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9. (★)若点$A(-1,3)$绕坐标原点旋转$180°$得到点$B$,则点$B$的坐标为 【 】
A.$(1,-3)$
B.$(-1,3)$
C.$(1,3)$
D.$(-1,-3)$
A.$(1,-3)$
B.$(-1,3)$
C.$(1,3)$
D.$(-1,-3)$
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先要明确点绕原点旋转180°的本质：旋转后得到的点与原点点关于原点中心对称。而关于原点中心对称的点的坐标规律为横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此只需将点A的横、纵坐标分别取相反数，即可得到点B的坐标。
【解析】
∵ 点绕坐标原点旋转180°后得到的对应点与原点点关于原点中心对称，
关于原点中心对称的点的坐标特征为：横坐标、纵坐标均互为相反数，
已知点A的坐标为$(-1,3)$，
∴ 点B的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-3$，即点B的坐标为$(1,-3)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于原点对称的坐标特征
2. 旋转的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查中心对称对应的坐标变换规律，熟练掌握对应坐标变化规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确点绕原点旋转180°的本质：旋转后得到的点与原点点关于原点中心对称。而关于原点中心对称的点的坐标规律为横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此只需将点A的横、纵坐标分别取相反数，即可得到点B的坐标。
【解析】
∵ 点绕坐标原点旋转180°后得到的对应点与原点点关于原点中心对称，
关于原点中心对称的点的坐标特征为：横坐标、纵坐标均互为相反数，
已知点A的坐标为$(-1,3)$，
∴ 点B的横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$-3$，即点B的坐标为$(1,-3)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于原点对称的坐标特征
2. 旋转的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查中心对称对应的坐标变换规律，熟练掌握对应坐标变化规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
10. (★★)已知$a＜1$，则点$(-a^2, -a+1)$关于原点对称的点在
【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，第一步需牢记关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。首先据此求出已知点的对称点坐标，再结合a＜1的条件，分别判断对称点横、纵坐标的正负性，最后根据各象限内点的坐标符号特征即可确定其所在象限。
【解析】
1. 求对称点坐标：根据关于原点对称的点的坐标特征，点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，因此点$(-a^2, -a+1)$关于原点对称的点的坐标为$(a^2, a-1)$。
2. 判断坐标符号：
① 横坐标$a^2$：平方数具有非负性，即$a^2≥0$，结合题目选项均为象限，可知$a≠0$，因此$a^2＞0$；
② 纵坐标$a-1$：已知$a＜1$，根据不等式的性质，两边同时减1可得$a-1＜0$。
3. 确定象限：第四象限内点的坐标符号为$(+, -)$，该对称点横坐标为正、纵坐标为负，因此在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；不等式的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查原点对称点的坐标变换规律，同时结合不等式判断代数式的正负，解题时需注意坐标符号不要搞反，准确记忆各象限的坐标符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，第一步需牢记关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。首先据此求出已知点的对称点坐标，再结合a＜1的条件，分别判断对称点横、纵坐标的正负性，最后根据各象限内点的坐标符号特征即可确定其所在象限。
【解析】
1. 求对称点坐标：根据关于原点对称的点的坐标特征，点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，因此点$(-a^2, -a+1)$关于原点对称的点的坐标为$(a^2, a-1)$。
2. 判断坐标符号：
① 横坐标$a^2$：平方数具有非负性，即$a^2≥0$，结合题目选项均为象限，可知$a≠0$，因此$a^2＞0$；
② 纵坐标$a-1$：已知$a＜1$，根据不等式的性质，两边同时减1可得$a-1＜0$。
3. 确定象限：第四象限内点的坐标符号为$(+, -)$，该对称点横坐标为正、纵坐标为负，因此在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；不等式的性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查原点对称点的坐标变换规律，同时结合不等式判断代数式的正负，解题时需注意坐标符号不要搞反，准确记忆各象限的坐标符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. (★★)已知两点$M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$,若$x_1+x_2=0,y_1+y_2=0$,则点$M_1$与$M_2$
【 】
A.关于y轴对称
