登录
6. 如图甲，将一块正方形木板按图中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板.用这副七巧板拼成如图乙所示的图案，则图中阴影部分的面积是整个图案面积的（
A.$\frac{1}{2\sqrt{2}}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{7}$
D.$\frac{1}{8}$
D
）A.$\frac{1}{2\sqrt{2}}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{7}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先明确：图形仅进行切割拼接，总面积不会发生改变，因此图乙的总面积与图甲正方形的总面积相等。接下来只需计算阴影部分（即七巧板中的小正方形）占原正方形面积的比例即可。我们可以通过设原正方形边长的方式，分别算出原正方形和阴影小正方形的面积，再求比值即可得到结果。
【解析】
解：因为七巧板是将正方形切割后拼接成图案，拼接前后总面积不变，因此图乙的总面积等于图甲正方形的总面积。
设图甲正方形的边长为$a$，则甲的总面积为$S_{\mathrm{总}}=a^2$。
观察七巧板的结构可知，阴影部分为七巧板中的小正方形，其边长等于最小等腰直角三角形的直角边，长度为$\frac{\sqrt{2}a}{4}$。
则阴影部分的面积为$S_{\mathrm{阴}}=(\frac{\sqrt{2}a}{4})^2=\frac{2a^2}{16}=\frac{a^2}{8}$。
因此阴影部分面积占整个图案面积的比例为$\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{\frac{a^2}{8}}{a^2}=\frac{1}{8}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，比例计算
【点评】
本题核心是利用拼接图形面积不变的特点，将求阴影占图案面积比转化为求阴影占原正方形面积比，解题时要注意七巧板各部分面积不相等，不能直接按块数计算比例。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：图形仅进行切割拼接，总面积不会发生改变，因此图乙的总面积与图甲正方形的总面积相等。接下来只需计算阴影部分（即七巧板中的小正方形）占原正方形面积的比例即可。我们可以通过设原正方形边长的方式，分别算出原正方形和阴影小正方形的面积，再求比值即可得到结果。
【解析】
解：因为七巧板是将正方形切割后拼接成图案，拼接前后总面积不变，因此图乙的总面积等于图甲正方形的总面积。
设图甲正方形的边长为$a$，则甲的总面积为$S_{\mathrm{总}}=a^2$。
观察七巧板的结构可知，阴影部分为七巧板中的小正方形，其边长等于最小等腰直角三角形的直角边，长度为$\frac{\sqrt{2}a}{4}$。
则阴影部分的面积为$S_{\mathrm{阴}}=(\frac{\sqrt{2}a}{4})^2=\frac{2a^2}{16}=\frac{a^2}{8}$。
因此阴影部分面积占整个图案面积的比例为$\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{\frac{a^2}{8}}{a^2}=\frac{1}{8}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，比例计算
【点评】
本题核心是利用拼接图形面积不变的特点，将求阴影占图案面积比转化为求阴影占原正方形面积比，解题时要注意七巧板各部分面积不相等，不能直接按块数计算比例。
【难度系数】
0.7
7. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是
$AC=BD$ 或 $OA=OB$ 或$∠ ABC=90°$等(答案不唯一)
.答案
7.$AC=BD$ 或 $OA=OB$ 或$∠ ABC=90°$等(答案不唯一)
解析
【分析】首先根据已知条件“对角线AC与BD互相平分”，可先判定四边形ABCD是平行四边形。接下来结合矩形的判定定理，给这个平行四边形添加符合要求的条件即可：矩形的判定有两类思路，一是给平行四边形添加一个内角为直角，二是给平行四边形添加对角线相等，只要是满足这两类要求、且不需要添加辅助线的条件都成立。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
结合矩形的判定定理：
1. 若添加对角线相等的条件：即添加$AC=BD$，可判定平行四边形ABCD是矩形；又因为$AC=2OA$，$BD=2OB$，因此添加$OA=OB$也可推出$AC=BD$，同样符合要求；
2. 若添加内角为直角的条件：如添加$∠ ABC=90°$，可判定平行四边形ABCD是矩形。
满足要求的条件不唯一，任选其一即可。
【答案】
$AC=BD$（或$OA=OB$或$∠ ABC=90°$等，答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，核心考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形的判定规则是解题的关键，符合判定要求的条件均有效，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD的对角线AC与BD互相平分，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
结合矩形的判定定理：
1. 若添加对角线相等的条件：即添加$AC=BD$，可判定平行四边形ABCD是矩形；又因为$AC=2OA$，$BD=2OB$，因此添加$OA=OB$也可推出$AC=BD$，同样符合要求；
2. 若添加内角为直角的条件：如添加$∠ ABC=90°$，可判定平行四边形ABCD是矩形。
满足要求的条件不唯一，任选其一即可。
【答案】
$AC=BD$（或$OA=OB$或$∠ ABC=90°$等，答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于开放型基础题，核心考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形的判定规则是解题的关键，符合判定要求的条件均有效，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
8.如图，线段BC为等腰三角形ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O.若OD=2，则AC=
4
.答案
8.4
解析
【分析】
解题需结合矩形和等腰三角形的性质逐步推导：第一步，先根据矩形对角线互相平分且相等的性质，由已知OD的长度求出对角线DE的长度，再得到与DE相等的另一条对角线AB的长度；第二步，根据等腰三角形底边的定义，可知BC为底边时AB和AC是两腰，二者相等，代入AB的长度即可求出AC的长。
【解析】
∵四边形ADBE是矩形，矩形的对角线互相平分且相等，
∴DE = 2OD，且AB = DE，
已知OD=2，
∴DE=2×2=4，
∴AB=DE=4，
又
∵BC是等腰三角形ABC的底边，
∴AB=AC（等腰三角形两腰相等），
∴AC=AB=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查矩形和等腰三角形的基本性质，解题的关键是找准两个图形中线段的等量关系，只要熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题需结合矩形和等腰三角形的性质逐步推导：第一步，先根据矩形对角线互相平分且相等的性质，由已知OD的长度求出对角线DE的长度，再得到与DE相等的另一条对角线AB的长度；第二步，根据等腰三角形底边的定义，可知BC为底边时AB和AC是两腰，二者相等，代入AB的长度即可求出AC的长。
