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1. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，点B的坐标为$(-1,-2)$，点C的坐标为$(-4,-1)$。将$Rt△ ABC$平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（）
A.$(0,3)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(4,3)$
A.$(0,3)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(4,3)$
答案
C
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步先确定平移规则，要让点C平移到原点，只需计算点C平移前后横、纵坐标的变化量，就能得到整体的平移规律；第二步利用等腰直角三角形两直角边垂直且相等的性质，结合已知的B、C坐标，求出平移前点A的坐标；第三步将点A的坐标按照平移规则计算，即可得到平移后对应点的坐标，选出正确选项。
【解析】
1. 确定平移规则：已知点C的坐标为$(-4,-1)$，平移后与原点$(0,0)$重合，因此平移时横坐标的变化量为$0-(-4)=4$，纵坐标的变化量为$0-(-1)=1$，即所有点的平移规则为：横坐标加4，纵坐标加1。
2. 求平移前点A的坐标：已知$B(-1,-2)$，$C(-4,-1)$，可得从点C到点B的坐标变化为：横坐标增加$3$，纵坐标减少$1$。因为$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=BC$且$AC⊥ BC$，因此从点C到点A的坐标变化为：横坐标增加$1$，纵坐标增加$3$。由此可得点A的坐标为$(-4+1,-1+3)$，即$(-3,2)$。
3. 计算平移后点A的对应点坐标：按照平移规则，平移后横坐标为$-3+4=1$，纵坐标为$2+1=3$，即对应点坐标为$(1,3)$。
【答案】
C
【知识点】
坐标与图形变化-平移；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合等腰直角三角形的性质考查坐标的平移变换，解题核心是先明确整体平移的规则，再准确求解原点点A的坐标，是坐标变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步先确定平移规则，要让点C平移到原点，只需计算点C平移前后横、纵坐标的变化量，就能得到整体的平移规律；第二步利用等腰直角三角形两直角边垂直且相等的性质，结合已知的B、C坐标，求出平移前点A的坐标；第三步将点A的坐标按照平移规则计算，即可得到平移后对应点的坐标，选出正确选项。
【解析】
1. 确定平移规则：已知点C的坐标为$(-4,-1)$，平移后与原点$(0,0)$重合，因此平移时横坐标的变化量为$0-(-4)=4$，纵坐标的变化量为$0-(-1)=1$，即所有点的平移规则为：横坐标加4，纵坐标加1。
2. 求平移前点A的坐标：已知$B(-1,-2)$，$C(-4,-1)$，可得从点C到点B的坐标变化为：横坐标增加$3$，纵坐标减少$1$。因为$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=BC$且$AC⊥ BC$，因此从点C到点A的坐标变化为：横坐标增加$1$，纵坐标增加$3$。由此可得点A的坐标为$(-4+1,-1+3)$，即$(-3,2)$。
3. 计算平移后点A的对应点坐标：按照平移规则，平移后横坐标为$-3+4=1$，纵坐标为$2+1=3$，即对应点坐标为$(1,3)$。
【答案】
C
【知识点】
坐标与图形变化-平移；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合等腰直角三角形的性质考查坐标的平移变换，解题核心是先明确整体平移的规则，再准确求解原点点A的坐标，是坐标变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格的格点上，其中，点C的坐标为(1，2)。
(1)写出点A，B的坐标：A(，)，B(，)；
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'，则△A'B'C'的三个顶点坐标分别是A'(，)，B'(，)，C'(，)。
(1)写出点A，B的坐标：A(，)，B(，)；
(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'，则△A'B'C'的三个顶点坐标分别是A'(，)，B'(，)，C'(，)。
答案
解：
(1) 由点C的坐标(1,2)确定平面直角坐标系的刻度，可得：