B.关于x轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线$x=1$对称
【 】
A.关于y轴对称
B.关于x轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线$x=1$对称
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，推导两个点坐标之间的关系：由$x_1+x_2=0$可得$x_2=-x_1$，由$y_1+y_2=0$可得$y_2=-y_1$，即点$M_2$的坐标是$(-x_1,-y_1)$。接下来回忆各类对称对应的坐标特征，将推导得到的坐标关系和各选项的对称特征逐一比对，即可选出正确答案。
【解析】
由题意推导坐标关系：
∵ $x_1+x_2=0$，$y_1+y_2=0$
∴ $x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$，即$M_2(-x_1,-y_1)$
逐一分析选项：
A. 关于y轴对称的两点坐标满足：纵坐标相等，横坐标互为相反数，本题中$y_2=-y_1≠y_1$，不符合特征，故A错误；
B. 关于x轴对称的两点坐标满足：横坐标相等，纵坐标互为相反数，本题中$x_2=-x_1≠x_1$，不符合特征，故B错误；
C. 关于原点对称的两点坐标满足：横、纵坐标均互为相反数，正好符合$x_2=-x_1$、$y_2=-y_1$的关系，故C正确；
D. 关于直线$x=1$对称的两点坐标满足：纵坐标相等，横坐标的平均值为1（即$x_1+x_2=2$），本题中$x_1+x_2=0$且$y_2=-y_1≠y_1$，不符合特征，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标、关于坐标轴对称的点的坐标
【点评】
本题考查不同对称形式对应的点的坐标变化规律，熟记各类对称的坐标特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件入手，推导两个点坐标之间的关系：由$x_1+x_2=0$可得$x_2=-x_1$，由$y_1+y_2=0$可得$y_2=-y_1$，即点$M_2$的坐标是$(-x_1,-y_1)$。接下来回忆各类对称对应的坐标特征，将推导得到的坐标关系和各选项的对称特征逐一比对，即可选出正确答案。
【解析】
由题意推导坐标关系：
∵ $x_1+x_2=0$，$y_1+y_2=0$
∴ $x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$，即$M_2(-x_1,-y_1)$
逐一分析选项：
A. 关于y轴对称的两点坐标满足：纵坐标相等，横坐标互为相反数，本题中$y_2=-y_1≠y_1$，不符合特征，故A错误；
B. 关于x轴对称的两点坐标满足：横坐标相等，纵坐标互为相反数，本题中$x_2=-x_1≠x_1$，不符合特征，故B错误；
C. 关于原点对称的两点坐标满足：横、纵坐标均互为相反数，正好符合$x_2=-x_1$、$y_2=-y_1$的关系，故C正确；
D. 关于直线$x=1$对称的两点坐标满足：纵坐标相等，横坐标的平均值为1（即$x_1+x_2=2$），本题中$x_1+x_2=0$且$y_2=-y_1≠y_1$，不符合特征，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标、关于坐标轴对称的点的坐标
【点评】
本题考查不同对称形式对应的点的坐标变化规律，熟记各类对称的坐标特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
12. (★★)如图,将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(4,0)$,点B位于第一象限.若再将等边三角形AOB绕点O顺时针旋转$180°$得到$△ A'OB'$,则点$B'$的坐标为.
答案
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D。
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为(4,0)
∴OA=OB=AB=4
∴OD = $\frac{1}{2}$OA = 2
在Rt△OBD中，$BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$
∴点B的坐标为$(2, 2\sqrt{3})$
∵△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A'OB'
∴点B'与点B关于原点O中心对称
∴点B'的坐标为$(-2, -2\sqrt{3})$
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为(4,0)
∴OA=OB=AB=4
∴OD = $\frac{1}{2}$OA = 2
在Rt△OBD中，$BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$
∴点B的坐标为$(2, 2\sqrt{3})$
∵△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A'OB'
∴点B'与点B关于原点O中心对称
∴点B'的坐标为$(-2, -2\sqrt{3})$
解析
【分析】
要得到旋转后点$B'$的坐标，首先需要求出原等边三角形中点$B$的坐标：已知$△ AOB$是等边三角形，点$A$坐标为$(4,0)$，可知$OA$边长为4，利用等边三角形三线合一的性质，过$B$作$x$轴的垂线，即可求出$B$点的横、纵坐标；再根据绕原点顺时针旋转$180°$的性质，旋转后对应点与原点点关于原点中心对称，利用关于原点对称的点坐标横、纵坐标均互为相反数的规律，就能求出$B'$的坐标。
【解析】
过点$B$作$BD⊥ x$轴，垂足为$D$。
$\because△ AOB$是等边三角形，点$A$的坐标为$(4,0)$
$\therefore OA=OB=AB=4$
根据等边三角形三线合一的性质，$OD = \frac{1}{2}OA = 2$
