已知$a+b=\frac{1}{2}$，$ab=\frac{8}{3}$，求$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值.
解 $a^3b+2a^2b^2+ab^3$
$=ab(a^2+2ab+b^2)$
$=ab(a+b)^2.$
将$a+b=\frac{1}{2}$，$ab=\frac{8}{3}$代入，
得原式$=\frac{8}{3}×(\frac{1}{2})^2=\frac{8}{3}×\frac{1}{4}=\frac{2}{3}.$

解：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$=ab(a^2 + 2ab + b^2)$
$=ab(a+b)^2$
将$a+b=\frac{1}{2}$，$ab=\frac{8}{3}$代入，得：
原式$=\frac{8}{3} × (\frac{1}{2})^2$
$=\frac{8}{3} × \frac{1}{4}$
$=\frac{2}{3}$

5. 利用因式分解求 $4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3$ 的值，其中 $a + b = 1$，$ab = \frac{5}{16}$。

5. 解 $4a^3b + 8a^2b^2 + 4ab^3 = 4ab(a^2 + 2ab + b^2) = 4ab(a + b)^2$。当 $a + b = 1$，$ab = \dfrac{5}{16}$时，原式$=4×\dfrac{5}{16}×1^2=\dfrac{5}{4}$。

专题四 利用因式分解求解
图形问题
典型例题
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.例如：$8=3^2 -1^2$，$16=5^2 -3^2$，$24=7^2 -5^2$，则8，16，24这三个数都是奇特数.
（1）设两个连续奇数是$2n-1$和$2n+1$（其中n为正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（2）如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积.

解（1）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：因为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (2n+1+2n-1)(2n+1 -2n+1)=4n·2=8n$，
所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
（2）$S_{阴影部分}=39^2 -37^2 +35^2 -33^2 +\dots +7^2 -5^2 +3^2 -1^2=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33)+\dots +(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+37+35+33+\dots +7+5+3+1)×2=(1+39)×20÷2×2=800.$

解：
(1) 由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)\\&=4n·2\\&=8n\end{aligned}$
因为n为正整数，所以8n是8的倍数，即由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数。
(2) 阴影部分的面积计算如下：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影部分}}&=39^2-37^2+35^2-33^2+\dots+7^2-5^2+3^2-1^2\\&=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+\dots+(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1)\\&=(39+37)×2+(35+33)×2+\dots+(7+5)×2+(3+1)×2\\&=2×(39+37+35+33+\dots+7+5+3+1)\\&=2×\frac{(1+39)×20}{2}\\&=800\end{aligned}$
答：阴影部分的面积为800。