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6. 在奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形(如图)，这种方法应用的几何原理是（
A.四边形的不稳定性
B.三角形的稳定性
C.两点确定一条直线
D.两点之间，线段最短
B
）A.四边形的不稳定性
B.三角形的稳定性
C.两点确定一条直线
D.两点之间，线段最短
答案
B
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：“手、肘、肩构成托枪三角形”，明确核心是三角形的应用，目的是让枪托更稳固不易晃动。接下来回忆各选项对应的几何原理的适用场景：三角形的特性是稳定性，多用于让结构更稳固；四边形不稳定性对应需要灵活变形的结构；两点确定一条直线多用于直线定位类场景；两点之间线段最短多用于路径最短类问题。结合托枪需要稳定的需求，即可对应到三角形的稳定性，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
题干中射击队员通过手、肘、肩构成三角形来托枪，是为了让枪的位置更稳定，避免晃动。
对各选项分析如下：
A. 四边形的不稳定性是四边形的特性，本题应用的是三角形结构，该选项不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，构成三角形的结构会更加稳固，恰好满足托枪时需要稳定的需求，该选项符合题意；
C. 两点确定一条直线的原理一般应用于瞄准校准、直线定位等场景，和托枪三角形的稳定作用无关，该选项不符合题意；
D. 两点之间，线段最短的原理多用于解决路径最短类问题，与结构稳定的需求无关，该选项不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性；几何原理的实际应用
【点评】
本题结合射击运动的实际场景考查基础几何原理的应用，引导学生学会将生活中的实际问题和所学数学知识结合，只要准确区分不同几何性质的适用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息：“手、肘、肩构成托枪三角形”，明确核心是三角形的应用，目的是让枪托更稳固不易晃动。接下来回忆各选项对应的几何原理的适用场景：三角形的特性是稳定性，多用于让结构更稳固；四边形不稳定性对应需要灵活变形的结构；两点确定一条直线多用于直线定位类场景；两点之间线段最短多用于路径最短类问题。结合托枪需要稳定的需求，即可对应到三角形的稳定性，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
题干中射击队员通过手、肘、肩构成三角形来托枪，是为了让枪的位置更稳定，避免晃动。
对各选项分析如下：
A. 四边形的不稳定性是四边形的特性，本题应用的是三角形结构，该选项不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，构成三角形的结构会更加稳固，恰好满足托枪时需要稳定的需求，该选项符合题意；
C. 两点确定一条直线的原理一般应用于瞄准校准、直线定位等场景，和托枪三角形的稳定作用无关，该选项不符合题意；
D. 两点之间，线段最短的原理多用于解决路径最短类问题，与结构稳定的需求无关，该选项不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性；几何原理的实际应用
【点评】
本题结合射击运动的实际场景考查基础几何原理的应用，引导学生学会将生活中的实际问题和所学数学知识结合，只要准确区分不同几何性质的适用场景就能快速解题。
【难度系数】
0.9
7. (1)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$|a-2|+(5-b)^2=0$,请写出边长$c$的一个值:
(2)如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为$2$,宽为$1$,$A,B$两点在网格格点上,若点$C$也在网格格点上,以点$A,B,C$为顶点的三角形的面积为$2$,则满足条件的点$C$的个数是
4(只要符合3＜c＜7即可)
.如果$c$是奇数,那么$c$是5
.(2)如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为$2$,宽为$1$,$A,B$两点在网格格点上,若点$C$也在网格格点上,以点$A,B,C$为顶点的三角形的面积为$2$,则满足条件的点$C$的个数是
4
.答案
(1)4(只要符合3＜c＜7即可) 5
(2)4 提示:如图所示.
解析
【分析】
(1) 首先观察已知条件，绝对值和平方运算的结果都具有非负性，两个非负数的和为0，说明每个非负数都等于0，由此可先求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出c的取值范围，在范围内任取一个值即可满足第一空要求，再从取值范围中筛选出奇数就是第二空的答案。
(2) 已知三角形面积为2，结合网格小长方形长为2、宽为1的特点，根据三角形面积公式可知满足条件的三角形底与高的乘积为4，可通过逐个排查格点，或用割补法计算格点三角形面积，统计符合要求的点C的个数即可。
【解析】
(1) $\because \vert a-2\vert≥0$，$(5-b)^2≥0$，且$\vert a-2\vert+(5-b)^2=0$
$\therefore \vert a-2\vert=0$，$(5-b)^2=0$
解得$a=2$，$b=5$
根据三角形三边关系可得：$b-a ＜ c ＜ a+b$
代入数值计算得$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜7$
因此$c$可取4（答案不唯一，满足$3 ＜ c ＜7$即可）；
若$c$是奇数，在$3 ＜ c ＜7$范围内的奇数只有5，故$c=5$。
(2) 由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高=2$，可得$底×高=4$。
结合网格尺寸特征排查格点，符合条件的点C共有4个，对应图示的$C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$，因此满足条件的点C的个数为4。
【答案】
(1)4(只要符合3＜c＜7即可) 5
(2)4 提示:如图所示.
