1. 根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)都不变时，火焰的像高$y$(单位：$\mathrm{cm}$)是物距(小孔到蜡烛的距离)$x$(单位：$\mathrm{cm}$)的反比例函数，当$x=6$时，$y=2$. 若火焰的像高为$3\ \mathrm{cm}$，求小孔到蜡烛的距离.

4 cm

【分析】首先根据题目中“y是x的反比例函数”，设出反比例函数的一般形式，再利用已知的x和y的值，通过待定系数法求出函数解析式，最后将y=3代入解析式求解对应的x，即可得到小孔到蜡烛的距离。
【解析】因为火焰的像高$ y $是物距$ x $的反比例函数，所以设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $。
将$ x = 6 $，$ y = 2 $代入解析式，得：$ 2 = \frac{k}{6} $，解得$ k = 12 $。
因此，反比例函数解析式为$ y = \frac{12}{x} $。
当像高$ y = 3 \, \mathrm{cm} $时，代入解析式得：$ 3 = \frac{12}{x} $，解得$ x = 4 $。
【答案】4 cm
【知识点】反比例函数、待定系数法
【点评】本题考查反比例函数在实际问题中的应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式，再代入求值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

2. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节亮度的原理是：当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗。台灯的电流$ I $（单位：A）与电阻$ R $（单位：$ \Omega $）满足反比例函数关系，其图象如图所示。
(1) 求$ I $关于$ R $的函数解析式；
(2) 当$ R = 1\ 375\ \Omega $时，求$ I $的值；
(3) 若该台灯工作的最小电流为0.1 A，最大电流为0.25 A，求该台灯的电阻$ R $的取值范围。

(1)$I=\frac{220}{R}(R＞0)$.
(2)当$R=1\ 375\ \Omega$时，$I=\frac{220}{1\ 375}=0.16(\mathrm{A})$.
(3)该台灯的电阻$R$的取值范围为$880\ \Omega ≤ R ≤ 2\ 200\ \Omega$.

【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：① 根据题意，电流$ I $与电阻$ R $成反比例关系，设反比例函数解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0,R＞0 $）；② 利用图象上已知的点$(1100,0.2)$，通过待定系数法求出常数$ k $，确定函数解析式；③ 将$ R=1375\ \Omega $代入解析式，计算对应的电流$ I $；④ 根据电流的取值范围，结合反比例函数“$ I $随$ R $增大而减小”的性质，求出电阻$ R $的取值范围。
【解析】
(1) 因为电流$ I $与电阻$ R $成反比例，所以设函数解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0,R＞0 $）。
将图象上的点$ R=1100\ \Omega $、$ I=0.2\ \mathrm{A} $代入解析式，得：
$ 0.2=\frac{k}{1100} $，
解得$ k=0.2×1100=220 $，
因此$ I $关于$ R $的函数解析式为$ I=\frac{220}{R}(R＞0) $。
(2) 当$ R=1375\ \Omega $时，将其代入函数解析式：
$ I=\frac{220}{1375}=0.16\ \mathrm{A} $。
(3) 已知台灯的电流范围为$ 0.1\ \mathrm{A}≤I≤0.25\ \mathrm{A} $，由于$ I=\frac{220}{R} $中，$ R＞0 $，$ I $随$ R $的增大而减小，因此：
当$ I=0.25\ \mathrm{A} $时，$ R $取最小值，代入得$ 0.25=\frac{220}{R} $，解得$ R=\frac{220}{0.25}=880\ \Omega $；
当$ I=0.1\ \mathrm{A} $时，$ R $取最大值，代入得$ 0.1=\frac{220}{R} $，解得$ R=\frac{220}{0.1}=2200\ \Omega $；
故电阻$ R $的取值范围为$ 880\ \Omega ≤ R ≤ 2200\ \Omega $。
【答案】
(1)$ I=\frac{220}{R}(R＞0) $；(2)$ 0.16\ \mathrm{A} $；(3)$ 880\ \Omega ≤ R ≤ 2\ 200\ \Omega $
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的应用
【点评】
本题结合台灯亮度调节的实际场景，考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再结合函数的单调性解决取值范围问题，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6

请根据本课所学，构建知识体系.
列反比例函数
例函数
解析式
解决问
题的步
骤
(1)审
审清题意，找出题目中的常量、以及它们之间的关系
(2)求
根据相等关系或应用待定系数法，求出函数式及自变量的取值范围

(3)算
将已知的一个变量值代入函数式，计算求出另一个的值
(4)答
写出实际问题的

(1)变量
(2)解析
(3)解析 变量
(4)答案

【分析】本题考查列反比例函数解析式解决实际问题的步骤，需明确每一步的核心任务：第一步“审”需确定题目中的常量、变量及关系；第二步“求”是求函数解析式和自变量范围；第三步“算”是代入解析式求未知变量；第四步“答”是给出实际问题的答案，据此填空即可。
【解析】列反比例函数解决问题的步骤：(1)审清题意时，要找出题目中的常量、变量以及它们之间的关系；(2)根据相等关系或待定系数法，求出函数解析式及自变量的取值范围；(3)将已知的一个变量值代入函数解析式，计算求出另一个变量的值；(4)最后写出实际问题的答案。
【答案】(1)变量；(2)解析；(3)解析、变量；(4)答案
【知识点】反比例函数应用、函数解析式
【点评】本题是对列反比例函数解决问题步骤的基础概念考查，帮助学生梳理相关知识体系，难度较低。
【难度系数】0.2

