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二、知识巩固
11. 已知关于$ x $的不等式$ 2x＞4 $的解都是不等式$ x - a＞5 $的解，则$ a $的取值范围是（）
A.$ a＞-3 $
B.$ a≥ -3 $
C.$ a≤ -3 $
D.$ a＜-3 $
11. 已知关于$ x $的不等式$ 2x＞4 $的解都是不等式$ x - a＞5 $的解，则$ a $的取值范围是（）
A.$ a＞-3 $
B.$ a≥ -3 $
C.$ a≤ -3 $
D.$ a＜-3 $
答案
C
解析
先解不等式$2x＞4$，得$x＞2$；再解不等式$x-a＞5$，得$x＞a+5$。根据题意，$x＞2$的所有解都是$x＞a+5$的解，因此$a+5 ≤ 2$，移项计算得$a ≤ -3$。
12. 当$0＜x＜1$时，$x^2$，$\frac{1}{x}$，$x$之间的大小关系是（）
A.$\frac{1}{x}＜x＜x^2$
B.$\frac{1}{x}＜x^2＜x$
C.$x＜x^2＜\frac{1}{x}$
D.$x^2＜x＜\frac{1}{x}$
A.$\frac{1}{x}＜x＜x^2$
B.$\frac{1}{x}＜x^2＜x$
C.$x＜x^2＜\frac{1}{x}$
D.$x^2＜x＜\frac{1}{x}$
答案
D
解析
采用特殊值法，取满足0＜x＜1的数值，例如令x=1/2，计算得x²=(1/2)²=1/4，1/x=2，比较三个数大小可得1/4 ＜ 1/2 ＜ 2，即x² ＜ x ＜ 1/x。
13. 对于任意实数 $ m $，$ n $，定义一种新运算 $ m※n = mn - m - n + 3 $，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：$ 2※6 = 2×6 - 2 - 6 + 3 = 7 $。请根据上述定义解答问题：若 $ a ＜ 4※x ＜ 8 $，且解集中有2个整数解，则 $ a $ 的取值范围是（）
A.$ -1 ＜ a ≤ 2 $
B.$ -1 ≤ a ＜ 2 $
C.$ -4 ≤ a ＜ -1 $
D.$ -4 ＜ a ≤ -1 $
A.$ -1 ＜ a ≤ 2 $
B.$ -1 ≤ a ＜ 2 $
C.$ -4 ≤ a ＜ -1 $
D.$ -4 ＜ a ≤ -1 $
答案
B
解析
首先根据新运算的定义计算4※x：
将m=4，n=x代入m※n=mn-m-n+3，得
4※x=4x - 4 - x + 3 = 3x - 1。
将其代入不等式a＜4※x＜8，可得：
a ＜ 3x - 1 ＜ 8，
变形为不等式组：$\begin{cases}3x-1＞ a \\3x-1＜8 \end{cases}$，
解3x-1＜8得x＜3；解3x-1＞a得$x＞\frac{a+1}{3}$，
因此不等式的解集为$\frac{a+1}{3}＜x＜3$。
已知解集中有2个整数解，小于3的整数从大到小为2、1、0……，因此这2个整数解只能是1和2，
可得$0≤ \frac{a+1}{3}＜1$，
不等式两边同乘3得$0≤ a+1＜3$，
两边减1得$-1≤ a＜2$。
将m=4，n=x代入m※n=mn-m-n+3，得
4※x=4x - 4 - x + 3 = 3x - 1。
将其代入不等式a＜4※x＜8，可得：
a ＜ 3x - 1 ＜ 8，
变形为不等式组：$\begin{cases}3x-1＞ a \\3x-1＜8 \end{cases}$，
解3x-1＜8得x＜3；解3x-1＞a得$x＞\frac{a+1}{3}$，
因此不等式的解集为$\frac{a+1}{3}＜x＜3$。
已知解集中有2个整数解，小于3的整数从大到小为2、1、0……，因此这2个整数解只能是1和2，
可得$0≤ \frac{a+1}{3}＜1$，
不等式两边同乘3得$0≤ a+1＜3$，
两边减1得$-1≤ a＜2$。
14. 一批火龙果的进价是每千克10元，在销售中估计有20%的正常损耗，如果商家想获得至少20%的利润，那么这批火龙果的售价至少定为每千克（）
A.15元
B.14元
C.13元
D.12元
A.15元
B.14元
C.13元
D.12元
答案
A
解析
设这批火龙果的售价定为每千克x元，设火龙果总质量为a千克（a＞0）。
考虑20%损耗，可售出的火龙果质量为$(1-20\%)a=0.8a$千克。