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，格点面积计算
【点评】
本题侧重基础知识点的考查，代数部分需要掌握非负数的性质和三角形三边关系的应用，几何部分需要结合网格特点灵活计算三角形面积，整体难度较低，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察已知条件，绝对值和平方运算的结果都具有非负性，两个非负数的和为0，说明每个非负数都等于0，由此可先求出a、b的长度；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出c的取值范围，在范围内任取一个值即可满足第一空要求，再从取值范围中筛选出奇数就是第二空的答案。
(2) 已知三角形面积为2，结合网格小长方形长为2、宽为1的特点，根据三角形面积公式可知满足条件的三角形底与高的乘积为4，可通过逐个排查格点，或用割补法计算格点三角形面积，统计符合要求的点C的个数即可。
【解析】
(1) $\because \vert a-2\vert≥0$，$(5-b)^2≥0$，且$\vert a-2\vert+(5-b)^2=0$
$\therefore \vert a-2\vert=0$，$(5-b)^2=0$
解得$a=2$，$b=5$
根据三角形三边关系可得：$b-a ＜ c ＜ a+b$
代入数值计算得$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜7$
因此$c$可取4（答案不唯一，满足$3 ＜ c ＜7$即可）；
若$c$是奇数，在$3 ＜ c ＜7$范围内的奇数只有5，故$c=5$。
(2) 由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高=2$，可得$底×高=4$。
结合网格尺寸特征排查格点，符合条件的点C共有4个，对应图示的$C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$，因此满足条件的点C的个数为4。
【答案】
(1)4(只要符合3＜c＜7即可) 5
(2)4 提示:如图所示.
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，格点面积计算
【点评】
本题侧重基础知识点的考查，代数部分需要掌握非负数的性质和三角形三边关系的应用，几何部分需要结合网格特点灵活计算三角形面积，整体难度较低，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么三边的长分别是多少?
(2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形吗?请说明理由.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么三边的长分别是多少?
(2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形吗?请说明理由.
答案
(1)设底边长为x cm,则腰长为3x cm.
根据题意,得x+3x+3x=35.
解得x=5.
∴ 3x=15.
∴ 三边长分别为5 cm,15 cm,15 cm.
(2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形.
理由:①当长为1 cm的边为腰时,底边长为35-1-1=33(cm).
∵ 1+1＜33,
∴ 不能构成三角形.
②当长为1 cm的边为底边时,腰长为(35-1)÷2=17(cm).
∵ 1+17＞17,符合三角形的三边关系,
∴ 能围成底边长为1 cm的等腰三角形.
综上所述,能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形.
根据题意,得x+3x+3x=35.
解得x=5.
∴ 3x=15.
∴ 三边长分别为5 cm,15 cm,15 cm.
(2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形.
理由:①当长为1 cm的边为腰时,底边长为35-1-1=33(cm).
∵ 1+1＜33,
∴ 不能构成三角形.
②当长为1 cm的边为底边时,腰长为(35-1)÷2=17(cm).
∵ 1+17＞17,符合三角形的三边关系,
∴ 能围成底边长为1 cm的等腰三角形.
综上所述,能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形.
