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4. 要组织一次足球联赛,赛制为双循环形式,赛程计划安排5天,每天安排4场比赛.设共有x支队参加比赛,则可列方程为
.
$x(x-1)=4×5$
.
答案
4. $x(x-1)=4×5$
解析
【分析】
解题时首先要明确双循环赛制的含义：每两支参赛队伍之间要进行2场比赛。第一步先根据参赛队伍数量表示出双循环赛制的总比赛场数；第二步计算出赛程计划安排的总比赛场数；最后根据“总比赛场数相等”这一等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 计算双循环赛制的总场次：共有x支队伍参赛，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各进行2场比赛，因此总比赛场数为$x(x-1)$场。
2. 计算赛程计划的总场次：赛程安排5天，每天4场，总场次为$4×5=20$场。
3. 依据总场次相等列方程：$x(x-1)=4×5$。
【答案】
$x(x-1)=4×5$
【知识点】
双循环场次计算；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于比赛类实际应用问题，解题的核心是准确理解双循环赛制的场次计算规则，找到总场次的等量关系，熟练掌握赛制相关的数量关系就能快速列出方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确双循环赛制的含义：每两支参赛队伍之间要进行2场比赛。第一步先根据参赛队伍数量表示出双循环赛制的总比赛场数；第二步计算出赛程计划安排的总比赛场数；最后根据“总比赛场数相等”这一等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
1. 计算双循环赛制的总场次：共有x支队伍参赛，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各进行2场比赛，因此总比赛场数为$x(x-1)$场。
2. 计算赛程计划的总场次：赛程安排5天，每天4场，总场次为$4×5=20$场。
3. 依据总场次相等列方程：$x(x-1)=4×5$。
【答案】
$x(x-1)=4×5$
【知识点】
双循环场次计算；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于比赛类实际应用问题，解题的核心是准确理解双循环赛制的场次计算规则，找到总场次的等量关系，熟练掌握赛制相关的数量关系就能快速列出方程。
【难度系数】
0.7
5. 某班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师让全体学生互赠勉励卡激励同学努力学习、报效祖国.已知互赠勉励卡1640张，则全班共有多少名学生？
答案
5. 设全班共有x名学生.
依题意,得$x(x-1)=1\ 640.$
整理,得$x^2-x-1\ 640=0.$
解得$x_1=41,x_2=-40$(不符合题意,舍去).
答:全班共有41名学生.
依题意,得$x(x-1)=1\ 640.$
整理,得$x^2-x-1\ 640=0.$
解得$x_1=41,x_2=-40$(不符合题意,舍去).
答:全班共有41名学生.
解析
【分析】
解决本题首先要明确互赠勉励卡的计数逻辑：每两名学生之间，甲赠乙、乙赠甲是2张不同的贺卡，无需除以2。设全班共有x名学生，每名学生需要给除自己外的其余(x-1)名学生各送1张贺卡，因此总贺卡数=学生人数×每人送出的贺卡数，据此列出一元二次方程，求解后结合人数为正的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：设全班共有x名学生。
依题意得：$x(x-1)=1640$
整理，得：$x^2 - x - 1640 = 0$
解得：$x_1=41$，$x_2=-40$（学生人数不能为负，不符合题意，舍去）
答：全班共有41名学生。
【答案】
41名
【知识点】
一元二次方程应用、互赠类计数问题、实际方程验根
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题关键是区分互赠与握手类单向计数的差异，牢记互赠问题的总数量公式为x(x-1)，求解后注意结合实际场景验证根的合理性即可。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确互赠勉励卡的计数逻辑：每两名学生之间，甲赠乙、乙赠甲是2张不同的贺卡，无需除以2。设全班共有x名学生，每名学生需要给除自己外的其余(x-1)名学生各送1张贺卡，因此总贺卡数=学生人数×每人送出的贺卡数，据此列出一元二次方程，求解后结合人数为正的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