例 在一次数学实践活动中，观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录，当观
察到第$t$ min时，水温为$y$ ℃，记录的相关数据如下表所示：

（饮水机功能说明：水温加热到$100$ ℃时饮水机停止加热，水温开始下降，当降到$40$ ℃时饮水机又自动开始加热）
请根据上述信息解决下列问题：
（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的线连接；
（2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程中$y$关于$t$的函数解析式，并写出相应自变量的取值范围；
（3）已知沏茶的最佳水温是$80$ ℃～$90$ ℃，若$18:00$开启饮水机（初始水温$20$ ℃）到当晚$20:10$，沏茶的最佳水温时间共有多少分钟？

(1)略
(2)观察图象可知，第一次加热过程的函数关系是一次函数关系，设解析式为 $y = kt + b$，则有
$\begin{cases}b=20,\\10k + b=40,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\b=20.\end{cases}$
∴第一次加热过程的函数解析式是 $y = 2t + 20(0≤ t≤40).$
由图象可知，第一次降温过程的函数关系是反比例函数关系，设 $y=\frac{m}{t}.$ 把$(50,\ 80)$代入，得 $m=4\ 000.$
∴第一次降温过程的函数解析式是 $y=\frac{4\ 000}{t}(40≤ t≤100).$
(3)由题意可知，第二次加热时间为 30 min，结束加热是第 130 分钟，而 18:00 至 20:10 共 130 min，
∴饮水机加热一次，降温一次，又加热了一次.
把 $y=80$ 代入 $y=2t+20$，得 $t=30.$ 把 $y=90$ 代入 $y=2t+20$，得 $t=35.$
∴一次加热过程出现的最佳水温时间为 $35-30=5(\mathrm{min}).$ 把 $y=80$ 代入 $y=\frac{4\ 000}{t}$，得 $t=50.$ 把 $y=90$ 代入 $y=\frac{4\ 000}{t}$，得 $t=\frac{400}{9}.$
∴一次降温过程出现的最佳水温时间为 $50-\frac{400}{9}=\frac{50}{9}(\mathrm{min}).$
∴18:00 开启饮水机(初始水温 20 ℃)到当晚 20:10，沏茶的最佳水温时间共有 $\frac{50}{9}+5×2=\frac{140}{9}(\mathrm{min}).$

【分析】
本题需分三步解决：第(1)问为描点连线，按表格数据操作即可；第(2)问需先判断函数类型，加热过程是一次函数、降温过程是反比例函数，用待定系数法求解析式并确定自变量范围；第(3)问需结合饮水机工作循环，分别在加热、降温阶段代入函数求对应水温的时间点，计算最佳水温时长并求和。
【解析】
(1) 根据表格数据，在平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑的线连接即可（图略）；
(2) 第一次加热过程：设函数解析式为$y = kt + b$，由初始水温$t=0$时$y=20$得$b=20$；当$t=10$时$y=40$，代入得$10k + 20 = 40$，解得$k=2$；加热到$100℃$时对应$t=40$，故自变量范围为$0≤t≤40$，解析式为$y=2t+20$；
第一次降温过程：设函数解析式为$y=\frac{m}{t}$，将$(50,80)$代入得$80=\frac{m}{50}$，解得$m=4000$；降温到$40℃$时对应$t=100$，故自变量范围为$40≤t≤100$，解析式为$y=\frac{4000}{t}$；
(3) 18:00到20:10总时长为130分钟，需计算两次加热和一次降温中水温在$80℃～90℃$的时间：
加热阶段：代入$y=80$到$y=2t+20$得$t=30$，代入$y=90$得$t=35$，单次加热最佳时长$35-30=5$分钟，两次共$5×2=10$分钟；
降温阶段：代入$y=80$到$y=\frac{4000}{t}$得$t=50$，代入$y=90$得$t=\frac{400}{9}$，单次降温最佳时长$50-\frac{400}{9}=\frac{50}{9}$分钟；
总时间为$10+\frac{50}{9}=\frac{140}{9}$分钟。
【答案】
(1) 略；(2) 第一次加热：$y=2t+20(0≤t≤40)$，第一次降温：$y=\frac{4000}{t}(40≤t≤100)$；(3) $\frac{140}{9}$分钟
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，函数解析式的确定
【点评】
本题结合饮水机实际工作场景，考查函数模型的选择与应用，需结合循环规律分析时间范围，通过待定系数法和方程求解完成计算，侧重考查学生的实际应用能力。
【难度系数】
0.5