【解析】
∵四边形ADBE是矩形，矩形的对角线互相平分且相等，
∴DE = 2OD，且AB = DE，
已知OD=2，
∴DE=2×2=4，
∴AB=DE=4，
又
∵BC是等腰三角形ABC的底边，
∴AB=AC（等腰三角形两腰相等），
∴AC=AB=4。
【答案】
4
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查矩形和等腰三角形的基本性质，解题的关键是找准两个图形中线段的等量关系，只要熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9.已知菱形ABCD的周长为20 cm，且相邻两内角之比是1：2，则菱形的面积是
$\frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
9.$\frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的基本性质：①菱形的四条边长度相等；②菱形相邻的内角互补，和为180°；③菱形的面积可以用“底×对应高”计算。第一步先根据周长求出菱形的边长，第二步根据相邻内角的比例求出内角的具体度数，第三步通过构造直角三角形求出菱形的高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为20cm
∴ 菱形的边长为 $ 20÷4 = 5\ \mathrm{cm} $
∵ 菱形相邻内角互补，且相邻两内角之比为1:2
∴ 较小的内角度数为 $ 180° × \frac{1}{1+2} = 60° $
过点A作 $ AE⊥ BC $ 于点E，在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中，$ ∠ B=60° $，$ AB=5\ \mathrm{cm} $
∴ $ ∠ BAE=30° $，则 $ BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm} $
由勾股定理得：$ AE=\sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm} $
∴ 菱形的面积为 $ BC × AE = 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的性质；直角三角形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题的核心是利用菱形的边长、内角性质结合直角三角形的相关性质求出面积需要的高，这类题是四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆菱形的基本性质：①菱形的四条边长度相等；②菱形相邻的内角互补，和为180°；③菱形的面积可以用“底×对应高”计算。第一步先根据周长求出菱形的边长，第二步根据相邻内角的比例求出内角的具体度数，第三步通过构造直角三角形求出菱形的高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，周长为20cm
∴ 菱形的边长为 $ 20÷4 = 5\ \mathrm{cm} $
∵ 菱形相邻内角互补，且相邻两内角之比为1:2
∴ 较小的内角度数为 $ 180° × \frac{1}{1+2} = 60° $
过点A作 $ AE⊥ BC $ 于点E，在 $ \mathrm{Rt}△ ABE $ 中，$ ∠ B=60° $，$ AB=5\ \mathrm{cm} $
∴ $ ∠ BAE=30° $，则 $ BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm} $
由勾股定理得：$ AE=\sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm} $
∴ 菱形的面积为 $ BC × AE = 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
菱形的性质；直角三角形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，解题的核心是利用菱形的边长、内角性质结合直角三角形的相关性质求出面积需要的高，这类题是四边形章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE=
8
.答案
10.8
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手：首先正方形边长为4，可得AD=4，∠ADC是直角，且正方形对角线平分内角，可得到∠ACD=45°；再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，用∠ACD减去已知的∠CAE就能求出∠E的度数；最后在直角三角形ADE中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，就能计算出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AD=4，∠ADE=90°，对角线AC平分∠BCD，即∠ACD=45°。
∵∠ACD是△ACE的外角，
∴∠ACD=∠CAE+∠E，
已知∠CAE=15°，代入得：45°=15°+∠E，
解得∠E=30°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，30°角对的直角边为AD=4，
∴AE=2AD=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正方形、三角形外角、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过外角性质求出∠E的度数，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从正方形的性质入手：首先正方形边长为4，可得AD=4，∠ADC是直角，且正方形对角线平分内角，可得到∠ACD=45°；再结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，用∠ACD减去已知的∠CAE就能求出∠E的度数；最后在直角三角形ADE中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，就能计算出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AD=4，∠ADE=90°，对角线AC平分∠BCD，即∠ACD=45°。
∵∠ACD是△ACE的外角，
∴∠ACD=∠CAE+∠E，
已知∠CAE=15°，代入得：45°=15°+∠E，
解得∠E=30°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，30°角对的直角边为AD=4，
∴AE=2AD=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正方形、三角形外角、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过外角性质求出∠E的度数，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$AE$平分$∠ BAC$的外角,且$∠ AEB=90°$.求证:四边形$ADBE$是矩形.
