1. 如图，点A，B，C在$\odot O$上。若$∠ ACB=40°$，则$∠ AOB$的度数是（）

A.$140°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$80°$

1. D

【分析】
本题考查圆周角定理的应用，解题思路如下：首先观察图形，确定∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，二者对应同一段弧；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需用已知的圆周角度数乘2即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠ACB，
又
∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2×40°=80°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，侧重对基础定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，熟练掌握圆周角定理即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

2.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，若$AC=8$，$AB=10$，则$BC$的长为（）

A.$\dfrac{3}{2}$
B.3
C.5
D.6

2. D

【分析】
解题时首先观察图形特征，已知AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，可先判断△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。在直角三角形中已知斜边AB和直角边AC的长度，直接代入勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的性质与直角三角形的计算相结合，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.9

3. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半⊙O，交BC于点D。若∠BAC=40°，则∠ODC的度数是。

(第3题) (第4题)

3. $110°$

【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先根据等腰△ABC的顶角∠BAC的度数，计算出底角∠B的度数；②结合圆的半径相等，得到OB=OD，判定△OBD为等腰三角形，推出∠ODB与∠B相等；③最后根据∠ODC和∠ODB互为邻补角，和为180°，代入数值即可求出∠ODC的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°
∴ ∠B = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°
∵ OB和OD都是半⊙O的半径，
∴ OB=OD
∴ △OBD为等腰三角形，∠ODB = ∠B = 70°
又
∵ ∠ODB + ∠ODC = 180°（邻补角的和为平角）
∴ ∠ODC = 180° - 70° = 110°
【答案】
$110°$
【知识点】
等腰三角形的性质、圆的基本性质、邻补角定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，将等腰三角形性质和圆的特征结合考查，解题的核心是通过半径相等得到等角，再结合邻补角的关系求解，熟练掌握基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8

4. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12 cm，BC=5 cm，则圆形镜面的半径为 cm。

4. $\dfrac{13}{2}$

【分析】
解题时首先观察图形特征：直角尺的∠ABC为直角，且A、B、C三点均在圆形镜面的圆周上。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，因此可以确定AC为圆形镜面的直径。接下来只需利用勾股定理计算出AC的长度，再除以2即可得到半径。
【解析】
解：
∵∠ABC=90°，且点A、B、C都在圆形镜面的圆周上，
∴根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AC是该圆的直径。
在Rt△ABC中，AB=12 cm，BC=5 cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
∴圆形镜面的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{13}{2}$
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是根据直角判断出对应弦为圆的直径，再结合勾股定理计算，属于基础应用类题目，能很好地考查学生将知识运用于实际的能力。
【难度系数】
0.7

5.如图所示，$△ ABD$是$\odot O$的内接三角形，圆心O在边AB上，C为$\overset{\frown}{AD}$的中点，AD分别与BC，OC交于点E，F两点，求证：
(1)$OF// BD$。
(2)若$∠ C=30°$，则AD平分OC。

(1)
∵OC过O,C为弧AD的中点,
∴AF=DF。
∵AO=BO,
∴OF//BD
(2)延长CO交$\odot O$于N。$\because ∠C=30°$,
∴弧BN度数是$60°$。$\because ∠AOC=∠BON$,
∴弧AC的度数是$60°$,$\therefore ∠COA=60°$。
∵OC过O,C为弧AD中点,$\therefore OF⊥AD$,$\therefore ∠OFA=90°$,$\therefore ∠A=30°$,$\therefore OF=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OC$,即AD平分OC

【分析】
(1) 要证$OF// BD$，首先利用弧中点的性质：圆心与弧中点的连线垂直平分该弧所对的弦，结合C是$\overset{\frown}{AD}$中点，可得F是AD中点；又O是AB中点，可知OF是$△ ABD$的中位线，根据中位线性质即可得到平行关系。
(2) 要证AD平分OC，即证F是OC的中点，也就是$OF=\frac{1}{2}OC$。已知$∠ C=30°$，先利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，得到$∠ COA=60°$，结合$OC⊥ AD$可得$Rt△ OFA$中存在$30°$角，利用特殊直角三角形的性质可得$OF=\frac{1}{2}OA$，再结合OA、OC同为半径相等，即可证得结论。
【解析】
(1) 证明：
∵O为$\odot O$的圆心，C为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
根据垂径定理推论，OC垂直平分弦AD，
∴$AF=DF$，即F为AD的中点。
又
∵圆心O在AB上，AB是$\odot O$的直径，
∴$AO=BO$，即O为AB的中点，
∴OF是$△ ABD$的中位线，
∴$OF// BD$。
(2) 证明：
延长CO交$\odot O$于点N，
∵$∠ C$是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BN}$，且$∠ C=30°$，
∴$\overset{\frown}{BN}$的度数为$2×30°=60°$。
∵$∠ AOC$与$∠ BON$是对顶角，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数与$\overset{\frown}{BN}$的度数相等，即$\overset{\frown}{AC}$为$60°$，
∴圆心角$∠ COA=60°$。
∵C为$\overset{\frown}{AD}$的中点，OC过圆心O，
∴$OC⊥ AD$，即$∠ OFA=90°$，
在$Rt△ OFA$中，$∠ OAF=90°-∠ COA=30°$，
∴$OF=\frac{1}{2}OA$。
又
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，$OA=OC$，
∴$OF=\frac{1}{2}OC$，即F为OC的中点，
∴AD平分OC。
【答案】
(1)
∵OC过O,C为弧AD的中点,
∴AF=DF。
∵AO=BO,
∴OF//BD
(2)延长CO交$\odot O$于N。$\because ∠C=30°$,
∴弧BN度数是$60°$。$\because ∠AOC=∠BON$,
∴弧AC的度数是$60°$,$\therefore ∠COA=60°$。
∵OC过O,C为弧AD中点,$\therefore OF⊥AD$,$\therefore ∠OFA=90°$,$\therefore ∠A=30°$,$\therefore OF=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OC$,即AD平分OC
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是理清圆中弧、弦、圆心角、圆周角的对应关系，结合三角形中位线、特殊直角三角形的性质推导结论，需要掌握常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7