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：$BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$
$\therefore$点$B$的坐标为$(2, 2\sqrt{3})$
$\because△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$180°$得到$△ A'OB'$
$\therefore$点$B'$与点$B$关于原点$O$中心对称
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点$B'$的坐标为$(-2, -2\sqrt{3})$
【答案】
$(-2, -2\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的基础题，解题的核心是先求出原图形对应点的坐标，再结合旋转的性质利用坐标对称规律求解，是几何变换类题型的常见考法。
【难度系数】
0.7
要得到旋转后点$B'$的坐标，首先需要求出原等边三角形中点$B$的坐标：已知$△ AOB$是等边三角形，点$A$坐标为$(4,0)$，可知$OA$边长为4，利用等边三角形三线合一的性质，过$B$作$x$轴的垂线，即可求出$B$点的横、纵坐标；再根据绕原点顺时针旋转$180°$的性质，旋转后对应点与原点点关于原点中心对称，利用关于原点对称的点坐标横、纵坐标均互为相反数的规律，就能求出$B'$的坐标。
【解析】
过点$B$作$BD⊥ x$轴，垂足为$D$。
$\because△ AOB$是等边三角形，点$A$的坐标为$(4,0)$
$\therefore OA=OB=AB=4$
根据等边三角形三线合一的性质，$OD = \frac{1}{2}OA = 2$
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：$BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = 2\sqrt{3}$
$\therefore$点$B$的坐标为$(2, 2\sqrt{3})$
$\because△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$180°$得到$△ A'OB'$
$\therefore$点$B'$与点$B$关于原点$O$中心对称
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点$B'$的坐标为$(-2, -2\sqrt{3})$
【答案】
$(-2, -2\sqrt{3})$
【知识点】
等边三角形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的基础题，解题的核心是先求出原图形对应点的坐标，再结合旋转的性质利用坐标对称规律求解，是几何变换类题型的常见考法。
【难度系数】
0.7
13. (★★)已知点$P(a, -a-1)$在二次函数$y=x^2 -7x +8$的图象上，则点$P$关于原点$O$对称的点$P'$的坐标是。
答案
解：
∵点$P(a,-a-1)$在二次函数$y=x^2-7x+8$的图象上，
∴将$x=a$，$y=-a-1$代入函数解析式，得：
$-a-1 = a^2 -7a +8$
整理得：$a^2 -6a +9=0$
即$(a-3)^2=0$
解得$a=3$
∴点$P$的坐标为$(3, -4)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$P$关于原点$O$对称的点$P'$的坐标是$(-3,4)$。
∵点$P(a,-a-1)$在二次函数$y=x^2-7x+8$的图象上，
∴将$x=a$，$y=-a-1$代入函数解析式，得：
$-a-1 = a^2 -7a +8$
整理得：$a^2 -6a +9=0$
即$(a-3)^2=0$
解得$a=3$
∴点$P$的坐标为$(3, -4)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$P$关于原点$O$对称的点$P'$的坐标是$(-3,4)$。
解析
【分析】要得到点P关于原点对称的点P'的坐标，首先需要求出点P的坐标。已知点P在二次函数图象上，点P的坐标必然满足二次函数解析式，将点P的横、纵坐标代入解析式即可求出a的值，确定点P的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标规律，就能求出P'的坐标。
【解析】
∵点$P(a,-a-1)$在二次函数$y=x^2-7x+8$的图象上，
∴将$x=a$，$y=-a-1$代入函数解析式，得：
$-a-1 = a^2 -7a +8$
整理得：$a^2 -6a +9=0$
即$(a-3)^2=0$
解得$a=3$
∴点$P$的坐标为$(3, -4)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$P$关于原点$O$对称的点$P'$的坐标是$(-3,4)$。
【答案】$(-3,4)$
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标性质；一元二次方程的解法
【点评】本题属于基础题型，解题关键是明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律，运算难度较低，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】
∵点$P(a,-a-1)$在二次函数$y=x^2-7x+8$的图象上，
∴将$x=a$，$y=-a-1$代入函数解析式，得：
$-a-1 = a^2 -7a +8$
整理得：$a^2 -6a +9=0$
即$(a-3)^2=0$
解得$a=3$
∴点$P$的坐标为$(3, -4)$
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$P$关于原点$O$对称的点$P'$的坐标是$(-3,4)$。
【答案】$(-3,4)$
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标性质；一元二次方程的解法
