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三、解答题
7. 已知：如图，$△ ABC$和线段$DE$，$DE=AB$。
求作：$△ DEF$，使$DF=AC$，$EF=BC$。（要求尺规作图，保留作图痕迹）
7. 已知：如图，$△ ABC$和线段$DE$，$DE=AB$。
求作：$△ DEF$，使$DF=AC$，$EF=BC$。（要求尺规作图，保留作图痕迹）
答案
解：
作法：
1. 以点D为圆心，线段AC的长为半径，在DE的一侧画弧；
2. 以点E为圆心，线段BC的长为半径，在DE的同侧画弧，两弧的交点记为F；
3. 连接DF、EF。
则△DEF即为所求作的三角形，保留所有尺规作图痕迹即可。
作法：
1. 以点D为圆心，线段AC的长为半径，在DE的一侧画弧；
2. 以点E为圆心，线段BC的长为半径，在DE的同侧画弧，两弧的交点记为F；
3. 连接DF、EF。
则△DEF即为所求作的三角形，保留所有尺规作图痕迹即可。
解析
【分析】
本题要求作与△ABC三边对应相等的△DEF，已知DE=AB，只需再构造出DF=AC、EF=BC即可。我们可以利用尺规作图中圆规截取等长线段的功能，分别以D、E为圆心，AC、BC的长度为半径画弧，两弧交点即为点F，连接对应线段就能得到符合要求的三角形，作图原理是三边对应相等的两个三角形全等（SSS），可保证所作三角形完全满足题设条件。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 先用圆规对齐线段AC的两端，截取AC的长度，再以点D为圆心，AC长为半径，在DE的其中一侧画弧；
2. 再用圆规截取线段BC的长度，以点E为圆心，BC长为半径，在DE的同侧画弧，两条弧的交点记为点F；
3. 最后用直尺连接DF、EF。
此时所作的△DEF满足DE=AB、DF=AC、EF=BC，符合题目要求，注意保留所有的作图痕迹。
【答案】
作法：
1. 以点D为圆心，线段AC的长为半径，在DE的一侧画弧；
2. 以点E为圆心，线段BC的长为半径，在DE的同侧画弧，两弧的交点记为F；
3. 连接DF、EF。
则△DEF即为所求作的三角形，保留所有尺规作图痕迹即可。
【知识点】
尺规作图、SSS判定全等、三边作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查学生利用三边对应相等构造三角形的操作能力，需要熟练掌握圆规截取等长线段的方法，作图时要注意两弧需在DE的同侧相交，且保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
本题要求作与△ABC三边对应相等的△DEF，已知DE=AB，只需再构造出DF=AC、EF=BC即可。我们可以利用尺规作图中圆规截取等长线段的功能，分别以D、E为圆心，AC、BC的长度为半径画弧，两弧交点即为点F，连接对应线段就能得到符合要求的三角形，作图原理是三边对应相等的两个三角形全等（SSS），可保证所作三角形完全满足题设条件。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 先用圆规对齐线段AC的两端，截取AC的长度，再以点D为圆心，AC长为半径，在DE的其中一侧画弧；
2. 再用圆规截取线段BC的长度，以点E为圆心，BC长为半径，在DE的同侧画弧，两条弧的交点记为点F；
3. 最后用直尺连接DF、EF。
此时所作的△DEF满足DE=AB、DF=AC、EF=BC，符合题目要求，注意保留所有的作图痕迹。
【答案】
作法：
1. 以点D为圆心，线段AC的长为半径，在DE的一侧画弧；
2. 以点E为圆心，线段BC的长为半径，在DE的同侧画弧，两弧的交点记为F；
3. 连接DF、EF。
则△DEF即为所求作的三角形，保留所有尺规作图痕迹即可。
【知识点】
尺规作图、SSS判定全等、三边作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，核心考查学生利用三边对应相等构造三角形的操作能力，需要熟练掌握圆规截取等长线段的方法，作图时要注意两弧需在DE的同侧相交，且保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$.求证：$∠ BAC=∠ DAE$.