A(2, -1)，B(4, 3)；
(2) 根据平移规则：向左平移2个单位，横坐标减2，向上平移1个单位，纵坐标加1，计算得：
A'(2-2, -1+1)，即A'(0, 0)，
B'(4-2, 3+1)，即B'(2, 4)，
C'(1-2, 2+1)，即C'(-1, 3)。
(1) 由点C的坐标(1,2)确定平面直角坐标系的刻度，可得：
A(2, -1)，B(4, 3)；
(2) 根据平移规则：向左平移2个单位，横坐标减2，向上平移1个单位，纵坐标加1，计算得：
A'(2-2, -1+1)，即A'(0, 0)，
B'(4-2, 3+1)，即B'(2, 4)，
C'(1-2, 2+1)，即C'(-1, 3)。
解析
【分析】
(1) 首先根据已知点C的坐标(1,2)，明确平面直角坐标系中每个小方格代表的单位长度，再根据点的坐标定义：横坐标为点对应x轴上的数值（向右为正，向左为负），纵坐标为点对应y轴上的数值（向上为正，向下为负），即可读出A、B的坐标。
(2) 平移的坐标变化规律为：横坐标“左减右加”，纵坐标“上加下减”。将三个顶点的横坐标都减2（对应向左平移2个单位），纵坐标都加1（对应向上平移1个单位），就能得到平移后的对应点坐标。
【解析】
(1) 已知点C坐标为(1,2)，可确定坐标系的单位刻度，观察格点位置可得：
点A横坐标为2，纵坐标为-1，即A(2,-1)；
点B横坐标为4，纵坐标为3，即B(4,3)。
(2) 根据平移规则：向左平移2个单位长度，横坐标减2；向上平移1个单位长度，纵坐标加1，对各点坐标分别计算：
A'的坐标为$(2-2, -1+1)$，即$A'(0,0)$；
B'的坐标为$(4-2, 3+1)$，即$B'(2,4)$；
C'的坐标为$(1-2, 2+1)$，即$C'(-1,3)$。
【答案】
(1) 2，-1；4，3
(2) 0，0；2，4；-1，3
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标；平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础题，主要考查格点坐标的识别和平移的坐标变化规则，熟练掌握平移时横、纵坐标的变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 首先根据已知点C的坐标(1,2)，明确平面直角坐标系中每个小方格代表的单位长度，再根据点的坐标定义：横坐标为点对应x轴上的数值（向右为正，向左为负），纵坐标为点对应y轴上的数值（向上为正，向下为负），即可读出A、B的坐标。
(2) 平移的坐标变化规律为：横坐标“左减右加”，纵坐标“上加下减”。将三个顶点的横坐标都减2（对应向左平移2个单位），纵坐标都加1（对应向上平移1个单位），就能得到平移后的对应点坐标。
【解析】
(1) 已知点C坐标为(1,2)，可确定坐标系的单位刻度，观察格点位置可得：
点A横坐标为2，纵坐标为-1，即A(2,-1)；
点B横坐标为4，纵坐标为3，即B(4,3)。
(2) 根据平移规则：向左平移2个单位长度，横坐标减2；向上平移1个单位长度，纵坐标加1，对各点坐标分别计算：
A'的坐标为$(2-2, -1+1)$，即$A'(0,0)$；
B'的坐标为$(4-2, 3+1)$，即$B'(2,4)$；
C'的坐标为$(1-2, 2+1)$，即$C'(-1,3)$。
【答案】
(1) 2，-1；4，3
(2) 0，0；2，4；-1，3
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标；平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础题，主要考查格点坐标的识别和平移的坐标变化规则，熟练掌握平移时横、纵坐标的变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(4，2)，B(1，0)，C(5，-3)，△ABC中任意一点P(x₀，y₀)，经平移后的对应点为P'(x₀−6，y₀+2)，将△ABC作同样的平移得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'。
(1)点A'的坐标为，点B'的坐标为，点C'的坐标为；
(2)画出平移后的△A'B'C'；
(3)求△ABC的面积。
(1)点A'的坐标为，点B'的坐标为，点C'的坐标为；
(2)画出平移后的△A'B'C'；
(3)求△ABC的面积。
答案
解：
(1) 根据平移规则：横坐标减6，纵坐标加2，可得
点A'的坐标为$(4-6, 2+2)$，即$\boldsymbol{(-2, 4)}$，
点B'的坐标为$(1-6, 0+2)$，即$\boldsymbol{(-5, 2)}$，
点C'的坐标为$(5-6, -3+2)$，即$\boldsymbol{(-1, -1)}$；
