15. (★★)如图,在平面直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC关于y轴对称的图形OA'B'C',再作图形OA'B'C'关于点O对称的图形OA''B''C'',则点C'的对应点C''的坐标是
【】

A.(2,-1)
B.(1,-2)
C.(-2,1)
D.(-2,-1)

A

【分析】
解题需分三步完成：第一步，利用菱形作为特殊平行四边形的性质，求出点C的坐标；第二步，根据关于y轴对称的点的坐标变换规律，得到点C的对称点C'的坐标；第三步，根据关于原点对称的点的坐标变换规律，求出C'的对应点C''的坐标。每一步严格按照对应几何性质和坐标变换规则计算即可。
【解析】
1. 求点C的坐标：
菱形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，因此对角线OB和AC的中点重合。
已知$O(0,0)$，$B(3,3)$，则OB的中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+3}{2})=(1.5,1.5)$。
设$C(x,y)$，已知$A(1,2)$，则AC的中点坐标为$(\frac{1+x}{2},\frac{2+y}{2})$，和OB中点相等：
$\frac{1+x}{2}=1.5$，解得$x=2$；$\frac{2+y}{2}=1.5$，解得$y=1$，即$C(2,1)$。
2. 求C关于y轴对称的点C'的坐标：
关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数，因此$C'(-2,1)$。
3. 求C'关于原点O对称的点C''的坐标：
关于原点对称的点，横、纵坐标均变为相反数，因此$C''(2,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，坐标与轴对称变换，坐标与中心对称变换
【点评】
本题结合菱形性质考查平面直角坐标系中的对称变换，难度不大，只要熟练掌握对称变换的坐标变化规律，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

16. (★★★)在平面直角坐标系中,边长为2的等边△AOP的顶点P在第二象限,OA在x轴上,将△AOP绕点O顺时针旋转60°得到△A₁OP₁,再作△A₁OP₁关于原点O对称的图形得到△A₂OP₂,再将△A₂OP₂绕点O顺时针旋转60°得到△A₃OP₃,再作△A₃OP₃关于原点O对称的图形得到△A₄OP₄,……,依此类推,则点P₂₀₂₆的坐标是【】


A.$(1,\sqrt{3})$
B.$(1,-\sqrt{3})$
C.$(2,0)$
D.$(-2,0)$

C

【分析】
首先确定初始点P的坐标，再按照题目给出的“顺时针旋转60°→关于原点中心对称”的交替变换规则，依次计算前几个对应点$P_n$的坐标，找到坐标变换的周期规律，最后用2026除以周期得到余数，对应周期内相同余数的点的坐标即可得到答案。
【解析】
1. 求初始点P的坐标：
边长为2的等边△AOP中，OA在x轴上，$∠ AOP=60°$，P在第二象限，因此点P的极角为$120°$，极径为2，坐标为：
$x=2\cos120°=-1$，$y=2\sin120°=\sqrt{3}$，即$P(-1,\sqrt{3})$。
2. 按规则计算前几个点的坐标，找周期：
旋转得$P_1$：顺时针旋转60°后极角为$120°-60°=60°$，坐标为$(2\cos60°,2\sin60°)=(1,\sqrt{3})$
中心对称得$P_2$：关于原点对称横纵坐标均变号，得$P_2(-1,-\sqrt{3})$
旋转得$P_3$：顺时针旋转60°后极角为$240°-60°=180°$，坐标为$(2\cos180°,2\sin180°)=(-2,0)$
中心对称得$P_4$：关于原点对称得$P_4(2,0)$
旋转得$P_5$：顺时针旋转60°后极角为$0°-60°=300°$，坐标为$(2\cos300°,2\sin300°)=(1,-\sqrt{3})$
中心对称得$P_6$：关于原点对称得$P_6(-1,\sqrt{3})$，和初始点P坐标一致，可知变换周期为6。
3. 计算$P_{2026}$的坐标：
$2026÷6=337······4$，余数为4，因此$P_{2026}$的坐标和$P_4$相同，为$(2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
坐标与图形变换，规律探究，等边三角形性质
【点评】
本题属于图形变换的规律探究题，需要熟练掌握旋转和中心对称的坐标变化规则，通过计算前几个点的坐标找到循环周期是解题的核心，能很好地考查逻辑推理和归纳能力。
【难度系数】
0.6