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在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的
一半
。答案
一半
解析
【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的性质，解题时可先回忆该类特殊直角三角形的相关结论，也可以通过构造等边三角形推导结论：将两个全等的含30°角的直角三角形沿长直角边拼接，可得到一个等边三角形，结合等边三角形三边相等的性质，即可推导出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
也可通过推导验证：将两个全等的该直角三角形沿较长的直角边拼接，可得到一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，等边三角形的边长等于原直角三角形的斜边长，而原30°角所对的直角边长度为等边三角形边长的一半，因此该直角边等于斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查特殊直角三角形的核心性质，牢记相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查含30°角的直角三角形的性质，解题时可先回忆该类特殊直角三角形的相关结论，也可以通过构造等边三角形推导结论：将两个全等的含30°角的直角三角形沿长直角边拼接，可得到一个等边三角形，结合等边三角形三边相等的性质，即可推导出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
也可通过推导验证：将两个全等的该直角三角形沿较长的直角边拼接，可得到一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，等边三角形的边长等于原直角三角形的斜边长，而原30°角所对的直角边长度为等边三角形边长的一半，因此该直角边等于斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查特殊直角三角形的核心性质，牢记相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1.如图①，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=3.5\ \mathrm{cm}$，则AB等于（
A.3.5 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.7 cm
D
）A.3.5 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道含30°角的直角三角形的基础计算题，解题思路如下：首先明确题目给出的是直角三角形，且有一个锐角为30°，回忆对应性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。接下来先确定30°角∠A所对的直角边是BC，斜边是AB，得到BC和AB的数量关系后，代入已知的BC长度就能求出AB的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质可得：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∵∠A=30°，它所对的直角边为BC，斜边为AB，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
变形可得$AB=2BC$，
将$BC=3.5\ \mathrm{cm}$代入得：
$AB=2×3.5=7\ \mathrm{cm}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查含30°角的直角三角形的性质应用，解题关键是找准30°角和其所对直角边的对应关系，熟记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道含30°角的直角三角形的基础计算题，解题思路如下：首先明确题目给出的是直角三角形，且有一个锐角为30°，回忆对应性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。接下来先确定30°角∠A所对的直角边是BC，斜边是AB，得到BC和AB的数量关系后，代入已知的BC长度就能求出AB的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质可得：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∵∠A=30°，它所对的直角边为BC，斜边为AB，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
变形可得$AB=2BC$，
将$BC=3.5\ \mathrm{cm}$代入得：
$AB=2×3.5=7\ \mathrm{cm}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查含30°角的直角三角形的性质应用，解题关键是找准30°角和其所对直角边的对应关系，熟记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【变式·实践应用】图②是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图. $∠ ABC=150°$，BC的长是10 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 （
A.7.5 m
B.6 m
C.10 m
D.5 m
D
）A.7.5 m
B.6 m
C.10 m
D.5 m
答案
【变式·实践应用】D
解析
【分析】
要求上升高度h，即点C到AB所在水平线的垂直距离，首先过点C作AB延长线的垂线，构造直角三角形。先利用邻补角的性质求出直角三角形中30°的锐角，再根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE=h。
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，BC=10m，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{m})$，即h=5m。
【答案】
D
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 邻补角的定义
【点评】
本题结合生活中的电梯场景考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是通过作辅助线构造出含30°角的直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求上升高度h，即点C到AB所在水平线的垂直距离，首先过点C作AB延长线的垂线，构造直角三角形。先利用邻补角的性质求出直角三角形中30°的锐角，再根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则CE=h。
∵∠ABC=150°，
∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=30°，BC=10m，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{m})$，即h=5m。
【答案】
D
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 邻补角的定义
【点评】
本题结合生活中的电梯场景考查特殊直角三角形的性质应用，解题的关键是通过作辅助线构造出含30°角的直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，在$△ ABC$中，AD是边BC的垂直平分线，$∠ B = 60°$，$BD = 2$，那么AC的长度是
4
。答案
2.4
