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14. (★★)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则下列判断错误的是
【 】
A.图象的对称轴是$x=-1$
B.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C.当$-3＜x＜1$时，$y＜0$
D.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根是$-3,1$
【 】
A.图象的对称轴是$x=-1$
B.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C.当$-3＜x＜1$时，$y＜0$
D.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根是$-3,1$
答案
B
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断题，首先提取图象中的已知信息：本题中抛物线开口向上，与x轴交于(-3,0)、(1,0)两点。接下来我们可以利用两个交点推导对称轴，再结合开口方向判断函数增减性，根据图象在x轴的上下位置判断函数值的符号，根据抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根判断根的情况，最后逐一核对选项，注意题目要求选出错误的判断。
【解析】
由二次函数图象可知，抛物线与x轴的交点为(-3,0)和(1,0)，且开口向上：
1. 判断A选项：抛物线对称轴为两个交点横坐标的平均值，即$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，A判断正确，不符合题意；
2. 判断B选项：抛物线开口向上，对称轴为x=-1，因此当$x＜-1$时，y随x的增大而减小，当$x＞-1$时，y随x的增大而增大。并非$x＞-3$时y就随x的增大而减小，B判断错误，符合题意；
3. 判断C选项：观察图象，当$-3＜x＜1$时，抛物线位于x轴下方，对应函数值$y＜0$，C判断正确，不符合题意；
4. 判断D选项：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，即两根为-3和1，D判断正确，不符合题意。
综上，选错误的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，结合图象考查性质的应用，只要能从图象中提取有效交点信息，熟练掌握二次函数对称轴、增减性、与对应方程的关系等知识点，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图象判断题，首先提取图象中的已知信息：本题中抛物线开口向上，与x轴交于(-3,0)、(1,0)两点。接下来我们可以利用两个交点推导对称轴，再结合开口方向判断函数增减性，根据图象在x轴的上下位置判断函数值的符号，根据抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根判断根的情况，最后逐一核对选项，注意题目要求选出错误的判断。
【解析】
由二次函数图象可知，抛物线与x轴的交点为(-3,0)和(1,0)，且开口向上：
1. 判断A选项：抛物线对称轴为两个交点横坐标的平均值，即$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，A判断正确，不符合题意；
2. 判断B选项：抛物线开口向上，对称轴为x=-1，因此当$x＜-1$时，y随x的增大而减小，当$x＞-1$时，y随x的增大而增大。并非$x＞-3$时y就随x的增大而减小，B判断错误，符合题意；
3. 判断C选项：观察图象，当$-3＜x＜1$时，抛物线位于x轴下方，对应函数值$y＜0$，C判断正确，不符合题意；
4. 判断D选项：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，即两根为-3和1，D判断正确，不符合题意。
综上，选错误的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，结合图象考查性质的应用，只要能从图象中提取有效交点信息，熟练掌握二次函数对称轴、增减性、与对应方程的关系等知识点，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
15. (★★★)如图,抛物线$y=x^2+mx$与直线$y=-x+b$相交于点$A(2,0)$和点$B$.
(1)求$m$和$b$的值;
(2)求点$B$的坐标,并结合图象写出不等式$x^2+mx＞-x+b$的解集;
(3)$M$是直线$AB$上的一个动点,将点$M$向左平移3个单位长度得到点$N$,若线段$MN$与抛物线只有一个公共点,直接写出点$M$的横坐标$x_M$的取值范围.
(1)求$m$和$b$的值;
(2)求点$B$的坐标,并结合图象写出不等式$x^2+mx＞-x+b$的解集;
(3)$M$是直线$AB$上的一个动点,将点$M$向左平移3个单位长度得到点$N$,若线段$MN$与抛物线只有一个公共点,直接写出点$M$的横坐标$x_M$的取值范围.
答案
解：
(1) 将点$A(2,0)$代入抛物线$y=x^2+mx$，得：
$0=2^2 + 2m$
解得$m=-2$。
将点$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$，得：
$0=-2 + b$
解得$b=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去$y$得：$x^2-2x=-x+2$，
整理得$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
将$x=-1$代入$y=-x+2$，得$y=3$，
因此点$B$的坐标为$(-1,3)$。
不等式$x^2+mx ＞ -x+b$的几何意义是抛物线图象在直线图象上方对应的$x$的取值范围，结合两个交点的横坐标，可得解集为$x＜-1$或$x＞2$。
(3) $x_M$的取值范围是$-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
(1) 将点$A(2,0)$代入抛物线$y=x^2+mx$，得：
$0=2^2 + 2m$
解得$m=-2$。
将点$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$，得：
$0=-2 + b$
解得$b=2$。
(2) 联立抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去$y$得：$x^2-2x=-x+2$，
整理得$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
将$x=-1$代入$y=-x+2$，得$y=3$，
因此点$B$的坐标为$(-1,3)$。
不等式$x^2+mx ＞ -x+b$的几何意义是抛物线图象在直线图象上方对应的$x$的取值范围，结合两个交点的横坐标，可得解集为$x＜-1$或$x＞2$。
(3) $x_M$的取值范围是$-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