【点评】本题属于基础题型，解题关键是明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律，运算难度较低，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】0.8
14. (★★)如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)请按顺序写出点A,E,C的对应点的坐标，并写出对应点的坐标有哪些特征：点A(2,3)与点D；点B与点E(-1,-2)；点C(3,1)与点F；对应点的坐标的特征是横坐标、纵坐标均。
(2)若点P(a+3,4−b)与点Q(2a,2b−3)也是通过上述变换得到的对应点，求a,b的值。
(1)请按顺序写出点A,E,C的对应点的坐标，并写出对应点的坐标有哪些特征：点A(2,3)与点D；点B与点E(-1,-2)；点C(3,1)与点F；对应点的坐标的特征是横坐标、纵坐标均。
(2)若点P(a+3,4−b)与点Q(2a,2b−3)也是通过上述变换得到的对应点，求a,b的值。
答案
解：
(1) 点$A(2,3)$与点$D\boldsymbol{(-2,-3)}$；点$B\boldsymbol{(1,2)}$与点$E(-1,-2)$；点$C(3,1)$与点$F\boldsymbol{(-3,-1)}$；对应点的坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 根据上述变换的坐标特征，对应点的横、纵坐标均互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
$a+3=-2a$
$3a=-3$
$a=-1$
解第二个方程：
$4-b=-2b+3$
$-b+2b=3-4$
$b=-1$
综上，$a$的值为$-1$，$b$的值为$-1$。
(1) 点$A(2,3)$与点$D\boldsymbol{(-2,-3)}$；点$B\boldsymbol{(1,2)}$与点$E(-1,-2)$；点$C(3,1)$与点$F\boldsymbol{(-3,-1)}$；对应点的坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 根据上述变换的坐标特征，对应点的横、纵坐标均互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
$a+3=-2a$
$3a=-3$
$a=-1$
解第二个方程：
$4-b=-2b+3$
$-b+2b=3-4$
$b=-1$
综上，$a$的值为$-1$，$b$的值为$-1$。
解析
【分析】
(1) 解题时先观察平面直角坐标系中各点的位置，读出未知对应点的坐标，再对比每组对应点的横坐标、纵坐标的数值关系，即可总结出坐标特征。
(2) 利用第一问得到的对应点坐标特征，将点P和点Q的坐标代入特征，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：
点A(2,3)的对应点D坐标为$\boldsymbol{(-2,-3)}$；
点E(-1,-2)的对应点B坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
点C(3,1)的对应点F坐标为$\boldsymbol{(-3,-1)}$。
对比三组对应点的坐标，可发现对应点的横坐标相加和为0、纵坐标相加和为0，即横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 根据上述变换的坐标特征：对应点的横、纵坐标均互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
移项得$a+2a=-3$，即$3a=-3$，解得$a=-1$。
解第二个方程：
去括号得$4-b=-2b+3$，移项得$-b+2b=3-4$，解得$b=-1$。
【答案】
(1) $(-2,-3)$；$(1,2)$；$(-3,-1)$；互为相反数
(2) $a=-1$，$b=-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标、二元一次方程组的解法、坐标与图形变换
【点评】
本题属于平面直角坐标系图形变换的基础题，侧重考查观察归纳能力和基础计算能力，解题核心是先从已知点中总结出坐标变化规律，再应用规律解决问题，是坐标系类题型的常考类型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先观察平面直角坐标系中各点的位置，读出未知对应点的坐标，再对比每组对应点的横坐标、纵坐标的数值关系，即可总结出坐标特征。
(2) 利用第一问得到的对应点坐标特征，将点P和点Q的坐标代入特征，列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：
点A(2,3)的对应点D坐标为$\boldsymbol{(-2,-3)}$；
点E(-1,-2)的对应点B坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
点C(3,1)的对应点F坐标为$\boldsymbol{(-3,-1)}$。
对比三组对应点的坐标，可发现对应点的横坐标相加和为0、纵坐标相加和为0，即横坐标、纵坐标均互为相反数。
(2) 根据上述变换的坐标特征：对应点的横、纵坐标均互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}a+3 = -2a \\4-b = -(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：
移项得$a+2a=-3$，即$3a=-3$，解得$a=-1$。
解第二个方程：
去括号得$4-b=-2b+3$，移项得$-b+2b=3-4$，解得$b=-1$。
【答案】
(1) $(-2,-3)$；$(1,2)$；$(-3,-1)$；互为相反数
(2) $a=-1$，$b=-1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标、二元一次方程组的解法、坐标与图形变换
【点评】
本题属于平面直角坐标系图形变换的基础题，侧重考查观察归纳能力和基础计算能力，解题核心是先从已知点中总结出坐标变化规律，再应用规律解决问题，是坐标系类题型的常考类型。
【难度系数】
0.7