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AD是边BC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：可得AD垂直BC，且点A到B、C的距离相等，即AB=AC。接下来在Rt△ABD中，已知∠B=60°，可先求出∠BAD的度数为30°，结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可求出斜边AB的长度，最后根据AB=AC等量代换得到AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC的垂直平分线，
∴∠ADB=90°，AB=AC，
∵在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴∠BAD=90°-∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得AB=2BD，
又
∵BD=2，
∴AB=2×2=4，
∵AB=AC，
∴AC=4。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将垂直平分线的性质和特殊直角三角形的性质结合使用，熟练掌握相关几何性质就能快速解题，是平面几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“AD是边BC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：可得AD垂直BC，且点A到B、C的距离相等，即AB=AC。接下来在Rt△ABD中，已知∠B=60°，可先求出∠BAD的度数为30°，结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可求出斜边AB的长度，最后根据AB=AC等量代换得到AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是BC的垂直平分线，
∴∠ADB=90°，AB=AC，
∵在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴∠BAD=90°-∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得AB=2BD，
又
∵BD=2，
∴AB=2×2=4，
∵AB=AC，
∴AC=4。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是将垂直平分线的性质和特殊直角三角形的性质结合使用，熟练掌握相关几何性质就能快速解题，是平面几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3. [2026 南通期末] 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ C=30°$，AD是高，BD=1，则CD的长度为
3
。答案
3.3
解析
【分析】
解题时优先结合已知的直角、30°角，联想到含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。第一步先求△ABC中∠B的度数，再在Rt△ABD中利用性质求出AB的长度，接着在Rt△ABC中利用性质求出BC的长度，最后通过BC与BD的差计算CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴ ∠B=90°-∠C=60°，且AB=$\frac{1}{2}$BC（直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半）。
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
∴ 在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$AB。
已知BD=1，代入得AB=2BD=2×1=2，
将AB=2代入AB=$\frac{1}{2}$BC，得BC=2AB=2×2=4，
∴ CD=BC-BD=4-1=3。
【答案】
3
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 线段和差计算
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的基础应用类题目，解题核心是找准不同直角三角形中30°角对应的直角边与斜边，通过AB作为中间量建立已知线段BD和待求线段所在边BC的关系，即可快速求解，是该知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时优先结合已知的直角、30°角，联想到含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。第一步先求△ABC中∠B的度数，再在Rt△ABD中利用性质求出AB的长度，接着在Rt△ABC中利用性质求出BC的长度，最后通过BC与BD的差计算CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴ ∠B=90°-∠C=60°，且AB=$\frac{1}{2}$BC（直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半）。
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
∴ 在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$AB。
已知BD=1，代入得AB=2BD=2×1=2，
将AB=2代入AB=$\frac{1}{2}$BC，得BC=2AB=2×2=4，
∴ CD=BC-BD=4-1=3。
【答案】
3
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 线段和差计算
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的基础应用类题目，解题核心是找准不同直角三角形中30°角对应的直角边与斜边，通过AB作为中间量建立已知线段BD和待求线段所在边BC的关系，即可快速求解，是该知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.7
4. 转化思想 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，以点A为圆心，AC为半径作弧，交AB边于点D，若$BD=3$，则$AC=$
3
。答案
4.3
解析
【分析】
解题思路：第一步，先根据$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ B=30°$，回忆含30°角的直角三角形的性质，得到AC与AB的数量关系；第二步，根据“以A为圆心、AC为半径作弧交AB于D”，可知AD和AC都是圆的半径，因此$AD=AC$；第三步，结合$AB=AD+BD$，把已知$BD=3$代入，建立关于AC的等式即可求解。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2AC$。
∵ 以点A为圆心，AC为半径作弧交AB于点D，
∴ $AD=AC$（同圆的半径相等）。
又
∵ $AB=AD+BD$，且$BD=3$，
将$AD=AC$、$AB=2AC$代入上式得：
$2AC=AC+3$，
解得：$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.含30°角的直角三角形性质
2.圆的半径相等性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合直角三角形的特殊性质和圆的基本性质，找到线段间的等量关系建立等式求解，能有效考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路：第一步，先根据$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ B=30°$，回忆含30°角的直角三角形的性质，得到AC与AB的数量关系；第二步，根据“以A为圆心、AC为半径作弧交AB于D”，可知AD和AC都是圆的半径，因此$AD=AC$；第三步，结合$AB=AD+BD$，把已知$BD=3$代入，建立关于AC的等式即可求解。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2AC$。
