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12. 如图,在菱形ABCD中,$∠ A=60°$,$AB=4$,点O为对角线BD的中点,过点O作$OE⊥ AB$,垂足为点E.
(1)求$∠ ABD$的度数.
(2)求线段BE的长.
(1)求$∠ ABD$的度数.
(2)求线段BE的长.
答案
12. 解:(1)在菱形 $ABCD$ 中,$AB=AD,∠ A=60°,$
$\therefore△ ABD$ 为等边三角形.
$\therefore∠ ABD=60°.$
(2)由(1)可知 $BD=AB=4$,
又$\because$点 $O$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore OB=2.$
又$\because OE⊥ AB,∠ ABD=60°,$
$\therefore∠ BOE=30°.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1.$
$\therefore△ ABD$ 为等边三角形.
$\therefore∠ ABD=60°.$
(2)由(1)可知 $BD=AB=4$,
又$\because$点 $O$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore OB=2.$
又$\because OE⊥ AB,∠ ABD=60°,$
$\therefore∠ BOE=30°.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1.$
解析
【分析】
(1) 求∠ABD的度数时，首先利用菱形邻边相等的性质可得AB=AD，结合已知∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABD为等边三角形，进而直接得到∠ABD的度数。
(2) 求BE的长时，先由(1)的等边三角形结论得到BD的长度，再根据O是BD中点求出OB的长度；已知OE⊥AB，△OEB为直角三角形，结合∠ABD=60°可推出∠BOE=30°，最后利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出BE的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2) 由(1)可知△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
∵点O为BD的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB=90°，
又
∵∠ABD=60°，
∴∠BOE=90°-60°=30°，
∴在Rt△BOE中，BE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2=1。
【答案】
(1) $∠ ABD=60°$；(2) $BE=1$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过菱形的性质得到特殊三角形，再结合特殊三角形的性质求解角度和线段长度，是对几何基础知识点的常规考查，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠ABD的度数时，首先利用菱形邻边相等的性质可得AB=AD，结合已知∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABD为等边三角形，进而直接得到∠ABD的度数。
(2) 求BE的长时，先由(1)的等边三角形结论得到BD的长度，再根据O是BD中点求出OB的长度；已知OE⊥AB，△OEB为直角三角形，结合∠ABD=60°可推出∠BOE=30°，最后利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出BE的长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2) 由(1)可知△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，
∵点O为BD的中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB=90°，
又
∵∠ABD=60°，
∴∠BOE=90°-60°=30°，
∴在Rt△BOE中，BE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2=1。
【答案】
(1) $∠ ABD=60°$；(2) $BE=1$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是通过菱形的性质得到特殊三角形，再结合特殊三角形的性质求解角度和线段长度，是对几何基础知识点的常规考查，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13.如图,在矩形ABCD中,AD=6,CD=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.
(1)当DG=2时,求证:四边形EFGH是正方形.
(2)当△FCG的面积为2时,求CG的值.
(1)当DG=2时,求证:四边形EFGH是正方形.
(2)当△FCG的面积为2时,求CG的值.
答案
13. (1)证明:在矩形 $ABCD$ 中,有$∠ A=∠ D=90°,$
$\therefore∠ DGH+∠ DHG=90°.$
在菱形 $EFGH$ 中,$EH=GH,$
$\because AH=2,DG=2,\therefore AH=DG.$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEH≌\mathrm{Rt}△ DHG(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AHE=∠ DGH.$
$\therefore∠ AHE+∠ DHG=90°.$
$\therefore∠ EHG=90°.$
$\therefore$菱形 $EFGH$ 是正方形.
(2)解:如图,过点 $F$ 作 $FM⊥ DC$ 于点 $M$,则$∠ FMG=90°.$
$\therefore∠ A=∠ FMG=90°.$ 连接 $EG$.
