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12. 如图为一条单位长度为1的数轴,已知A,B,C三点在数轴上表示的数分别为a,b,c,点A在原点左侧,a,b互为相反数且乘积为-4,b,c互为倒数.
(1)求a,b,c的值,并在数轴上画出A,B,C三点的具体位置;
(2)若数轴上一个动点从点A向右出发,经过8 s到达点B后,又经过4 s到达点D,假设运动过程中速度保持不变,求点D所表示的数.
(1)求a,b,c的值,并在数轴上画出A,B,C三点的具体位置;
(2)若数轴上一个动点从点A向右出发,经过8 s到达点B后,又经过4 s到达点D,假设运动过程中速度保持不变,求点D所表示的数.
答案
12. (1)$a = - 2,b = 2,c = \dfrac{1}{2}$. 画图略 (2)0或4
解析
【分析】
(1) 对于第一问，先利用互为相反数的两个数的关系，将b用a表示，结合二者乘积为-4列方程求出a的可能取值，再根据点A在原点左侧确定a的正负，进而得到b的值，最后根据倒数的定义求出c的值，再对应数轴刻度标注三个点即可。
(2) 对于第二问，先计算A、B两点的距离，结合运动时间求出动点的速度，由于动点到达B点后的运动方向不明确，需分向左、向右两种情况讨论，分别计算4秒的运动路程，即可求出点D对应的数。
【解析】
(1)
∵a、b互为相反数，
∴$b=-a$。
∵a、b的乘积为-4，
∴$a·b = a·(-a) = -a^2 = -4$，即$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
又
∵点A在原点左侧，即$a＜0$，
∴$a=-2$，$b=-a=2$。
∵b、c互为倒数，
∴$b·c=1$，
∴$c=\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$。
画图：点A在原点左侧第2个刻度处，点C在原点和原点右侧第一个刻度中间，点B在原点右侧第2个刻度处，画图略。
(2) 首先计算A、B两点的距离：$AB = 2 - (-2) = 4$（单位长度）。
动点的运动速度：$v = 4÷8 = 0.5$（单位长度/秒）。
动点从B出发运动4秒的路程：$0.5×4=2$（单位长度）。
分两种情况讨论：
① 若动点到达B后继续向右运动，点D表示的数为$2 + 2 = 4$；
② 若动点到达B后向左运动，点D表示的数为$2 - 2 = 0$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=2$，$c=\dfrac{1}{2}$，画图略
(2) $0$或$4$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，数轴动点问题
【点评】
本题综合考查了有理数相关基本概念和数轴上的行程计算，解题时要注意结合数轴的特点，当动点运动方向未明确说明时，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 对于第一问，先利用互为相反数的两个数的关系，将b用a表示，结合二者乘积为-4列方程求出a的可能取值，再根据点A在原点左侧确定a的正负，进而得到b的值，最后根据倒数的定义求出c的值，再对应数轴刻度标注三个点即可。
(2) 对于第二问，先计算A、B两点的距离，结合运动时间求出动点的速度，由于动点到达B点后的运动方向不明确，需分向左、向右两种情况讨论，分别计算4秒的运动路程，即可求出点D对应的数。
【解析】
(1)
∵a、b互为相反数，
∴$b=-a$。
∵a、b的乘积为-4，
∴$a·b = a·(-a) = -a^2 = -4$，即$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
又
∵点A在原点左侧，即$a＜0$，
∴$a=-2$，$b=-a=2$。
∵b、c互为倒数，
∴$b·c=1$，
∴$c=\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$。
画图：点A在原点左侧第2个刻度处，点C在原点和原点右侧第一个刻度中间，点B在原点右侧第2个刻度处，画图略。
(2) 首先计算A、B两点的距离：$AB = 2 - (-2) = 4$（单位长度）。
动点的运动速度：$v = 4÷8 = 0.5$（单位长度/秒）。
动点从B出发运动4秒的路程：$0.5×4=2$（单位长度）。
分两种情况讨论：
① 若动点到达B后继续向右运动，点D表示的数为$2 + 2 = 4$；
② 若动点到达B后向左运动，点D表示的数为$2 - 2 = 0$。
【答案】
(1) $a=-2$，$b=2$，$c=\dfrac{1}{2}$，画图略