商家要获得至少20%的利润，可得不等式：
$0.8a · x ≥ 10a · (1+20\%)$
因为$a＞0$，不等式两边同时除以a，化简得：
$0.8x ≥ 12$
解得$x≥15$，即售价至少定为每千克15元。
考虑20%损耗，可售出的火龙果质量为$(1-20\%)a=0.8a$千克。
商家要获得至少20%的利润，可得不等式：
$0.8a · x ≥ 10a · (1+20\%)$
因为$a＞0$，不等式两边同时除以a，化简得：
$0.8x ≥ 12$
解得$x≥15$，即售价至少定为每千克15元。
15. 如图，a，b，c三种物体的质量由小到大的关系是（）
A.$a＜c＜b$
B.$a＜b＜c$
C.$c＜b＜a$
D.$b＜a＜c$
A.$a＜c＜b$
B.$a＜b＜c$
C.$c＜b＜a$
D.$b＜a＜c$
答案
B
解析
由第一个平衡天平可得$3a=2b$，根据等式性质变形得$a=\frac{2}{3}b$，因此$a ＜ b$；由第二个平衡天平可得$3b=2c$，根据等式性质变形得$b=\frac{2}{3}c$，因此$b ＜ c$；综上可得三种物体质量由小到大的关系为$a ＜ b ＜ c$。
16. 若不等式组$\begin{cases} x≤ m, \\ x＞11 \end{cases}$无解，则$m$的取值范围是________.
答案
$\boldsymbol{m≤ 11}$
解析
解：
不等式组$\begin{cases} x≤ m \\ x＞11 \end{cases}$无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，
可得$m≤ 11$。
不等式组$\begin{cases} x≤ m \\ x＞11 \end{cases}$无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，
可得$m≤ 11$。
17. 小华家距离书店8 km，他骑车前往书店购书，上午8:30出发，以15 km/h的速度骑行了x h后改成以18 km/h的速度继续骑行，若他在上午9:00之前到了书店，则可列出不等式为________.
答案
解：
上午8:30到上午9:00的总时长为0.5 h，
以18 km/h的速度骑行的时间为$(0.5 - x)$ h，
两段骑行路程之和大于小华家到书店的距离8 km，
因此列出不等式：
$15x + 18(0.5 - x) ＞ 8$
上午8:30到上午9:00的总时长为0.5 h，
以18 km/h的速度骑行的时间为$(0.5 - x)$ h，
两段骑行路程之和大于小华家到书店的距离8 km，
因此列出不等式：
$15x + 18(0.5 - x) ＞ 8$
18. 对于三个数$ a $，$ b $，$ c $，用$\max\{a,b,c\}$表示这三个数中的最大数，例如：$\max\{-3,-5,0\}=0$，
$\max\{-2,-1,a\}=\begin{cases}a\ (a≥ -1),\\-1\ (a＜ -1).\end{cases}$ 若$\max\{2,6-x,2x-7\}=2$，则$ x $的取值范围是________.
$\max\{-2,-1,a\}=\begin{cases}a\ (a≥ -1),\\-1\ (a＜ -1).\end{cases}$ 若$\max\{2,6-x,2x-7\}=2$，则$ x $的取值范围是________.
答案
解：
由题意可知，若$\max\{2,6-x,2x-7\}=2$，则另外两个数均不大于2，据此列不等式组：
$\begin{cases}6 - x ≤ 2 \\2x - 7 ≤ 2\end{cases}$
解不等式$6 - x ≤ 2$，得：
$x ≥ 4$
解不等式$2x - 7 ≤ 2$，得：
$x ≤ 4.5$
因此$x$的取值范围是$\boldsymbol{4 ≤ x ≤ 4.5}$。
由题意可知，若$\max\{2,6-x,2x-7\}=2$，则另外两个数均不大于2，据此列不等式组：
$\begin{cases}6 - x ≤ 2 \\2x - 7 ≤ 2\end{cases}$
解不等式$6 - x ≤ 2$，得：
$x ≥ 4$
解不等式$2x - 7 ≤ 2$，得：
$x ≤ 4.5$
因此$x$的取值范围是$\boldsymbol{4 ≤ x ≤ 4.5}$。
