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圆的切线
垂直于
过切点的半径.答案
圆的切线垂直于过切点的半径。
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，考查对圆的切线性质定理的掌握情况。解题时只需回忆圆的切线相关核心定理，明确切线与过切点半径的位置关系，直接对应定理内容作答即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据圆的切线的性质定理可知：圆的切线垂直于过切点的半径，因此横线处应填写“垂直于”，完整表述即为给定的定理内容。
【答案】
圆的切线垂直于过切点的半径。
【知识点】
圆的切线的性质
【点评】
本题侧重对教材基础定理的记忆考查，属于送分类题目，熟练掌握课本核心概念和定理是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，考查对圆的切线性质定理的掌握情况。解题时只需回忆圆的切线相关核心定理，明确切线与过切点半径的位置关系，直接对应定理内容作答即可，不需要复杂推导。
【解析】
根据圆的切线的性质定理可知：圆的切线垂直于过切点的半径，因此横线处应填写“垂直于”，完整表述即为给定的定理内容。
【答案】
圆的切线垂直于过切点的半径。
【知识点】
圆的切线的性质
【点评】
本题侧重对教材基础定理的记忆考查，属于送分类题目，熟练掌握课本核心概念和定理是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
学习任务二 切线的判定定理
经过半径的
经过半径的
外端
并且 垂直于
这条半径的直线是圆的切线。答案
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解析
【分析】
本题考查圆的切线判定定理的基础识记，解题时需回忆切线判定的两个缺一不可的核心条件：一是直线要经过半径在圆上的端点即外端，若仅经过半径内部的点，即使与半径垂直，直线也会和圆有两个交点，不属于切线；二是直线要和这条半径互相垂直，若仅经过半径外端但不垂直，直线同样会和圆有两个交点，不属于切线。结合这两个条件即可准确完成填空。
【解析】
根据圆的切线判定定理的标准表述：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此两个空依次填入外端、垂直于。
【答案】
外端；垂直于
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对课本核心定理的记忆掌握，是后续解决切线证明类综合题的必备基础，熟练掌握定理的两个核心限定条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的切线判定定理的基础识记，解题时需回忆切线判定的两个缺一不可的核心条件：一是直线要经过半径在圆上的端点即外端，若仅经过半径内部的点，即使与半径垂直，直线也会和圆有两个交点，不属于切线；二是直线要和这条半径互相垂直，若仅经过半径外端但不垂直，直线同样会和圆有两个交点，不属于切线。结合这两个条件即可准确完成填空。
【解析】
根据圆的切线判定定理的标准表述：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此两个空依次填入外端、垂直于。
【答案】
外端；垂直于
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对课本核心定理的记忆掌握，是后续解决切线证明类综合题的必备基础，熟练掌握定理的两个核心限定条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，AM切$\odot O$于点A，过圆上一点B作$BD⊥ AM$于点D，交$\odot O$于点C，OC平分$∠ AOB$，则$∠ B$的度数为
【规律方法】
切线的三条性质及辅助线的作法
1.三条性质：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；
(3)圆的切线垂直于过切点的半径。
2.辅助线的作法：
连切点、圆心，得垂直关系。
60°
。【规律方法】
切线的三条性质及辅助线的作法
1.三条性质：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；
(3)圆的切线垂直于过切点的半径。
2.辅助线的作法：
连切点、圆心，得垂直关系。
答案
60°
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质可得OA⊥AM，结合BD⊥AM可推出OA//BD，得到内错角∠AOC=∠OCB；再根据同圆半径相等得∠B=∠OCB，结合OC平分∠AOB的条件，可推导得到△OBC的三个内角相等，即可判定△OBC为等边三角形，从而求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AM切$\odot O$于点A，
∴OA⊥AM（圆的切线垂直于过切点的半径），
又
∵BD⊥AM，
∴OA//BD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠AOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等），
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠B=∠OCB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B=60°。
【答案】
60°
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线性质、平行线性质、等边三角形判定结合考查，解题的关键是从切线的垂直关系入手，逐步推导角的等量关系，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质可得OA⊥AM，结合BD⊥AM可推出OA//BD，得到内错角∠AOC=∠OCB；再根据同圆半径相等得∠B=∠OCB，结合OC平分∠AOB的条件，可推导得到△OBC的三个内角相等，即可判定△OBC为等边三角形，从而求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵AM切$\odot O$于点A，
∴OA⊥AM（圆的切线垂直于过切点的半径），
又
∵BD⊥AM，
∴OA//BD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠AOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等），
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠B=∠OCB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B=60°。
【答案】
60°
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线性质、平行线性质、等边三角形判定结合考查，解题的关键是从切线的垂直关系入手，逐步推导角的等量关系，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
1.如图，CD与⊙O相切，切点是D，直线CO交⊙O于点B，A.