解：设全班共有x名学生。
依题意得：$x(x-1)=1640$
整理，得：$x^2 - x - 1640 = 0$
解得：$x_1=41$，$x_2=-40$（学生人数不能为负，不符合题意，舍去）
答：全班共有41名学生。
【答案】
41名
【知识点】
一元二次方程应用、互赠类计数问题、实际方程验根
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题型，解题关键是区分互赠与握手类单向计数的差异，牢记互赠问题的总数量公式为x(x-1)，求解后注意结合实际场景验证根的合理性即可。
【难度系数】
0.8
6. 中秋节前,某商场平均每天可销售月饼100盒,每盒可盈利20元.中秋节过后,月饼因滞销而降价,若每盒降价1元,则每天可多售出2盒.设每盒降价x元,则降价后每盒盈利
$(20-x)$
元,每天可多售出$2x$
盒,每天一共售出$(100+2x)$
盒,所以每天可获利$(20-x)·(100+2x)$
元.若平均每天盈利1650元,则可列方程为$(20-x)(100+2x)=1\ 650$
.答案
6. $(20-x)\ \ \ 2x\ \ \ (100+2x)\ \ \ (20-x)·(100+2x)\ \ \ (20-x)(100+2x)=1\ 650$
解析
【分析】
这是一道销售利润类的实际应用题，解题时需理清各量的变化关系：首先单盒利润等于原单盒利润减去降价金额；其次多售出的商品数量等于每降价1元多售的数量乘降价总金额；再次总销售量等于原销售量加上降价后多售出的数量；最后总利润等于单盒利润乘总销售量，再根据给出的总利润数值即可列出方程。
【解析】
1. 已知原每盒盈利20元，每盒降价x元，因此降价后每盒盈利为$20-x$元；
2. 已知每盒降价1元可多售出2盒，因此降价x元后，每天可多售出$2× x=2x$盒；
3. 已知原平均每天销售100盒，加上降价后多售出的2x盒，因此每天一共售出$100+2x$盒；
4. 总利润=单盒利润×总销售量，因此每天可获利$(20-x)(100+2x)$元；
5. 若平均每天盈利1650元，即总利润为1650元，因此可列方程为$(20-x)(100+2x)=1650$。
【答案】
$(20-x)$；$2x$；$(100+2x)$；$(20-x)(100+2x)$；$(20-x)(100+2x)=1650$
【知识点】
销售利润计算；列代数式；一元二次方程应用
【点评】
本题属于销售类实际应用的基础题型，核心是理清销售场景中单盒利润、销售量、总利润三者的数量关系，掌握这类量的推导逻辑就能快速解题，是列方程解应用题的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
这是一道销售利润类的实际应用题，解题时需理清各量的变化关系：首先单盒利润等于原单盒利润减去降价金额；其次多售出的商品数量等于每降价1元多售的数量乘降价总金额；再次总销售量等于原销售量加上降价后多售出的数量；最后总利润等于单盒利润乘总销售量，再根据给出的总利润数值即可列出方程。
【解析】
1. 已知原每盒盈利20元，每盒降价x元，因此降价后每盒盈利为$20-x$元；
2. 已知每盒降价1元可多售出2盒，因此降价x元后，每天可多售出$2× x=2x$盒；
3. 已知原平均每天销售100盒，加上降价后多售出的2x盒，因此每天一共售出$100+2x$盒；
4. 总利润=单盒利润×总销售量，因此每天可获利$(20-x)(100+2x)$元；
5. 若平均每天盈利1650元，即总利润为1650元，因此可列方程为$(20-x)(100+2x)=1650$。
【答案】
$(20-x)$；$2x$；$(100+2x)$；$(20-x)(100+2x)$；$(20-x)(100+2x)=1650$
【知识点】
销售利润计算；列代数式；一元二次方程应用
【点评】
本题属于销售类实际应用的基础题型，核心是理清销售场景中单盒利润、销售量、总利润三者的数量关系，掌握这类量的推导逻辑就能快速解题，是列方程解应用题的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
7.秦腔是陕西地方戏的主要剧种，也是我国现存戏曲中最古老的剧种之一.网店老板小王近期购进一批进价为15元/件的秦腔系列盲盒,销售一段时间后,发现该盲盒每月的销量$a$(单位:件)与每件的售价$x$(单位:元)之间的关系满足一次函数$a=-10x+500$.要使该盲盒的月销售利润达到2500元,该盲盒的售价为每件多少元?
答案
7. 依题意,得$(x-15)(-10x+500)=2\ 500.$
整理,得$x^2-65x+1\ 000=0.$
解得$x_1=25,x_2=40.$
答:该盲盒的售价为每件25元或每件40元.
整理,得$x^2-65x+1\ 000=0.$
解得$x_1=25,x_2=40.$
答:该盲盒的售价为每件25元或每件40元.