答案
提示：证明$△ABD ≌ △ACE$
解析
【分析】
要证明∠BAC=∠DAE，首先观察已知条件给出了三组对应边相等，符合全等三角形的SSS判定条件，因此可先证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再利用等式的性质，两个角同时减去公共角∠DAC，即可推导出待证的角相等关系。
【解析】
证明：
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\AD=AE（已知）\\BD=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAE$（全等三角形的对应角相等）
$\therefore ∠ BAD - ∠ DAC = ∠ CAE - ∠ DAC$（等式的性质）
即$∠ BAC = ∠ DAE$
【答案】
$∠ BAC = ∠ DAE$，得证
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，核心是通过已知的三边相等判定三角形全等，再结合对应角相等和角的运算推导待证结论，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明∠BAC=∠DAE，首先观察已知条件给出了三组对应边相等，符合全等三角形的SSS判定条件，因此可先证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再利用等式的性质，两个角同时减去公共角∠DAC，即可推导出待证的角相等关系。
【解析】
证明：
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\AD=AE（已知）\\BD=CE（已知）\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAE$（全等三角形的对应角相等）
$\therefore ∠ BAD - ∠ DAC = ∠ CAE - ∠ DAC$（等式的性质）
即$∠ BAC = ∠ DAE$
【答案】
$∠ BAC = ∠ DAE$，得证
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，核心是通过已知的三边相等判定三角形全等，再结合对应角相等和角的运算推导待证结论，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N.求证：∠1=∠2.
答案
提示：先证明$△ABD ≌ △CDB$，再证明$AD // BC$
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，首先观察两角的位置：二者是直线AD、BC被直线MN所截形成的内错角，因此只需先证明AD//BC即可。要证AD//BC，可先证明内错角∠ADB=∠CBD；这两个角分别在△ABD和△CDB中，已知AB=CD、AD=BC，且BD是两个三角形的公共边，可通过SSS判定两三角形全等，得到对应角相等，进而推出AD与BC平行，最终证得∠1=∠2。
【解析】
证明：
在$△ ABD$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}AB = CD（已知）\\AD = BC（已知）\\BD = DB（公共边相等）\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ CDB$（SSS）
∴$∠ ADB = ∠ CBD$（全等三角形对应角相等）
∴$AD // BC$（内错角相等，两直线平行）
∴$∠ 1 = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$∠ 1 = ∠ 2$，得证
【知识点】
1. SSS证三角形全等
2. 平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题核心是通过全等三角形得到等角，再转化为线的平行关系，最终利用平行线性质得到待证的等角，需要熟练掌握全等三角形判定和平行线相关定理。
【难度系数】
0.8
要证明∠1=∠2，首先观察两角的位置：二者是直线AD、BC被直线MN所截形成的内错角，因此只需先证明AD//BC即可。要证AD//BC，可先证明内错角∠ADB=∠CBD；这两个角分别在△ABD和△CDB中，已知AB=CD、AD=BC，且BD是两个三角形的公共边，可通过SSS判定两三角形全等，得到对应角相等，进而推出AD与BC平行，最终证得∠1=∠2。
【解析】
证明：
在$△ ABD$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}AB = CD（已知）\\AD = BC（已知）\\BD = DB（公共边相等）\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ CDB$（SSS）
∴$∠ ADB = ∠ CBD$（全等三角形对应角相等）
∴$AD // BC$（内错角相等，两直线平行）
∴$∠ 1 = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$∠ 1 = ∠ 2$，得证
【知识点】
1. SSS证三角形全等
2. 平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题核心是通过全等三角形得到等角，再转化为线的平行关系，最终利用平行线性质得到待证的等角，需要熟练掌握全等三角形判定和平行线相关定理。
【难度系数】
0.8