由矩形和菱形性质,知 $AB// DC$,$HE// GF$,
$\therefore∠ AEG=∠ MGE,∠ HEG=∠ FGE.\therefore∠ AEH=∠ MGF.$
$\because EH=GF,又\because∠ A=∠ FMG=90°,\therefore△ AEH≌△ MGF.$
$\therefore FM=AH=2.$
$\because S_{△ FCG}=\frac{1}{2}CG· FM=\frac{1}{2}CG×2=2,$
$\therefore CG=2.$
解析
【分析】
(1) 要证明菱形EFGH是正方形，根据正方形的判定规则，只需证明该菱形有一个内角为90°即可。已知矩形ABCD中∠A、∠D均为直角，菱形EFGH中EH=GH，结合AH=DG=2的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再通过角的等量代换推出∠EHG=90°，即可完成证明。
(2) 要求CG的长度，已知△FCG的面积，需要先求出△FCG中CG边上的高。过F作FM垂直DC，连接EG，利用矩形和菱形对边平行的性质推导角相等，证明△AEH≌△MGF，得到高FM=AH=2，再代入三角形面积公式即可求出CG的值。
【解析】
(1) 证明：在矩形 $ABCD$ 中，有$∠ A=∠ D=90°,$
$\therefore∠ DGH+∠ DHG=90°.$
在菱形 $EFGH$ 中,$EH=GH,$
$\because AH=2,DG=2,\therefore AH=DG.$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEH≌\mathrm{Rt}△ DHG(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AHE=∠ DGH.$
$\therefore∠ AHE+∠ DHG=90°.$
$\therefore∠ EHG=90°.$
$\therefore$ 菱形 $EFGH$ 是正方形.
(2) 解：如图，过点 $F$ 作 $FM⊥ DC$ 于点 $M$，则$∠ FMG=90°.$
$\therefore∠ A=∠ FMG=90°.$ 连接 $EG$.
由矩形和菱形性质，知 $AB// DC$,$HE// GF$,
$\therefore∠ AEG=∠ MGE,∠ HEG=∠ FGE.\therefore∠ AEH=∠ MGF.$
$\because EH=GF,又\because∠ A=∠ FMG=90°,\therefore△ AEH≌△ MGF.$
$\therefore FM=AH=2.$
$\because S_{△ FCG}=\frac{1}{2}CG· FM=\frac{1}{2}CG×2=2,$
$\therefore CG=2.$
【答案】
(1) 四边形EFGH是正方形，证明见上述过程；
(2) $CG=2$
【知识点】
正方形的判定，全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定、全等三角形的应用以及三角形面积计算，解题关键是第二问通过作辅助线构造全等三角形，将已知条件和未知量建立联系，能有效锻炼特殊四边形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明菱形EFGH是正方形，根据正方形的判定规则，只需证明该菱形有一个内角为90°即可。已知矩形ABCD中∠A、∠D均为直角，菱形EFGH中EH=GH，结合AH=DG=2的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再通过角的等量代换推出∠EHG=90°，即可完成证明。
(2) 要求CG的长度，已知△FCG的面积，需要先求出△FCG中CG边上的高。过F作FM垂直DC，连接EG，利用矩形和菱形对边平行的性质推导角相等，证明△AEH≌△MGF，得到高FM=AH=2，再代入三角形面积公式即可求出CG的值。
【解析】
(1) 证明：在矩形 $ABCD$ 中，有$∠ A=∠ D=90°,$
$\therefore∠ DGH+∠ DHG=90°.$
在菱形 $EFGH$ 中,$EH=GH,$
$\because AH=2,DG=2,\therefore AH=DG.$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEH≌\mathrm{Rt}△ DHG(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AHE=∠ DGH.$
$\therefore∠ AHE+∠ DHG=90°.$
$\therefore∠ EHG=90°.$
$\therefore$ 菱形 $EFGH$ 是正方形.
(2) 解：如图，过点 $F$ 作 $FM⊥ DC$ 于点 $M$，则$∠ FMG=90°.$
$\therefore∠ A=∠ FMG=90°.$ 连接 $EG$.
由矩形和菱形性质，知 $AB// DC$,$HE// GF$,
$\therefore∠ AEG=∠ MGE,∠ HEG=∠ FGE.\therefore∠ AEH=∠ MGF.$
$\because EH=GF,又\because∠ A=∠ FMG=90°,\therefore△ AEH≌△ MGF.$
$\therefore FM=AH=2.$
$\because S_{△ FCG}=\frac{1}{2}CG· FM=\frac{1}{2}CG×2=2,$
$\therefore CG=2.$
【答案】
(1) 四边形EFGH是正方形，证明见上述过程；
(2) $CG=2$
【知识点】
正方形的判定，全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定、全等三角形的应用以及三角形面积计算，解题关键是第二问通过作辅助线构造全等三角形，将已知条件和未知量建立联系，能有效锻炼特殊四边形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
