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1.在两个相似图形中，一个图形可以看作由另一个图形按一定比例或得到。
答案
解：
第一个空答案：放大
第二个空答案：缩小
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2.下列各组图形中:①两个平行四边形；②两个正五边形；③两个矩形；④两个圆；⑤两个正方形.其中一定是相似图形的是(填序号).
答案
解：相似图形的定义为：对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形。
①两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似；
②两个正五边形的每个内角都为108°，对应角相等，各边长度对应成比例，一定相似；
③两个矩形的对应角都为90°相等，但邻边的比值不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似；
④任意两个圆的形状完全相同，一定相似；
⑤两个正方形的每个内角都为90°，对应角相等，各边对应成比例，一定相似。
综上，一定是相似图形的是②④⑤。
①两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似；
②两个正五边形的每个内角都为108°，对应角相等，各边长度对应成比例，一定相似；
③两个矩形的对应角都为90°相等，但邻边的比值不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似；
④任意两个圆的形状完全相同，一定相似；
⑤两个正方形的每个内角都为90°，对应角相等，各边对应成比例，一定相似。
综上，一定是相似图形的是②④⑤。
3. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，AB与A'B'，AD与A'D'分别是对应边.若AB=8 cm，A'B'=6 cm，AD=5 cm，则A'D'= cm.
答案
$\boldsymbol{\frac{15}{4}}$（或3.75）
解析
解：
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，AB与A'B'，AD与A'D'分别是对应边，
∴ 相似多边形对应边成比例，即 $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AD}{A'D'}$。
将$AB=8\ \mathrm{cm}$，$A'B'=6\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{8}{6} = \frac{5}{A'D'}$
解得 $A'D' = \frac{15}{4} = 3.75\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，AB与A'B'，AD与A'D'分别是对应边，
∴ 相似多边形对应边成比例，即 $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AD}{A'D'}$。
将$AB=8\ \mathrm{cm}$，$A'B'=6\ \mathrm{cm}$，$AD=5\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{8}{6} = \frac{5}{A'D'}$
解得 $A'D' = \frac{15}{4} = 3.75\ \mathrm{cm}$。
4.已知图示数据，且$DE// BC$.
(1)求$\frac{AD}{AB},\frac{AE}{AC},\frac{DE}{BC}$的值；
(2)证明$△ ADE$与$△ ABC$相似.
(1)求$\frac{AD}{AB},\frac{AE}{AC},\frac{DE}{BC}$的值；
(2)证明$△ ADE$与$△ ABC$相似.
答案
解：(1) 由题图数据可得：
$AB=AD+DB=2+4=6$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$AC=AE+EC=2.5+5=7.5$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{2.5}{7.5}=\frac{1}{3}$。
又$DE=3$，$BC=9$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$。
又$\because ∠ A=∠ A$，且$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
即$△ ADE$与$△ ABC$的对应角相等，对应边的比相等，
$\therefore △ ADE$与$△ ABC$相似。
$AB=AD+DB=2+4=6$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$AC=AE+EC=2.5+5=7.5$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{2.5}{7.5}=\frac{1}{3}$。
又$DE=3$，$BC=9$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$。
又$\because ∠ A=∠ A$，且$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
即$△ ADE$与$△ ABC$的对应角相等，对应边的比相等，
$\therefore △ ADE$与$△ ABC$相似。
5. 提升题 某地准备将某公园的矩形运动场地ABCD进行扩建，扩建后的运动场地为矩形A'B'C'D'，如图，AB=45 m，BC=30 m.
(1)如图①，图中所形成的两个矩形运动场地ABCD与A'B'C'D'相似吗？请说明理由.
(2)如图②，当x为多少时，矩形运动场地ABCD与A'B'C'D'相似？
(1)如图①，图中所形成的两个矩形运动场地ABCD与A'B'C'D'相似吗？请说明理由.
(2)如图②，当x为多少时，矩形运动场地ABCD与A'B'C'D'相似？
答案
解：
(1) 不相似，理由如下：
由题意得，$A'B' = 45 + 5 + 5 = 55\ \mathrm{m}$，$B'C' = 30 + 5 + 5 = 40\ \mathrm{m}$，
则 $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{45}{55} = \dfrac{9}{11}$，$\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}$。
因为 $\dfrac{9}{11} ≠ \dfrac{3}{4}$，两个矩形的对应边不成比例，所以矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$不相似。
(2) 由题意得，$A'B' = (45 + 2x)\ \mathrm{m}$，$B'C' = 30 + 5 + 5 = 40\ \mathrm{m}$。
若矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似，分两种情况：
① 当$A'B'$与$AB$为对应边，$B'C'$与$BC$为对应边时：
$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC}$，即 $\dfrac{45+2x}{45} = \dfrac{40}{30}$，
解得 $x = 7.5$；
② 当$A'B'$与$BC$为对应边，$B'C'$与$AB$为对应边时：
$\dfrac{A'B'}{BC} = \dfrac{B'C'}{AB}$，即 $\dfrac{45+2x}{30} = \dfrac{40}{45}$，
解得 $x = -\dfrac{55}{6}$，不符合实际意义，舍去。
综上，当$x=7.5$时，矩形运动场地$ABCD$与$A'B'C'D'$相似。
(1) 不相似，理由如下：
由题意得，$A'B' = 45 + 5 + 5 = 55\ \mathrm{m}$，$B'C' = 30 + 5 + 5 = 40\ \mathrm{m}$，
则 $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{45}{55} = \dfrac{9}{11}$，$\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}$。
因为 $\dfrac{9}{11} ≠ \dfrac{3}{4}$，两个矩形的对应边不成比例，所以矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$不相似。
(2) 由题意得，$A'B' = (45 + 2x)\ \mathrm{m}$，$B'C' = 30 + 5 + 5 = 40\ \mathrm{m}$。
若矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似，分两种情况：
① 当$A'B'$与$AB$为对应边，$B'C'$与$BC$为对应边时：
$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC}$，即 $\dfrac{45+2x}{45} = \dfrac{40}{30}$，
解得 $x = 7.5$；
② 当$A'B'$与$BC$为对应边，$B'C'$与$AB$为对应边时：
$\dfrac{A'B'}{BC} = \dfrac{B'C'}{AB}$，即 $\dfrac{45+2x}{30} = \dfrac{40}{45}$，
解得 $x = -\dfrac{55}{6}$，不符合实际意义，舍去。
综上，当$x=7.5$时，矩形运动场地$ABCD$与$A'B'C'D'$相似。