(2) 在平面直角坐标系中描出点$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$，依次连接这三个点，即可得到平移后的$△ A'B'C'$。
(3) 用割补法计算$△ ABC$的面积：
构造覆盖$△ ABC$的矩形，四个顶点为$(1,2)$、$(5,2)$、$(5,-3)$、$(1,-3)$，
矩形面积为：$4×5=20$
减去矩形内三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_2=\frac{1}{2}×4×3=6$，$S_3=\frac{1}{2}×1×5=2.5$
$S_{△ ABC}=20-3-6-2.5=\frac{17}{2}$
综上，$△ ABC$的面积为$\frac{17}{2}$。
(1) 根据平移规则：横坐标减6，纵坐标加2，可得
点A'的坐标为$(4-6, 2+2)$，即$\boldsymbol{(-2, 4)}$，
点B'的坐标为$(1-6, 0+2)$，即$\boldsymbol{(-5, 2)}$，
点C'的坐标为$(5-6, -3+2)$，即$\boldsymbol{(-1, -1)}$；
(2) 在平面直角坐标系中描出点$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$，依次连接这三个点，即可得到平移后的$△ A'B'C'$。
(3) 用割补法计算$△ ABC$的面积：
构造覆盖$△ ABC$的矩形，四个顶点为$(1,2)$、$(5,2)$、$(5,-3)$、$(1,-3)$，
矩形面积为：$4×5=20$
减去矩形内三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_2=\frac{1}{2}×4×3=6$，$S_3=\frac{1}{2}×1×5=2.5$
$S_{△ ABC}=20-3-6-2.5=\frac{17}{2}$
综上，$△ ABC$的面积为$\frac{17}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解平移后点的坐标，首先明确题目给出的平移规则：点平移后横坐标减6，纵坐标加2，只需将A、B、C三点的横、纵坐标分别按该规则计算，即可得到对应平移后点的坐标。
(2) 画平移后的三角形，先根据第一问算出的$A'$、$B'$、$C'$的坐标在坐标系中描出三个点，再顺次连接即可。
(3) 网格中求不规则三角形的面积，通常采用割补法：先构造一个完全覆盖该三角形的矩形，用矩形面积减去矩形内除目标三角形外其余直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积，该方法避免了直接求三角形底和高的麻烦，适合网格中图形面积计算。
【解析】
(1) 已知平移规则为：点$(x_0,y_0)$平移后对应点为$(x_0-6,y_0+2)$，即横坐标减6，纵坐标加2：
将$A(4,2)$代入得：$A'(4-6,2+2)$，即$A'(-2,4)$；
将$B(1,0)$代入得：$B'(1-6,0+2)$，即$B'(-5,2)$；
将$C(5,-3)$代入得：$C'(5-6,-3+2)$，即$C'(-1,-1)$。
(2) 首先在平面直角坐标系中依次描出点$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$，再顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到的三角形即为平移后的$△ A'B'C'$。
(3) 采用割补法计算$△ ABC$的面积：
构造覆盖$△ ABC$的矩形，矩形四个顶点坐标为$(1,2)$、$(5,2)$、$(5,-3)$、$(1,-3)$，
矩形的长为$5-1=4$，宽为$2-(-3)=5$，因此矩形面积$S_{\mathrm{矩形}}=4×5=20$；
再减去矩形内三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_2=\frac{1}{2}×4×3=6$，$S_3=\frac{1}{2}×1×5=2.5$；
因此$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}}-S_1-S_2-S_3=20-3-6-2.5=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,4)}$，$\boldsymbol{(-5,2)}$，$\boldsymbol{(-1,-1)}$；
(2) 描出$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$，顺次连接三点得到$△ A'B'C'$（图略）；
(3) $\boldsymbol{\frac{17}{2}}$（或8.5）。