解析
【分析】
（1）本题已知等腰三角形的周长及腰长与底边长的倍数关系，结合等腰三角形两腰相等的性质，可设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据周长公式列一元一次方程求解，最后验证结果是否符合三角形三边关系即可。
（2）题中仅给出一边长为1cm，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①1cm为腰长；②1cm为底边长。分别计算两种情况下其余两边的长度，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，最终得出结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$3x$ cm。
根据三角形周长为35cm，列方程得：
$x+3x+3x=35$
合并同类项得$7x=35$，解得$x=5$。
则腰长为$3x=3×5=15$（cm）。
验证：$5+15＞15$，$15+15＞5$，符合三角形三边关系。
(2) 能围成有一边长为1cm的等腰三角形，理由如下：
分两种情况讨论：
① 当长为1cm的边为腰时，底边长为$35-1-1=33$（cm），此时三边长为1cm，1cm，33cm。
$\because 1+1=2＜33$，不满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况舍去，不能构成三角形。
② 当长为1cm的边为底边时，腰长为$(35-1)÷2=17$（cm），此时三边长为1cm，17cm，17cm。
$\because 1+17=18＞17$，$17+17＞1$，符合三角形三边关系，$\therefore$ 该情况成立，可以构成三角形。
综上，能围成有一边长为1cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 三边的长分别是5 cm，15 cm，15 cm；
(2) 能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形，此时三边长为1 cm，17 cm，17 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，解题时需注意，未明确等腰三角形的腰或底边时，要分情况讨论，且计算出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免得出不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
（1）本题已知等腰三角形的周长及腰长与底边长的倍数关系，结合等腰三角形两腰相等的性质，可设底边长为未知数，用含未知数的式子表示腰长，再根据周长公式列一元一次方程求解，最后验证结果是否符合三角形三边关系即可。
（2）题中仅给出一边长为1cm，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①1cm为腰长；②1cm为底边长。分别计算两种情况下其余两边的长度，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，最终得出结论。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$3x$ cm。
根据三角形周长为35cm，列方程得：
$x+3x+3x=35$
合并同类项得$7x=35$，解得$x=5$。
则腰长为$3x=3×5=15$（cm）。
验证：$5+15＞15$，$15+15＞5$，符合三角形三边关系。
(2) 能围成有一边长为1cm的等腰三角形，理由如下：
分两种情况讨论：
① 当长为1cm的边为腰时，底边长为$35-1-1=33$（cm），此时三边长为1cm，1cm，33cm。
$\because 1+1=2＜33$，不满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况舍去，不能构成三角形。
② 当长为1cm的边为底边时，腰长为$(35-1)÷2=17$（cm），此时三边长为1cm，17cm，17cm。
$\because 1+17=18＞17$，$17+17＞1$，符合三角形三边关系，$\therefore$ 该情况成立，可以构成三角形。
综上，能围成有一边长为1cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 三边的长分别是5 cm，15 cm，15 cm；
(2) 能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形，此时三边长为1 cm，17 cm，17 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，解题时需注意，未明确等腰三角形的腰或底边时，要分情况讨论，且计算出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免得出不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,小聪家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF,为使这一钢架稳固,他计划用三根钢管来连接使它不变形,请你帮小聪解决这个问题.(画图说明,用三种不同的方法)
答案
9. 如图所示(答案不唯一).
解析
【分析】
要使钢架稳固，核心是利用三角形具有稳定性的性质，我们需要添加3根钢管即绘制六边形的对角线，将六边形ABCDEF分割为若干个互不重叠的三角形，即可让整个钢架不发生形变。思考时可以从同一个顶点出发向不相邻顶点连3条对角线，也可以从不同顶点出发连对角线，只要满足共添加3根钢管、最终所有区域都为三角形即可，选择不同的对角线端点就能得到不同的连接方法。
【解析】
根据三角形具有稳定性的特点，用3根钢管将六边形分割为多个三角形即可使钢架稳固，三种可行方法如下：
方法1：从顶点A出发，分别连接AC、AD、AE，将六边形分成4个三角形，钢架即可稳固；
方法2：分别连接六边形三组相对顶点AD、BE、CF，三条对角线交于中心，将六边形分成6个三角形，钢架即可稳固；
方法3：连接AC、CF、FD，将六边形分成4个三角形，钢架即可稳固。
本题答案不唯一，只要满足添加3条对角线、将六边形全部分割为三角形的要求即可。
【答案】
如图所示(答案不唯一).
