1. 如图，$AB=AD$，$BC=DC$，$E$，$F$分别是$DC$，$BC$的中点.求证:$AE=AF$.

证明：连接AC。
在△ADC和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\DC=BC \\AC=AC\end{array} $
∴ △ADC ≌ △ABC（SSS），
∴ ∠D = ∠B。
∵ E，F分别是DC，BC的中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}DC$，$BF=\frac{1}{2}BC$，
又∵ DC=BC，
∴ DE=BF。
在△ADE和△ABF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\∠D=∠B \\DE=BF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ABF（SAS），
∴ AE=AF。

【分析】
要证明$AE=AF$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察已知条件$AB=AD$、$BC=DC$，可先连接公共辅助线$AC$，利用SSS判定定理先证明$△ ADC≌△ ABC$，得到$∠ D=∠ B$；再结合$E$、$F$分别是$DC$、$BC$的中点，由$DC=BC$可推出$DE=BF$，此时满足SAS判定$△ ADE≌△ ABF$的条件，最终即可得到$AE=AF$。
【解析】
证明：连接$AC$。
在$△ ADC$和$△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\DC=BC \\AC=AC\end{array} $
∴ $△ ADC ≌ △ ABC$（SSS），
∴ $∠ D = ∠ B$。
∵ $E$，$F$分别是$DC$，$BC$的中点，
∴ $DE=\frac{1}{2}DC$，$BF=\frac{1}{2}BC$，
又
∵ $DC=BC$，
∴ $DE=BF$。
在$△ ADE$和$△ ABF$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\∠ D=∠ B \\DE=BF\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ ABF$（SAS），
∴ $AE=AF$。
【答案】
$AE=AF$
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、中点的定义
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段相等的基础题型，通过添加公共边作为辅助线，先得到一对全等三角形转化出相等的角，再结合中点性质得到相等的边，进而证明目标三角形全等，考查了全等三角形相关定理的灵活应用，需要熟练掌握常见的全等辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7

2. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C = 90°$, AD平分$∠ BAC$交BC于点D, $BD:CD = 2:1$, $BC = 7.8$ cm, 则点D到AB的距离是 cm.

2. 2.6

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中AD是∠BAC的角平分线，点D在AD上，因此点D到AB的距离等于点D到AC的距离。已知∠C=90°，即DC⊥AC，因此点D到AC的距离就是CD的长度，只需根据已知的线段比例和BC的总长度求出CD的长度即可得到答案。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质可得：CD = DE
∵BD:CD = 2:1，即BD=2CD
又
∵BC = BD + CD = 2CD + CD = 3CD = 7.8cm
∴CD = 7.8÷3 = 2.6cm
∴DE = CD = 2.6cm，即点D到AB的距离为2.6cm。
【答案】
2.6
【知识点】
角平分线的性质、比例线段计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是对角平分线性质的灵活运用，将所求的点到直线的距离转化为已知的线段长度，再结合比例关系即可快速求解，解题时要注意不要混淆线段的比例关系。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$∠ AOB = 90°$，$OC$ 平分 $∠ AOB$，以 $C$ 为顶点作 $∠ DCE = 90°$，交 $OA$ 于点 $D$，交 $OB$ 于点 $E$. 求证：$CD = CE$.

证明：
过点C作$CM ⊥ OA$于点M，$CN ⊥ OB$于点N，
$\therefore ∠ CMD = ∠ CNE = 90°$。
∵OC平分$∠ AOB$，
$\therefore CM = CN$。
∵$∠ AOB = 90°$，
$\therefore ∠ MCN = 360° - ∠ AOB - ∠ CMD - ∠ CNE = 90°$。
∵$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ MCN = ∠ DCE$，
$\therefore ∠ MCN - ∠ DCN = ∠ DCE - ∠ DCN$，
即$∠ MCD = ∠ NCE$。
在$△ MCD$和$△ NCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CMD = ∠ CNE \\CM = CN \\∠ MCD = ∠ NCE\end{array} $
$\therefore △ MCD ≌ △ NCE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD = CE$。

【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明它们所在的三角形全等实现。本题已知OC是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过点C向OA、OB作垂线，得到一组相等的垂线段；再结合已知的两个90°角，推导得出一组相等的对应角，即可用ASA证明两个三角形全等，进而得到CD=CE的结论。
【解析】
过点C作$CM ⊥ OA$于点M，$CN ⊥ OB$于点N，
$\therefore ∠ CMD = ∠ CNE = 90°$。
∵OC平分$∠ AOB$，
$\therefore CM = CN$。
∵$∠ AOB = 90°$，
$\therefore ∠ MCN = 360° - ∠ AOB - ∠ CMD - ∠ CNE = 90°$。
∵$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ MCN = ∠ DCE$，
$\therefore ∠ MCN - ∠ DCN = ∠ DCE - ∠ DCN$，
即$∠ MCD = ∠ NCE$。
在$△ MCD$和$△ NCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ CMD = ∠ CNE \\CM = CN \\∠ MCD = ∠ NCE\end{array} $
$\therefore △ MCD ≌ △ NCE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD = CE$。
【答案】
$CD=CE$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定（ASA）、全等三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段相等的典型题型，核心是利用角平分线的性质作垂线段辅助线，构造出全等所需的等线段和等角条件，掌握角平分线相关的辅助线构造技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点.
(1)求证:$AB+AC＞2AD$;
(2)若$AB=8,AC=6$,求AD的取值范围.

4. (1)证明:延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 BE(图略).
∵D 为 BC 的中点,
∴CD=BD,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB.
∵AB+BE＞AE,
∴AB+AC＞2AD.
(2)
∵AB-BE＜AE＜AB+BE,
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC.
∵AB=8,AC=6,
∴1＜AD＜7.

【分析】
(1) 要证明$AB+AC＞2AD$，所求结论涉及线段和的不等关系，可利用三角形三边关系证明。已知D是BC中点，我们可以用倍长中线的辅助线方法：延长AD到点E使$DE=AD$，构造全等三角形，将AC转化为与之相等的BE，此时AB、BE、长度为2AD的AE都在$△ ABE$中，直接用三角形两边之和大于第三边即可求证。
(2) 沿用(1)中构造的全等三角形，可得$BE=AC$，$AE=2AD$，再根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”先求出AE的取值范围，再转化为AD的取值范围即可。
【解析】
(1) 证明：延长AD到点E，使$DE=AD$，连接BE。
∵D为BC的中点，
∴$CD=BD$，
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases}AD=ED \\ ∠ ADC=∠ EDB \\ CD=BD\end{cases}$
∴$△ ADC≌△ EDB$（SAS），
∴$AC=EB$。
∵在$△ ABE$中，$AB+BE＞AE$，且$AE=AD+DE=2AD$，
∴$AB+AC＞2AD$。
(2) 解：由(1)可得$BE=AC$，$AE=2AD$，
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系得：$AB-BE＜AE＜AB+BE$，
代入$BE=AC$，可得$AB-AC＜2AD＜AB+AC$，
∵$AB=8$，$AC=6$，
∴$8-6＜2AD＜8+6$，即$2＜2AD＜14$，
不等式两边同时除以2得：$1＜AD＜7$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $\boldsymbol{1＜AD＜7}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造全等
【点评】
本题是含中点的典型几何题，核心考查倍长中线的辅助线构造方法，通过构造全等将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解线段不等关系和取值范围，掌握该辅助线技巧可以快速解决同类题型。
【难度系数】
0.6