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积，平面直角坐标系作图
【点评】
本题属于平面直角坐标系基础综合题，核心考查平移的坐标变化规则以及网格中不规则图形面积的计算方法，解题关键是熟练掌握平移的坐标变化特点，灵活运用割补法简化面积计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 求解平移后点的坐标，首先明确题目给出的平移规则：点平移后横坐标减6，纵坐标加2，只需将A、B、C三点的横、纵坐标分别按该规则计算，即可得到对应平移后点的坐标。
(2) 画平移后的三角形，先根据第一问算出的$A'$、$B'$、$C'$的坐标在坐标系中描出三个点，再顺次连接即可。
(3) 网格中求不规则三角形的面积，通常采用割补法：先构造一个完全覆盖该三角形的矩形，用矩形面积减去矩形内除目标三角形外其余直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积，该方法避免了直接求三角形底和高的麻烦，适合网格中图形面积计算。
【解析】
(1) 已知平移规则为：点$(x_0,y_0)$平移后对应点为$(x_0-6,y_0+2)$，即横坐标减6，纵坐标加2：
将$A(4,2)$代入得：$A'(4-6,2+2)$，即$A'(-2,4)$；
将$B(1,0)$代入得：$B'(1-6,0+2)$，即$B'(-5,2)$；
将$C(5,-3)$代入得：$C'(5-6,-3+2)$，即$C'(-1,-1)$。
(2) 首先在平面直角坐标系中依次描出点$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$，再顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到的三角形即为平移后的$△ A'B'C'$。
(3) 采用割补法计算$△ ABC$的面积：
构造覆盖$△ ABC$的矩形，矩形四个顶点坐标为$(1,2)$、$(5,2)$、$(5,-3)$、$(1,-3)$，
矩形的长为$5-1=4$，宽为$2-(-3)=5$，因此矩形面积$S_{\mathrm{矩形}}=4×5=20$；
再减去矩形内三个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×3×2=3$，$S_2=\frac{1}{2}×4×3=6$，$S_3=\frac{1}{2}×1×5=2.5$；
因此$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{矩形}}-S_1-S_2-S_3=20-3-6-2.5=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,4)}$，$\boldsymbol{(-5,2)}$，$\boldsymbol{(-1,-1)}$；
(2) 描出$A'(-2,4)$、$B'(-5,2)$、$C'(-1,-1)$，顺次连接三点得到$△ A'B'C'$（图略）；
(3) $\boldsymbol{\frac{17}{2}}$（或8.5）。
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积，平面直角坐标系作图
【点评】
本题属于平面直角坐标系基础综合题，核心考查平移的坐标变化规则以及网格中不规则图形面积的计算方法，解题关键是熟练掌握平移的坐标变化特点，灵活运用割补法简化面积计算过程。
【难度系数】
0.7
1. 在平面直角坐标系中，已知点 $ P $ 的坐标为$(0, -3)$，点 $ Q $ 的坐标为$(5, 1)$，连接 $ PQ $ 后平移得到 $ P_1Q_1 $。若 $ P_1(m, -2) $，$ Q_1(2, n) $，则 $ n^m $ 的值是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$8$
D.$9$
B
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$8$
D.$9$
答案
1. B
解析
【分析】
本题可根据平移的性质求解，解题思路如下：首先，图形平移时所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等，因此先通过点P、Q平移前后的坐标关系求出平移的横、纵坐标变化量，再计算出m、n的取值，最后代入计算$n^m$的值即可。
【解析】
根据平移的性质：平移前后，对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。
1. 求横坐标变化量：点Q原坐标为$(5,1)$，平移后$Q_1$坐标为$(2,n)$，横坐标变化量为$2-5=-3$，即平移时横坐标减3，因此点P平移后的横坐标$m=0+(-3)=-3$。