答案
11. 证明:$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,
$\therefore∠ CAD=∠ BAD.$
$\because AE$ 是$∠ BAF$ 的平分线,
$\therefore∠ BAE=∠ EAF.$
$\because ∠ CAD+∠ BAD+∠ BAE+∠ EAF=180°,$
$\therefore∠ BAD+∠ BAE=90°,$
即$∠ DAE=90°.$
$\because AB=AC,AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore AD⊥ BC,即∠ ADB=90°.$
$\because∠ AEB=90°,$
$\therefore∠ AEB=∠ DAE=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $ADBE$ 是矩形.
$\therefore∠ CAD=∠ BAD.$
$\because AE$ 是$∠ BAF$ 的平分线,
$\therefore∠ BAE=∠ EAF.$
$\because ∠ CAD+∠ BAD+∠ BAE+∠ EAF=180°,$
$\therefore∠ BAD+∠ BAE=90°,$
即$∠ DAE=90°.$
$\because AB=AC,AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore AD⊥ BC,即∠ ADB=90°.$
$\because∠ AEB=90°,$
$\therefore∠ AEB=∠ DAE=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $ADBE$ 是矩形.
解析
【分析】
要证明四边形ADBE是矩形，可采用“三个角是直角的四边形是矩形”的判定方法推导：首先利用角平分线的性质，结合∠BAC与其外角∠BAF组成平角，可推出∠DAE为直角；再根据等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD平分∠BAC得到AD垂直BC，即∠ADB为直角；最后结合已知的∠AEB=90°，即可得到四边形有三个内角为直角，完成证明。
【解析】
证明:
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,
$\therefore∠ CAD=∠ BAD.$
$\because AE$ 是$∠ BAF$ 的平分线,
$\therefore∠ BAE=∠ EAF.$
$\because ∠ CAD+∠ BAD+∠ BAE+∠ EAF=180°,$
$\therefore∠ BAD+∠ BAE=90°,$
即$∠ DAE=90°.$
$\because AB=AC,AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore AD⊥ BC,即∠ ADB=90°.$
$\because∠ AEB=90°,$
$\therefore∠ AEB=∠ DAE=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $ADBE$ 是矩形.
【答案】
四边形$ADBE$是矩形，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形三线合一；矩形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是灵活运用角平分线、等腰三角形的性质和矩形的判定定理，通过推导得到四边形的三个内角为直角即可得证，能够锻炼基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ADBE是矩形，可采用“三个角是直角的四边形是矩形”的判定方法推导：首先利用角平分线的性质，结合∠BAC与其外角∠BAF组成平角，可推出∠DAE为直角；再根据等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD平分∠BAC得到AD垂直BC，即∠ADB为直角；最后结合已知的∠AEB=90°，即可得到四边形有三个内角为直角，完成证明。
【解析】
证明:
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,
$\therefore∠ CAD=∠ BAD.$
$\because AE$ 是$∠ BAF$ 的平分线,
$\therefore∠ BAE=∠ EAF.$
$\because ∠ CAD+∠ BAD+∠ BAE+∠ EAF=180°,$
$\therefore∠ BAD+∠ BAE=90°,$
即$∠ DAE=90°.$
$\because AB=AC,AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore AD⊥ BC,即∠ ADB=90°.$
$\because∠ AEB=90°,$
$\therefore∠ AEB=∠ DAE=∠ ADB=90°.$
$\therefore$ 四边形 $ADBE$ 是矩形.
【答案】
四边形$ADBE$是矩形，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形三线合一；矩形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是灵活运用角平分线、等腰三角形的性质和矩形的判定定理，通过推导得到四边形的三个内角为直角即可得证，能够锻炼基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