∵ 以点A为圆心，AC为半径作弧交AB于点D，
∴ $AD=AC$（同圆的半径相等）。
又
∵ $AB=AD+BD$，且$BD=3$，
将$AD=AC$、$AB=2AC$代入上式得：
$2AC=AC+3$，
解得：$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.含30°角的直角三角形性质
2.圆的半径相等性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合直角三角形的特殊性质和圆的基本性质，找到线段间的等量关系建立等式求解，能有效考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
5. [2026合肥期末]在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD ⊥ AC$，$AD$交$BC$于点$D$，$BD=2$，则$BC$的长为
6
。答案
5.6
解析
【分析】
解题时先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和求出∠B和∠C的度数；再由AD⊥AC求出∠BAD的度数，发现∠BAD=∠B，利用等角对等边得到AD=BD；最后在Rt△ADC中利用含30°角的直角三角形的性质求出DC的长，相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴DC=2AD=2×2=4，
∴BC=BD+DC=2+4=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，等角对等边，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将等腰三角形的性质与特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角度推导得到相等的角，进而转化为线段的等量关系，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和求出∠B和∠C的度数；再由AD⊥AC求出∠BAD的度数，发现∠BAD=∠B，利用等角对等边得到AD=BD；最后在Rt△ADC中利用含30°角的直角三角形的性质求出DC的长，相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴DC=2AD=2×2=4，
∴BC=BD+DC=2+4=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，等角对等边，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将等腰三角形的性质与特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角度推导得到相等的角，进而转化为线段的等量关系，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
6.如图,在△ABC中,D为AB的中点,DE⊥AC于点E,∠A=30°,AB=8,试求DE的长度.
答案
6.解：DE=2.
解析
【分析】
解题时首先根据D是AB中点的已知条件，先计算出AD的长度；再由DE⊥AC可知△ADE是直角三角形，结合已知∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA = 90°，即△ADE是直角三角形，
又
∵∠A=30°，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
DE=2
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用题，重点考查含30°角的直角三角形的性质，解题关键是先求出AD的长度，再结合性质计算线段长，需熟练掌握该性质的适用条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据D是AB中点的已知条件，先计算出AD的长度；再由DE⊥AC可知△ADE是直角三角形，结合已知∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA = 90°，即△ADE是直角三角形，
又
∵∠A=30°，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴DE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
DE=2
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用题，重点考查含30°角的直角三角形的性质，解题关键是先求出AD的长度，再结合性质计算线段长，需熟练掌握该性质的适用条件。
【难度系数】
0.8
7. [2026 六安期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=∠ C=75°$,$AB=6$,则$△ ABC$的面积为（
A.9
B.12
C.15
D.18
A
）A.9
B.12
C.15
D.18
答案
7.A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用三角形内角和定理求出∠B的度数；第二步，根据等角对等边的性质得到BC的长度；第三步，过点C作AB边上的高，构造含30°角的直角三角形，利用30°角对应的直角边等于斜边一半的性质求出高的长度；第四步，代入三角形面积公式计算结果即可。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵ 三角形内角和为$180°$，$∠ A=∠ C=75°$
∴ $∠ B=180° -75° -75°=30°$
2. 求边BC的长度：
∵ $∠ A=∠ C$
∴ $BC=AB=6$（等角对等边）
3. 求AB边上的高：
过点C作$CD⊥ AB$，垂足为D，在$Rt△ CDB$中，$∠ B=30°$，斜边$BC=6$
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=3$（含$30°$角的直角三角形中，$30°$角所对的直角边是斜边的一半）
4. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×6×3=9$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，等角对等边，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是正确作出辅助线构造特殊直角三角形，结合三角形的基础性质即可求出面积。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用三角形内角和定理求出∠B的度数；第二步，根据等角对等边的性质得到BC的长度；第三步，过点C作AB边上的高，构造含30°角的直角三角形，利用30°角对应的直角边等于斜边一半的性质求出高的长度；第四步，代入三角形面积公式计算结果即可。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵ 三角形内角和为$180°$，$∠ A=∠ C=75°$
∴ $∠ B=180° -75° -75°=30°$
2. 求边BC的长度：
∵ $∠ A=∠ C$
∴ $BC=AB=6$（等角对等边）
3. 求AB边上的高：
过点C作$CD⊥ AB$，垂足为D，在$Rt△ CDB$中，$∠ B=30°$，斜边$BC=6$
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=3$（含$30°$角的直角三角形中，$30°$角所对的直角边是斜边的一半）
4. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×6×3=9$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，等角对等边，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是正确作出辅助线构造特殊直角三角形，结合三角形的基础性质即可求出面积。
【难度系数】
0.7
