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础型考题，将平移性质和一次函数点的坐标特征结合考查，解题的突破口是抓住平移过程中纵坐标不变的特点，快速求出对应点的坐标，进而得到平移距离。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平移的性质分析：①图形沿x轴向右平移时，所有对应点的纵坐标保持不变，且各对应点之间的水平距离相等，因此点B和对应点B'的距离等于平移的水平距离，也等于点A到A'的水平距离；②已知点A的坐标为(0,4)，可得平移后A'的纵坐标为4，再将y=4代入直线解析式求出A'的横坐标，该横坐标的值就是平移的水平距离，也就是BB'的长度。
【解析】
∵△OAB沿x轴向右平移得到△O'A'B'，
根据平移的性质可知：平移后点的纵坐标不变，且对应点的连线长度相等，即$BB'=AA'=OO'$，$A'$的纵坐标与A的纵坐标相等，为4。
又
∵点$A'$在直线$y=\frac{4}{5}x$上，
将$y=4$代入解析式得：$4=\frac{4}{5}x$，
解得$x=5$，即平移的水平距离为5，
∴$BB'=5$。
【答案】
5
【知识点】
平移的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础型考题，将平移性质和一次函数点的坐标特征结合考查，解题的突破口是抓住平移过程中纵坐标不变的特点，快速求出对应点的坐标，进而得到平移距离。
【难度系数】
0.8
8.如图所示,点A,B的坐标分别为(1,2),(4,0),将△AOB沿x轴向右平移,得到△CDE,已知DB=1,则点C的坐标为
(4,2)
。答案
8.(4,2)
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆平移的核心性质：图形平移时，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同；沿x轴向右平移时，各点纵坐标不变，横坐标增加的数值等于平移距离。第一步先确定平移距离：已知点B在x轴上坐标为(4,0)，原线段OB长为4，平移后原点O的对应点为D，结合DB=1，可算出OD的长度就是平移距离。第二步再根据点A的坐标，按照平移的坐标变化规律，就能算出对应点C的坐标。
【解析】
解：
∵点B的坐标为(4,0)，原点O坐标为(0,0)，
∴OB的长度为4。
∵平移后DB=1，且D是O向右平移后的对应点，
∴平移距离 = OD = OB - DB = 4 - 1 = 3，即△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度。
根据平移的坐标变化规律：沿x轴向右平移n个单位时，点(x,y)的对应点坐标为(x+n,y)。
已知点A坐标为(1,2)，其对应点为C，
∴C的横坐标为1 + 3 = 4，纵坐标不变仍为2，即C(4,2)。
【答案】
(4,2)
【知识点】
平移的性质；坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移性质的基础应用，解题关键是先根据已知线段长度求出平移距离，再结合平移的坐标变化规则求解对应点坐标，掌握平移的基本规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆平移的核心性质：图形平移时，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同；沿x轴向右平移时，各点纵坐标不变，横坐标增加的数值等于平移距离。第一步先确定平移距离：已知点B在x轴上坐标为(4,0)，原线段OB长为4，平移后原点O的对应点为D，结合DB=1，可算出OD的长度就是平移距离。第二步再根据点A的坐标，按照平移的坐标变化规律，就能算出对应点C的坐标。
【解析】
解：
∵点B的坐标为(4,0)，原点O坐标为(0,0)，
∴OB的长度为4。
∵平移后DB=1，且D是O向右平移后的对应点，
∴平移距离 = OD = OB - DB = 4 - 1 = 3，即△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度。
根据平移的坐标变化规律：沿x轴向右平移n个单位时，点(x,y)的对应点坐标为(x+n,y)。
已知点A坐标为(1,2)，其对应点为C，
∴C的横坐标为1 + 3 = 4，纵坐标不变仍为2，即C(4,2)。
【答案】
(4,2)
【知识点】
平移的性质；坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移性质的基础应用，解题关键是先根据已知线段长度求出平移距离，再结合平移的坐标变化规则求解对应点坐标，掌握平移的基本规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
9. 如图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一条直线上,则∠B的度数为
15°
。答案
9.15°
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析边和角的关系：首先旋转前后对应边相等，可得AB=AD，旋转角为150°，即∠BAD=150°；再由点B、C、D共线可知△ABD是顶角为150°的等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠B的度数。
【解析】
∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=150°，
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴△ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=(180°-∠ BAD)÷2=(180°-150°)÷2=15°$
【答案】
15°
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质与等腰三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过旋转得到相等的对应边以及旋转角的度数，转化为等腰三角形求角度的问题，属于基础类的角度计算题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质分析边和角的关系：首先旋转前后对应边相等，可得AB=AD，旋转角为150°，即∠BAD=150°；再由点B、C、D共线可知△ABD是顶角为150°的等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求出∠B的度数。
【解析】
∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=150°，
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴△ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=(180°-∠ BAD)÷2=(180°-150°)÷2=15°$
【答案】
15°
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质与等腰三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过旋转得到相等的对应边以及旋转角的度数，转化为等腰三角形求角度的问题，属于基础类的角度计算题。
【难度系数】
0.7
10. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ ADE$（其中点B恰好落在AC延长线上的点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为
$\frac{27}{2}$
。答案
10.$\frac{27}{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用勾股定理求出AB的长度，再结合旋转的性质得到AD=AB，且△ADE与△ABC面积相等。观察四边形AEDB的构成，可将其拆分为△ADE和△ABD两个三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