【知识点】
三角形的稳定性，多边形的对角线
【点评】
本题是三角形稳定性的实际应用类题目，解题关键是通过添加辅助线将多边形转化为三角形结构，题目答案不唯一，能很好地考查发散思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
要使钢架稳固，核心是利用三角形具有稳定性的性质，我们需要添加3根钢管即绘制六边形的对角线，将六边形ABCDEF分割为若干个互不重叠的三角形，即可让整个钢架不发生形变。思考时可以从同一个顶点出发向不相邻顶点连3条对角线，也可以从不同顶点出发连对角线，只要满足共添加3根钢管、最终所有区域都为三角形即可，选择不同的对角线端点就能得到不同的连接方法。
【解析】
根据三角形具有稳定性的特点，用3根钢管将六边形分割为多个三角形即可使钢架稳固，三种可行方法如下：
方法1：从顶点A出发，分别连接AC、AD、AE，将六边形分成4个三角形，钢架即可稳固；
方法2：分别连接六边形三组相对顶点AD、BE、CF，三条对角线交于中心，将六边形分成6个三角形，钢架即可稳固；
方法3：连接AC、CF、FD，将六边形分成4个三角形，钢架即可稳固。
本题答案不唯一，只要满足添加3条对角线、将六边形全部分割为三角形的要求即可。
【答案】
如图所示(答案不唯一).
【知识点】
三角形的稳定性，多边形的对角线
【点评】
本题是三角形稳定性的实际应用类题目，解题关键是通过添加辅助线将多边形转化为三角形结构，题目答案不唯一，能很好地考查发散思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，AB，BC，CD是三根长度分别为1 cm，2 cm，5 cm的木棒，它们之间连接处可以活动，现在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度可以拉到多少厘米？
答案
这根橡皮筋的最大长度可以拉到8 cm,最短长度可以拉到2 cm.
解析
【分析】
要确定橡皮筋AD的最大和最小长度，需结合四边形的不稳定性分析四点的位置关系：①求最大长度时，将三根木棒向同一方向展开，使A、B、C、D四点依次共线，此时AD的长度等于三根木棒长度之和；②求最短长度时，将较短的AB、BC向CD一侧弯折，使A、B落在线段CD上（需先验证较短两边之和小于最长边，保证弯折可实现），此时AD的长度等于最长边减去另外两边的和。
【解析】
1. 计算AD的最大长度：
当A、B、C、D四点按顺序排列在同一条直线上时，AD的长度为三根木棒长度之和，
即 $ AD_{\mathrm{最大}} = AB + BC + CD = 1 + 2 + 5 = 8\ \mathrm{cm} $。
2. 计算AD的最短长度：
先验证 $ AB + BC = 1 + 2 = 3\ \mathrm{cm} ＜ CD = 5\ \mathrm{cm} $，可将AB、BC向CD一侧弯折，使点B、A落在线段CD上，此时AD的长度为最长边减去另外两边的和，
即 $ AD_{\mathrm{最短}} = CD - BC - AB = 5 - 2 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $。
【答案】
这根橡皮筋的最大长度可以拉到8 cm,最短长度可以拉到2 cm。
【知识点】
四边形的不稳定性；三角形三边关系；线段和差计算
【点评】
本题解题核心是利用四边形可活动的特性，明确四点共线时AD取极值，解题时要注意计算最短长度需先验证较短边的和小于最长边，才能实现弯折得到最小值。
【难度系数】
0.7
要确定橡皮筋AD的最大和最小长度，需结合四边形的不稳定性分析四点的位置关系：①求最大长度时，将三根木棒向同一方向展开，使A、B、C、D四点依次共线，此时AD的长度等于三根木棒长度之和；②求最短长度时，将较短的AB、BC向CD一侧弯折，使A、B落在线段CD上（需先验证较短两边之和小于最长边，保证弯折可实现），此时AD的长度等于最长边减去另外两边的和。
【解析】
1. 计算AD的最大长度：
当A、B、C、D四点按顺序排列在同一条直线上时，AD的长度为三根木棒长度之和，
即 $ AD_{\mathrm{最大}} = AB + BC + CD = 1 + 2 + 5 = 8\ \mathrm{cm} $。
2. 计算AD的最短长度：
先验证 $ AB + BC = 1 + 2 = 3\ \mathrm{cm} ＜ CD = 5\ \mathrm{cm} $，可将AB、BC向CD一侧弯折，使点B、A落在线段CD上，此时AD的长度为最长边减去另外两边的和，
即 $ AD_{\mathrm{最短}} = CD - BC - AB = 5 - 2 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $。
【答案】
这根橡皮筋的最大长度可以拉到8 cm,最短长度可以拉到2 cm。
【知识点】
四边形的不稳定性；三角形三边关系；线段和差计算
【点评】
本题解题核心是利用四边形可活动的特性，明确四点共线时AD取极值，解题时要注意计算最短长度需先验证较短边的和小于最长边，才能实现弯折得到最小值。
【难度系数】
0.7