(1)若∠A=27°,求∠C的度数.
(2)若AB=6,CD=4,求BC的长.
(1)若∠A=27°,求∠C的度数.
(2)若AB=6,CD=4,求BC的长.
答案
1.解:(1)$∠C=36°$.
(2)$BC=2$.
(2)$BC=2$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角三角形，这是切线类问题的常用辅助线思路：连接圆心和切点。
(1) 要求∠C的度数，首先连接OD，由切线性质得OD⊥CD，即△COD是直角三角形，只需求出∠COD的度数即可求∠C；结合OA=OD是半径，可得△OAD是等腰三角形，利用三角形外角性质即可求出∠COD=2∠A，进而计算∠C。
(2) 要求BC的长，已知直径AB可得半径长度，设BC为x，可表示出OC的长度，在Rt△COD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接OD，
∵ CD与⊙O相切，切点为D，
∴ OD⊥CD，即∠ODC=90°，
∵ OA=OD（同圆半径相等），
∴ ∠ODA=∠A=27°，
∵ ∠COD是△OAD的外角，
∴ ∠COD=∠A+∠ODA=27°+27°=54°，
在Rt△COD中，∠C=90°-∠COD=90°-54°=36°。
(2)
∵ AB是⊙O的直径，AB=6，
∴ OD=OB=AB÷2=3，
设BC=x，则OC=OB+BC=3+x，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OC²=OD²+CD²，
代入数值：$(3+x)^2=3^2+4^2$，
即$(3+x)^2=25$，
∵ 线段长度为正，
∴ $3+x=5$，
解得$x=2$，即BC=2。
【答案】
(1) $∠ C=36°$；(2) $BC=2$
【知识点】
切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线做法：连接圆心与切点构造直角三角形，再结合三角形性质、勾股定理等知识求解，是圆章节的高频基础题型。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是利用切线的性质构造直角三角形，这是切线类问题的常用辅助线思路：连接圆心和切点。
(1) 要求∠C的度数，首先连接OD，由切线性质得OD⊥CD，即△COD是直角三角形，只需求出∠COD的度数即可求∠C；结合OA=OD是半径，可得△OAD是等腰三角形，利用三角形外角性质即可求出∠COD=2∠A，进而计算∠C。
(2) 要求BC的长，已知直径AB可得半径长度，设BC为x，可表示出OC的长度，在Rt△COD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接OD，
∵ CD与⊙O相切，切点为D，
∴ OD⊥CD，即∠ODC=90°，
∵ OA=OD（同圆半径相等），
∴ ∠ODA=∠A=27°，
∵ ∠COD是△OAD的外角，
∴ ∠COD=∠A+∠ODA=27°+27°=54°，
在Rt△COD中，∠C=90°-∠COD=90°-54°=36°。
(2)
∵ AB是⊙O的直径，AB=6，
∴ OD=OB=AB÷2=3，
设BC=x，则OC=OB+BC=3+x，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OC²=OD²+CD²，
代入数值：$(3+x)^2=3^2+4^2$，
即$(3+x)^2=25$，
∵ 线段长度为正，
∴ $3+x=5$，
解得$x=2$，即BC=2。
【答案】
(1) $∠ C=36°$；(2) $BC=2$
【知识点】
切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线做法：连接圆心与切点构造直角三角形，再结合三角形性质、勾股定理等知识求解，是圆章节的高频基础题型。
【难度系数】
0.75
【例2】如图所示，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ BCD=90°$，点E在BC的延长线上，连接DE，AC，$∠ CED=∠ CAB$.求证：DE是$\odot O$的切线.
证明：
【规律方法】
（1）当直线和圆有明确的公共点时，连接公共点和圆心（即连半径），再证明直线垂直于这条半径即可，简称“连半径，证垂直”.
（2）当直线和圆没有明确的公共点时，过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径即可，简称“作垂直，证半径”.
证明：
【规律方法】
（1）当直线和圆有明确的公共点时，连接公共点和圆心（即连半径），再证明直线垂直于这条半径即可，简称“连半径，证垂直”.
（2）当直线和圆没有明确的公共点时，过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径即可，简称“作垂直，证半径”.
答案
【例2】证明:如图,连接BD.