解析
【分析】
解决本题需先抓住销售利润问题的核心等量关系：月销售总利润=单件商品利润×月销售量。首先明确单件利润为售价减去进价，即$(x-15)$元，月销量题目已给出为$(-10x+500)$件，结合目标总利润2500元代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后验证根是否符合实际销售要求（售价高于进价、销量为正），就能得到最终结果。
【解析】
解：根据销售总利润的等量关系列方程：
$(x-15)(-10x+500)=2500$
展开并整理方程：
$-10x^2 + 650x - 7500 = 2500$
化简得：$x^2 - 65x + 1000 = 0$
因式分解得：$(x-25)(x-40)=0$
解得：$x_1=25$，$x_2=40$
验证：当$x=25$时，销量$a=-10×25+500=250＞0$，且$25＞15$，符合实际；
当$x=40$时，销量$a=-10×40+500=100＞0$，且$40＞15$，符合实际。
答：该盲盒的售价为每件25元或每件40元。
【答案】
该盲盒的售价为每件25元或每件40元
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程的解法，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心是找准总利润的等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际场景，主要考察基础等量关系的掌握和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题需先抓住销售利润问题的核心等量关系：月销售总利润=单件商品利润×月销售量。首先明确单件利润为售价减去进价，即$(x-15)$元，月销量题目已给出为$(-10x+500)$件，结合目标总利润2500元代入等量关系即可列出一元二次方程，求解后验证根是否符合实际销售要求（售价高于进价、销量为正），就能得到最终结果。
【解析】
解：根据销售总利润的等量关系列方程：
$(x-15)(-10x+500)=2500$
展开并整理方程：
$-10x^2 + 650x - 7500 = 2500$
化简得：$x^2 - 65x + 1000 = 0$
因式分解得：$(x-25)(x-40)=0$
解得：$x_1=25$，$x_2=40$
验证：当$x=25$时，销量$a=-10×25+500=250＞0$，且$25＞15$，符合实际；
当$x=40$时，销量$a=-10×40+500=100＞0$，且$40＞15$，符合实际。
答：该盲盒的售价为每件25元或每件40元。
【答案】
该盲盒的售价为每件25元或每件40元
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程的解法，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心是找准总利润的等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际场景，主要考察基础等量关系的掌握和方程应用能力。
【难度系数】
0.8
8. 某旅行社在国庆期间接待了一个亲友旅行团.游玩时,导游先给该旅行团拍了1张集体照,又给每两位亲友都拍了1张合影.为了保证每位旅行团成员都能拿到有自己的所有照片,该旅行社一共冲印了256张照片,则这个旅行团的人数为 (
A.12
B.14
C.16
D.18
C
)A.12
B.14
C.16
D.18
答案
8. C
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是理清冲印照片总数量的构成。我们可以先设旅行团人数为x人，分别计算集体照、双人合影的冲印数量，再结合总冲印数为256张的等量关系列方程求解。首先，集体照需要每位成员各持1张，因此集体照冲印x张；其次每2人拍1张双人合影，每张双人合影需要给合影中的2人各冲印1张，可推出双人合影总冲印数为x(x-1)张，两者相加等于总冲印数256，列方程后舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
设这个旅行团的人数为x人。
1. 集体照冲印数量：每位成员都需要1张集体照，因此集体照共冲印x张。
2. 双人合影冲印数量：每两位亲友拍1张合影，不同的双人合影共有$\frac{x(x-1)}{2}$张，每张双人合影需给2名参与者各冲印1张，因此双人合影总冲印量为$\frac{x(x-1)}{2} × 2 = x(x-1)$张。
3. 根据总冲印量列方程：
$x + x(x-1) = 256$
化简得：$x^2 = 256$
解得$x_1=16$，$x_2=-16$（人数为正整数，故舍去负根）
因此旅行团人数为16人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、握手问题模型
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题关键是找准等量关系正确列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是理清冲印照片总数量的构成。我们可以先设旅行团人数为x人，分别计算集体照、双人合影的冲印数量，再结合总冲印数为256张的等量关系列方程求解。首先，集体照需要每位成员各持1张，因此集体照冲印x张；其次每2人拍1张双人合影，每张双人合影需要给合影中的2人各冲印1张，可推出双人合影总冲印数为x(x-1)张，两者相加等于总冲印数256，列方程后舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
设这个旅行团的人数为x人。
1. 集体照冲印数量：每位成员都需要1张集体照，因此集体照共冲印x张。
2. 双人合影冲印数量：每两位亲友拍1张合影，不同的双人合影共有$\frac{x(x-1)}{2}$张，每张双人合影需给2名参与者各冲印1张，因此双人合影总冲印量为$\frac{x(x-1)}{2} × 2 = x(x-1)$张。
3. 根据总冲印量列方程：
$x + x(x-1) = 256$
化简得：$x^2 = 256$
解得$x_1=16$，$x_2=-16$（人数为正整数，故舍去负根）
因此旅行团人数为16人。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、握手问题模型
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题关键是找准等量关系正确列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9. 我们知道四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条.
