已知等腰三角形ABC的两边长b,c恰好是关于x的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+5(k-\dfrac{3}{4})=0$的两个根.若△ABC的另一边长a=4,试求△ABC的周长.

由题意,得
$\Delta =[-(2k+1)]^2-4×5(k-\dfrac{3}{4})$
$=4k^2-16k+16$
$=4(k-2)^2≥0.$
$\because\quad △ ABC$是等腰三角形,
$\therefore\quad$①当$b=c$时,$\Delta=4(k-2)^2=0$,解得$k_1=k_2=2.$
方程化为$x^2-5x+\dfrac{25}{4}=0.$
解得$x_1=x_2=\dfrac{5}{2}.$
$\because\quad \dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=5＞4,$
$\therefore\quad \dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2},4$能构成等腰三角形,
此时$△ ABC$的周长为$\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}+4=9.$
②当$b=a=4$或$c=a=4$时,
把$x=4$代入方程,得
$16-4(2k+1)+5(k-\dfrac{3}{4})=0.$
解得$k=\dfrac{11}{4}.$
方程化为$x^2-\dfrac{13}{2}x+10=0.$
解得$x_1=\dfrac{5}{2},x_2=4.$
$4,4,\dfrac{5}{2}$能构成等腰三角形,
此时$△ ABC$的周长为
$4+4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{21}{2}.$
综上所述,$△ ABC$的周长为9或$\dfrac{21}{2}.$

【分析】
本题是等腰三角形性质与一元二次方程的综合题，解题需分类讨论：①若等腰三角形的两腰b、c相等，则对应一元二次方程有两个相等的实数根，可通过判别式Δ=0求出k的值，解方程得到腰长后验证三边是否满足三角形三边关系，再计算周长；②若等腰三角形的腰长为a=4，则x=4是方程的一个根，代入方程求出k值后解方程得到另一边长，同样验证三边关系后计算周长。两种情况都必须验证三边关系，排除不符合构成条件的情况。
【解析】
先计算方程的判别式：
$\Delta =[-(2k+1)]^2-4×5(k-\dfrac{3}{4})$
$=4k^2-16k+16$
$=4(k-2)^2≥0$，方程总有实数根。
∵△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论：
①当$b=c$时，方程有两个相等实根，即$\Delta=4(k-2)^2=0$，解得$k=2$。
代入原方程得$x^2-5x+\dfrac{25}{4}=0$，解得$x_1=x_2=\dfrac{5}{2}$。
验证三边：$\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=5＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}+4=9$。
②当$b=a=4$或$c=a=4$时，将$x=4$代入原方程得：
$16-4(2k+1)+5(k-\dfrac{3}{4})=0$，解得$k=\dfrac{11}{4}$。
代入原方程得$x^2-\dfrac{13}{2}x+10=0$，解得$x_1=\dfrac{5}{2},x_2=4$。
验证三边：$4+\dfrac{5}{2}＞4$，满足三角形三边关系，此时周长为$4+4+\dfrac{5}{2}=\dfrac{21}{2}$。
【答案】
9或$\dfrac{21}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题型，核心考查分类讨论思想，解题时要结合等腰三角形的边长性质分情况求解，切勿忘记验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6

1. 一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的根的判别式的值是（）

A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$

1.C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程根的判别式的相关知识：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式公式为$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从题干给出的方程中准确找出对应系数$a、b、c$，注意系数的符号，再代入判别式公式计算，最后匹配对应选项即可。
【解析】
已知一元二次方程为$x^2 -5x +2=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$可得：
$a=1$，$b=-5$，$c=2$
根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 =17$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础考点题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的易错点是提取系数时忽略符号，代入计算时要注意负数的平方为正数，避免出现符号计算错误。
【难度系数】
0.9

2. 关于x的方程$2x^2 + mx = 3$的根的判别式的值
（）

A.是正数
B.是负数
C.是0
D.无法确定

2.A

【分析】
要解决本题，需按照以下思路思考：①首先将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确确定各项系数$a$、$b$、$c$的值；②将系数代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，得到判别式的表达式；③结合平方的非负性（任意实数的平方都是非负数），判断判别式的符号，即可得出结果。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + mx - 3 = 0$
由此可得二次项系数$a=2$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-3$。
代入根的判别式公式：
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×2×(-3) = m^2 + 24$
因为对任意实数$m$，都有$m^2≥0$，所以$m^2 + 24≥24＞0$，即根的判别式的值是正数。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
3. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的计算，解题的关键是先将方程化为一般形式，避免因符号错误选错常数项，再结合平方的非负性即可快速判断判别式的符号。
【难度系数】
0.8