解析
【分析】
(1) 点A是抛物线和直线的公共点，我们可以利用待定系数法，将点A的坐标分别代入两个函数的解析式，得到关于m和b的一元一次方程，解方程即可求出两个参数的值。
(2) 求两个函数的交点B，只需联立抛物线和直线的解析式，解二元方程组，排除已知的点A对应的解，剩下的解就是点B的坐标；不等式$x^2+mx ＞ -x+b$的几何意义是抛物线图象位于直线图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标，观察图象就能直接写出解集，用到数形结合的思想。
(3) 根据平移的性质，点M向左平移3个单位得到N，可知MN是长度为3的水平线段，两点纵坐标相同，横坐标相差3。要使线段MN与抛物线只有一个公共点，分两类讨论：①线段仅经过交点B，不经过交点A；②线段仅与抛物线的顶点相交，分别计算两种情况对应的$x_M$的取值范围即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,0)$代入抛物线$y=x^2+mx$，得：
$0=2^2 + 2m$
解得$m=-2$。
将点$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$，得：
$0=-2 + b$
解得$b=2$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-2x$，直线解析式为$y=-x+2$，联立两个解析式：
$\begin{cases} y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去$y$得：$x^2-2x=-x+2$，
整理得$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$（对应点A），$x_2=-1$。
将$x=-1$代入$y=-x+2$，得$y=1+2=3$，
因此点$B$的坐标为$(-1,3)$。
不等式$x^2+mx ＞ -x+b$即抛物线图象在直线图象上方时x的取值范围，结合交点横坐标，可得解集为$x＜-1$或$x＞2$。
(3) 设点M的坐标为$(x_M, -x_M+2)$，向左平移3个单位得N$(x_M-3, -x_M+2)$，线段MN为$y=-x_M+2$，x的取值范围是$[x_M-3, x_M]$。
① 当线段仅与抛物线交于点B时：将B点纵坐标3代入$y=-x_M+2$，得$x_M=-1$，当$x_M$增大到小于2时，线段右端点$x_M＜2$，不会经过点A，此时线段仅与抛物线交于B点，故$-1≤x_M＜2$。
② 当线段仅与抛物线有一个公共点时，联立$y=x^2-2x$和$y=-x_M+2$得$x^2-2x+x_M-2=0$，判别式$\Delta=4-4(x_M-2)=0$，解得$x_M=3$，此时交点横坐标$x=1$，属于$[0,3]$，符合要求。
综上，$x_M$的取值范围是$-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
【答案】
(1) $m=-2$，$b=2$；
(2) $B(-1,3)$，不等式解集为$x＜-1$或$x＞2$；
(3) $-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 函数交点与不等式
3. 平移性质与动点问题
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，前两问侧重基础，考察待定系数法的应用、函数交点求解及数形结合解不等式的能力；第三问为拔高部分，需要结合平移性质和分类讨论思想分析线段与抛物线的交点情况，能够有效锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
(1) 点A是抛物线和直线的公共点，我们可以利用待定系数法，将点A的坐标分别代入两个函数的解析式，得到关于m和b的一元一次方程，解方程即可求出两个参数的值。
(2) 求两个函数的交点B，只需联立抛物线和直线的解析式，解二元方程组，排除已知的点A对应的解，剩下的解就是点B的坐标；不等式$x^2+mx ＞ -x+b$的几何意义是抛物线图象位于直线图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标，观察图象就能直接写出解集，用到数形结合的思想。
(3) 根据平移的性质，点M向左平移3个单位得到N，可知MN是长度为3的水平线段，两点纵坐标相同，横坐标相差3。要使线段MN与抛物线只有一个公共点，分两类讨论：①线段仅经过交点B，不经过交点A；②线段仅与抛物线的顶点相交，分别计算两种情况对应的$x_M$的取值范围即可。
【解析】
(1) 将点$A(2,0)$代入抛物线$y=x^2+mx$，得：
$0=2^2 + 2m$
解得$m=-2$。
将点$A(2,0)$代入直线$y=-x+b$，得：
$0=-2 + b$
解得$b=2$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-2x$，直线解析式为$y=-x+2$，联立两个解析式：
$\begin{cases} y=x^2-2x \\ y=-x+2 \end{cases}$
消去$y$得：$x^2-2x=-x+2$，
整理得$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$（对应点A），$x_2=-1$。
将$x=-1$代入$y=-x+2$，得$y=1+2=3$，
因此点$B$的坐标为$(-1,3)$。
不等式$x^2+mx ＞ -x+b$即抛物线图象在直线图象上方时x的取值范围，结合交点横坐标，可得解集为$x＜-1$或$x＞2$。
(3) 设点M的坐标为$(x_M, -x_M+2)$，向左平移3个单位得N$(x_M-3, -x_M+2)$，线段MN为$y=-x_M+2$，x的取值范围是$[x_M-3, x_M]$。
① 当线段仅与抛物线交于点B时：将B点纵坐标3代入$y=-x_M+2$，得$x_M=-1$，当$x_M$增大到小于2时，线段右端点$x_M＜2$，不会经过点A，此时线段仅与抛物线交于B点，故$-1≤x_M＜2$。
② 当线段仅与抛物线有一个公共点时，联立$y=x^2-2x$和$y=-x_M+2$得$x^2-2x+x_M-2=0$，判别式$\Delta=4-4(x_M-2)=0$，解得$x_M=3$，此时交点横坐标$x=1$，属于$[0,3]$，符合要求。
综上，$x_M$的取值范围是$-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
【答案】
(1) $m=-2$，$b=2$；
(2) $B(-1,3)$，不等式解集为$x＜-1$或$x＞2$；
(3) $-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 函数交点与不等式
3. 平移性质与动点问题
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，前两问侧重基础，考察待定系数法的应用、函数交点求解及数形结合解不等式的能力；第三问为拔高部分，需要结合平移性质和分类讨论思想分析线段与抛物线的交点情况，能够有效锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