因为$∠BCD=90°$,
所以BD是$\odot O$的直径.
因为$∠CED=∠CAB$,$∠CDB=∠CAB$,
所以$∠CED=∠CDB$.
因为$∠CED+∠CDE=90°$,
所以$∠CDB+∠CDE=90°$,
即$∠BDE=90°$,
所以$BD⊥DE$.
因为OD为$\odot O$的半径,
所以DE是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线判定规则，DE与圆有明确公共点D，因此采用“连半径，证垂直”的思路解题。第一步：已知$∠ BCD=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可推出BD是$\odot O$的直径，只需证明$BD⊥ DE$即可完成证明。第二步：利用“同弧所对的圆周角相等”可得$∠ CAB=∠ CDB$，结合已知$∠ CED=∠ CAB$，等量代换得$∠ CED=∠ CDB$；再结合直角三角形两锐角互余的性质，代换角度后即可推出$∠ BDE=90°$，得到$BD⊥ DE$，最终证得结论。
【解析】
1. 辅助线作图：连接BD。
2. 推导直径：$\because ∠ BCD=90°$，根据90°圆周角对应直径的性质，$\therefore$BD是$\odot O$的直径。
3. 角度等量代换：$\because$同弧BC所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CDB=∠ CAB$，又$\because ∠ CED=∠ CAB$，$\therefore ∠ CED=∠ CDB$。
4. 证明垂直：在$Rt△ DCE$中，$∠ CED+∠ CDE=90°$，将$∠ CED$替换为$∠ CDB$，可得$∠ CDB+∠ CDE=90°$，即$∠ BDE=90°$，$\therefore BD⊥ DE$。
5. 判定切线：$\because$OD是$\odot O$的半径，DE过半径外端D且与BD垂直，$\therefore$DE是$\odot O$的切线。
【答案】
证明:如图,连接BD.
因为$∠BCD=90°$,
所以BD是$\odot O$的直径.
因为$∠CED=∠CAB$,$∠CDB=∠CAB$,
所以$∠CED=∠CDB$.
因为$∠CED+∠CDE=90°$,
所以$∠CDB+∠CDE=90°$,
即$∠BDE=90°$,
所以$BD⊥DE$.
因为OD为$\odot O$的半径,
所以DE是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的切线判定的典型基础题，核心考查“连半径，证垂直”的常用判定思路，结合圆周角性质和角度等量代换即可求解，能帮助学生熟练掌握切线判定的基本方法。
【难度系数】
0.7
要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线判定规则，DE与圆有明确公共点D，因此采用“连半径，证垂直”的思路解题。第一步：已知$∠ BCD=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可推出BD是$\odot O$的直径，只需证明$BD⊥ DE$即可完成证明。第二步：利用“同弧所对的圆周角相等”可得$∠ CAB=∠ CDB$，结合已知$∠ CED=∠ CAB$，等量代换得$∠ CED=∠ CDB$；再结合直角三角形两锐角互余的性质，代换角度后即可推出$∠ BDE=90°$，得到$BD⊥ DE$，最终证得结论。
【解析】
1. 辅助线作图：连接BD。
2. 推导直径：$\because ∠ BCD=90°$，根据90°圆周角对应直径的性质，$\therefore$BD是$\odot O$的直径。
3. 角度等量代换：$\because$同弧BC所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CDB=∠ CAB$，又$\because ∠ CED=∠ CAB$，$\therefore ∠ CED=∠ CDB$。
4. 证明垂直：在$Rt△ DCE$中，$∠ CED+∠ CDE=90°$，将$∠ CED$替换为$∠ CDB$，可得$∠ CDB+∠ CDE=90°$，即$∠ BDE=90°$，$\therefore BD⊥ DE$。
5. 判定切线：$\because$OD是$\odot O$的半径，DE过半径外端D且与BD垂直，$\therefore$DE是$\odot O$的切线。
【答案】
证明:如图,连接BD.
因为$∠BCD=90°$,
所以BD是$\odot O$的直径.
因为$∠CED=∠CAB$,$∠CDB=∠CAB$,
所以$∠CED=∠CDB$.
因为$∠CED+∠CDE=90°$,
所以$∠CDB+∠CDE=90°$,
即$∠BDE=90°$,
所以$BD⊥DE$.
因为OD为$\odot O$的半径,
所以DE是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的切线判定的典型基础题，核心考查“连半径，证垂直”的常用判定思路，结合圆周角性质和角度等量代换即可求解，能帮助学生熟练掌握切线判定的基本方法。
【难度系数】
0.7