3. 关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根的情况，下列结论正确的是 （）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况

3.A

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的取值判断。解题思路为：首先从给定方程中提取一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应的系数$a、b、c$，注意带对系数的符号；再代入判别式公式计算$\Delta$的数值；最后根据$\Delta$的取值对应判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得系数：$a=1$，$b=-3$，$c=1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础考查题型，主要检验对根的判别式相关知识的掌握程度，只要熟记判别式的计算方法和不同取值对应的根的三种情况，就能快速求解。
【难度系数】
0.9

4. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是
（）

A.$a≠0$
B.$a ＞ -1$，且$a≠0$
C.$a ≥ -1$，且$a≠0$
D.$a ＞ -1$

4.B

【分析】
解决这道题需要结合两个核心条件推导：首先题目明确是一元二次方程，根据定义二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；其次方程有两个不相等的实数根，对应根的判别式大于0，代入系数列不等式求解，最终结合两个条件即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不能为0，因此可得：$a ≠ 0$；
2. 一元二次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
在方程$ax^2 + 2x -1 = 0$中，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × (-1) = 4 + 4a ＞ 0$
解不等式$4+4a＞0$，得$a ＞ -1$；
3. 结合两个限制条件，最终$a$的取值范围为$a ＞ -1$且$a ≠ 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，从而误选D，需要牢固掌握判别式和根的个数的对应关系，以及一元二次方程的定义要求。
【难度系数】
0.7

5. 在平面直角坐标系中,若直线$y=x+a$不经过第二象限,则关于$x$的方程$ax^2 -3x +1=0$的实数根的个数为.

5.1或2

【分析】
首先根据一次函数的图象性质，由直线$y=x+a$不经过第二象限求出参数$a$的取值范围，再对$a$的取值分类讨论：当$a=0$时，方程为一元一次方程，直接判断根的个数；当$a≠0$时，方程为一元二次方程，利用根的判别式判断根的个数，最终整合两种情况得到结果。
【解析】
1. 求$a$的取值范围：
直线$y=x+a$的斜率为$1＞0$，图象呈上升趋势，若该直线不经过第二象限，则直线与$y$轴的交点不在$y$轴正半轴，即截距$a≤0$。
2. 分类讨论方程的实数根个数：
① 当$a=0$时，原方程化简为$-3x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{3}$，此时有1个实数根；
② 当$a＜0$时，原方程$ax^2 -3x +1=0$是一元二次方程，根的判别式$\Delta=(-3)^2 - 4× a× 1 = 9 - 4a$。
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，因此$\Delta=9-4a＞9＞0$，此时一元二次方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根的个数为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
一次函数的图象与性质；一元一次方程的解；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查一次函数性质与方程根的判定，解题关键是注意对$a$是否为0进行分类讨论，避免忽略$a=0$的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

6. 在$△ ABC$中，$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=b$，且关于$x$的方程$x^2 -4x +b=0$有两个相等的实数根，则$AC$边上的中线长为。

6.2

【分析】
解题首先从已知条件“方程有两个相等的实数根”切入，回忆一元二次方程根的判别式与根的关系，当Δ=0时方程有两个相等的实数根，代入计算即可求出AC的长度b；得到三角形三边长后，通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，发现△ABC是直角三角形且AC为斜边，最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，直接计算出AC边上的中线长。
【解析】
步骤1：利用根的判别式求AC的长度
∵ 关于x的方程$x^2 -4x +b=0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × b = 0$，
即$16 - 4b = 0$，解得$b=4$，
∴ $AC = b = 4$。
步骤2：判断△ABC的形状
已知$BC=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$AC=4$，
计算得：$BC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$，
而$AC^2 = 4^2 = 16$，
∴ $BC^2 + AB^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且AC为斜边。
步骤3：计算AC边上的中线长
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ AC边上的中线长 = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程和三角形性质结合考查，解题的核心是先通过判别式求出未知边长，再判断三角形形状，最后利用特殊三角形的性质计算所求线段长，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7