2. 求纵坐标变化量：点P原坐标为$(0,-3)$，平移后$P_1$坐标为$(m,-2)$，纵坐标变化量为$-2-(-3)=1$，即平移时纵坐标加1，因此点Q平移后的纵坐标$n=1+1=2$。
3. 计算$n^m$的值：将$m=-3$，$n=2$代入得，$n^m=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
平移的坐标变化规律，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是抓住平移过程中对应点坐标的变化规律一致，只要熟练掌握平移的性质和负整数指数幂的计算方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题可根据平移的性质求解，解题思路如下：首先，图形平移时所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等，因此先通过点P、Q平移前后的坐标关系求出平移的横、纵坐标变化量，再计算出m、n的取值，最后代入计算$n^m$的值即可。
【解析】
根据平移的性质：平移前后，对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。
1. 求横坐标变化量：点Q原坐标为$(5,1)$，平移后$Q_1$坐标为$(2,n)$，横坐标变化量为$2-5=-3$，即平移时横坐标减3，因此点P平移后的横坐标$m=0+(-3)=-3$。
2. 求纵坐标变化量：点P原坐标为$(0,-3)$，平移后$P_1$坐标为$(m,-2)$，纵坐标变化量为$-2-(-3)=1$，即平移时纵坐标加1，因此点Q平移后的纵坐标$n=1+1=2$。
3. 计算$n^m$的值：将$m=-3$，$n=2$代入得，$n^m=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
平移的坐标变化规律，负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是抓住平移过程中对应点坐标的变化规律一致，只要熟练掌握平移的性质和负整数指数幂的计算方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若线段AB平移后得到线段$A_1B_1$，则$a+b$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2. B
解析
【分析】
解题需用到平移的核心性质：图形平移时，所有对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。首先通过A到A₁的横坐标变化、B到B₁的纵坐标变化确定线段整体的平移规律，再根据规律计算a、b的值，最后求和即可。
【解析】
根据平移的性质，线段AB平移至A₁B₁时，所有对应点的平移方式完全一致：
1. 计算横向平移距离：点A(2,0)平移到A₁(4,b)，横坐标增加了$4-2=2$，说明线段向右平移了2个单位，因此点B(0,1)平移后的横坐标$a=0+2=2$；
2. 计算纵向平移距离：点B(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标增加了$2-1=1$，说明线段向上平移了1个单位，因此点A(2,0)平移后的纵坐标$b=0+1=1$；
因此$a+b=2+1=3$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移过程中点的坐标变化规律，只要掌握“平移前后对应点横、纵坐标的变化量分别相等”，结合“左减右加、上加下减”的坐标变化口诀就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题需用到平移的核心性质：图形平移时，所有对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。首先通过A到A₁的横坐标变化、B到B₁的纵坐标变化确定线段整体的平移规律，再根据规律计算a、b的值，最后求和即可。
【解析】
根据平移的性质，线段AB平移至A₁B₁时，所有对应点的平移方式完全一致：
1. 计算横向平移距离：点A(2,0)平移到A₁(4,b)，横坐标增加了$4-2=2$，说明线段向右平移了2个单位，因此点B(0,1)平移后的横坐标$a=0+2=2$；
2. 计算纵向平移距离：点B(0,1)平移到B₁(a,2)，纵坐标增加了$2-1=1$，说明线段向上平移了1个单位，因此点A(2,0)平移后的纵坐标$b=0+1=1$；
因此$a+b=2+1=3$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移过程中点的坐标变化规律，只要掌握“平移前后对应点横、纵坐标的变化量分别相等”，结合“左减右加、上加下减”的坐标变化口诀就能快速解题。
【难度系数】
0.8