(1)六边形的对角线有
(2)多边形的对角线可以为20条吗?如果可以,求出多边形的边数;如果不可以,请说明理由.
(1)六边形的对角线有
9
条,七边形的对角线有14
条.(2)多边形的对角线可以为20条吗?如果可以,求出多边形的边数;如果不可以,请说明理由.
答案
9. (1)9 14
(2)可以. 设这个多边形的边数为n.
由题意,得$\frac{n(n-3)}{2}=20.$
解得$n_1=8,n_2=-5$(不符合题意,舍去).
答:多边形的对角线可以为20条,这个多边形的边数为8.
(2)可以. 设这个多边形的边数为n.
由题意,得$\frac{n(n-3)}{2}=20.$
解得$n_1=8,n_2=-5$(不符合题意,舍去).
答:多边形的对角线可以为20条,这个多边形的边数为8.
解析
【分析】
要解决多边形对角线相关问题，首先要掌握n边形对角线总数的推导逻辑：n边形有n个顶点，每个顶点除自身和相邻的2个顶点外，可与剩余(n-3)个顶点连接形成对角线，且每条对角线会被2个顶点各计算1次，因此对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。第(1)问直接将六边形、七边形的边数代入公式计算即可；第(2)问属于存在性问题，可先设多边形边数为n，将对角线总数20代入公式得到关于n的一元二次方程，求解后根据边数为正整数的实际意义判断结果是否合理。
【解析】
(1) 根据n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$计算：
当$n=6$（六边形）时，对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{18}{2}=9$；
当$n=7$（七边形）时，对角线条数为$\frac{7×(7-3)}{2}=\frac{28}{2}=14$。
(2) 多边形的对角线可以为20条，求解过程如下：
设这个多边形的边数为$n$，根据题意列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得$n^2-3n-40=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$。
∵多边形的边数为正整数，
∴$n_2=-5$不符合题意，舍去，即该多边形边数为8。
【答案】
(1)9；14
(2)可以，这个多边形的边数为8。
【知识点】
多边形对角线计算；一元二次方程的应用；一元二次方程求解
【点评】
本题侧重考察基础知识的应用，既需要理解多边形对角线公式的由来，也要注意解方程后结合实际问题的限制条件舍去不合理解，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决多边形对角线相关问题，首先要掌握n边形对角线总数的推导逻辑：n边形有n个顶点，每个顶点除自身和相邻的2个顶点外，可与剩余(n-3)个顶点连接形成对角线，且每条对角线会被2个顶点各计算1次，因此对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。第(1)问直接将六边形、七边形的边数代入公式计算即可；第(2)问属于存在性问题，可先设多边形边数为n，将对角线总数20代入公式得到关于n的一元二次方程，求解后根据边数为正整数的实际意义判断结果是否合理。
【解析】
(1) 根据n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$计算：
当$n=6$（六边形）时，对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{18}{2}=9$；
当$n=7$（七边形）时，对角线条数为$\frac{7×(7-3)}{2}=\frac{28}{2}=14$。
(2) 多边形的对角线可以为20条，求解过程如下：
设这个多边形的边数为$n$，根据题意列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
整理得$n^2-3n-40=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$。
∵多边形的边数为正整数，
∴$n_2=-5$不符合题意，舍去，即该多边形边数为8。
【答案】
(1)9；14
(2)可以，这个多边形的边数为8。
【知识点】
多边形对角线计算；一元二次方程的应用；一元二次方程求解
【点评】
本题侧重考察基础知识的应用，既需要理解多边形对角线公式的由来，也要注意解方程后结合实际问题的限制条件舍去不合理解，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