由旋转的性质可知：$AD=AB=5$，$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$
先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，故$S_{△ ADE}=6$
因为点D在AC的延长线上，且$BC⊥ AD$，所以$△ ABD$以AD为底时，高为BC的长度，可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AD× BC=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$
则四边形AEDB的面积为：
$S_{四边形AEDB}=S_{△ ADE}+S_{△ ABD}=6+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}$
【答案】
$\frac{27}{2}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，面积计算
【点评】
本题解题核心是利用旋转的性质得到对应边、对应图形面积的关系，将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和求解，重点考查对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用勾股定理求出AB的长度，再结合旋转的性质得到AD=AB，且△ADE与△ABC面积相等。观察四边形AEDB的构成，可将其拆分为△ADE和△ABD两个三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
由旋转的性质可知：$AD=AB=5$，$S_{△ ADE}=S_{△ ABC}$
先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，故$S_{△ ADE}=6$
因为点D在AC的延长线上，且$BC⊥ AD$，所以$△ ABD$以AD为底时，高为BC的长度，可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AD× BC=\frac{1}{2}×5×3=\frac{15}{2}$
则四边形AEDB的面积为：
$S_{四边形AEDB}=S_{△ ADE}+S_{△ ABD}=6+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}$
【答案】
$\frac{27}{2}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，面积计算
【点评】
本题解题核心是利用旋转的性质得到对应边、对应图形面积的关系，将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积之和求解，重点考查对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图所示,在菱形ABCD中,∠A=110°,点E是菱形ABCD内一点,连接CE,将CE绕点C顺时针旋转110°,得到线段CF,连接BE,DF,若∠E=86°,求∠F的度数。
11. 如图所示,在菱形ABCD中,∠A=110°,点E是菱形ABCD内一点,连接CE,将CE绕点C顺时针旋转110°,得到线段CF,连接BE,DF,若∠E=86°,求∠F的度数。
答案
11. 解:
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ BC = CD,
$∠BCD = ∠A = 110°$。由旋转的性质知,$CE = CF$,
$∠ECF = ∠BCD = 110°$,
∴ $∠BCE = ∠DCF = 110° - ∠DCE$。在$△BCE$和$△DCF$中,
$\begin{cases} BC = DC, \\ ∠BCE = ∠DCF, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ $△BCE≌△DCF(SAS)$,
∴ $∠F = ∠E = 86°$。
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ BC = CD,
$∠BCD = ∠A = 110°$。由旋转的性质知,$CE = CF$,
$∠ECF = ∠BCD = 110°$,
∴ $∠BCE = ∠DCF = 110° - ∠DCE$。在$△BCE$和$△DCF$中,
$\begin{cases} BC = DC, \\ ∠BCE = ∠DCF, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ $△BCE≌△DCF(SAS)$,
∴ $∠F = ∠E = 86°$。
解析
【分析】
要计算∠F的度数，可通过证明∠F与已知的∠E相等求解。首先利用菱形的性质可得BC=CD、∠BCD=∠A=110°；再结合旋转的性质得到CE=CF、∠ECF=110°，可推导得出∠BCE=∠DCF；由此可通过SAS证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等即可得到∠F的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC = CD，∠BCD = ∠A = 110°。
由旋转的性质知，CE = CF，∠ECF = ∠BCD = 110°，
∴ ∠BCE = ∠DCF = 110° - ∠DCE。
在$△ BCE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases} BC = DC, \\ ∠BCE = ∠DCF, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ $△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，
∴ ∠F = ∠E = 86°。
【答案】
$\boldsymbol{86°}$
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将菱形、旋转与全等三角形的知识相结合，解题的关键是借助菱形和旋转的性质找到三角形全等的条件，熟练掌握各类几何图形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
要计算∠F的度数，可通过证明∠F与已知的∠E相等求解。首先利用菱形的性质可得BC=CD、∠BCD=∠A=110°；再结合旋转的性质得到CE=CF、∠ECF=110°，可推导得出∠BCE=∠DCF；由此可通过SAS证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等即可得到∠F的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC = CD，∠BCD = ∠A = 110°。
由旋转的性质知，CE = CF，∠ECF = ∠BCD = 110°，
∴ ∠BCE = ∠DCF = 110° - ∠DCE。
在$△ BCE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases} BC = DC, \\ ∠BCE = ∠DCF, \\ CE = CF, \end{cases}$
∴ $△ BCE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，
∴ ∠F = ∠E = 86°。
【答案】
$\boldsymbol{86°}$
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将菱形、旋转与全等三角形的知识相结合，解题的关键是借助菱形和旋转的性质找到三角形全等的条件，熟练掌握各类几何图形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