(2) $0$或$4$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，数轴动点问题
【点评】
本题综合考查了有理数相关基本概念和数轴上的行程计算，解题时要注意结合数轴的特点，当动点运动方向未明确说明时，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 某粮库一周内大米的进出记录如下表所示:(运进为正,运出为负,单位:吨)
(1) 周五粮库内的大米的存量相比周一是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？
(2) 周日粮库管理员盘点时发现粮库中大米的存量还剩60吨,那么上周日盘点时,粮库中大米的存量有多少吨？
(3) 如果进、出粮库的装卸费均由粮库支付,且都是每吨5元,那么这一周共花费装卸费多少元？
(4) 在(3)的条件下,若运进的大米为购买的,购买价格为2000元/吨,运出的大米为卖出的,卖出价格为2300元/吨,则这一周该粮库共获得的利润为多少？
(1) 周五粮库内的大米的存量相比周一是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？
(2) 周日粮库管理员盘点时发现粮库中大米的存量还剩60吨,那么上周日盘点时,粮库中大米的存量有多少吨？
(3) 如果进、出粮库的装卸费均由粮库支付,且都是每吨5元,那么这一周共花费装卸费多少元？
(4) 在(3)的条件下,若运进的大米为购买的,购买价格为2000元/吨,运出的大米为卖出的,卖出价格为2300元/吨,则这一周该粮库共获得的利润为多少？
答案
13. (1) 减少了35吨 (2)50吨 (3)850元 (4)3 150元
解析
【分析】
本题是正负数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：
(1) 要判断周五相比周一的存量变化，只需计算周二到周五的进出量之和，结果为正则存量增加，为负则存量减少，结果的绝对值就是变化的吨数；
(2) 先计算一周总的净进出量，本周日的存量减去一周的净增量，即可得到上周日的存量；
(3) 装卸费不分运进、运出都需要支付，因此先计算所有进出量的绝对值之和，再乘以每吨的装卸费就能得到总装卸费；
(4) 利润=卖出大米的总收入-买入大米的总成本-装卸费总支出，分别计算三部分的数值后作差即可得到总利润。
【解析】
(1) 计算周二到周五的进出量总和：
$\begin{split}&-15+(-30)+20+(-10)\\=&-45+20-10\\=&-35\end{split}$（吨）
结果为负，说明周五相比周一存量减少了，减少了35吨。
(2) 先计算一周总的净进出量：
$\begin{split}&+30+(-15)+(-30)+20+(-10)+40+(-25)\\=&15-30+20-10+40-25\\=&-15+20-10+40-25\\=&5-10+40-25\\=&-5+40-25\\=&10\end{split}$（吨）
说明本周一共净运进10吨，已知本周日存量为60吨，则上周日存量为：
$60-10=50$（吨）
(3) 先计算一周进出总吨数（对所有记录取绝对值求和）：
$\begin{split}&|+30|+|-15|+|-30|+|+20|+|-10|+|+40|+|-25|\\=&30+15+30+20+10+40+25\\=&170\end{split}$（吨）
装卸费总费用：$170×5=850$（元）
(4) 先计算运进总吨数：$30+20+40=90$（吨），买入总成本：$90×2000=180000$（元）
再计算运出总吨数：$15+30+10+25=80$（吨），卖出总收入：$80×2300=184000$（元）
总利润为：$184000-180000-850=3150$（元）
【答案】
(1) 减少了35吨；(2) 50吨；(3) 850元；(4) 3150元
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合粮库进出货的实际场景，考查正负数的实际应用及有理数的相关运算，解题的核心是明确正负号代表的实际含义，注意计算装卸费时不管进出都要统计吨数，需对记录数据取绝对值计算，区分各小问的计算要求即可正确解答。
【难度系数】
0.7
本题是正负数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：
(1) 要判断周五相比周一的存量变化，只需计算周二到周五的进出量之和，结果为正则存量增加，为负则存量减少，结果的绝对值就是变化的吨数；
(2) 先计算一周总的净进出量，本周日的存量减去一周的净增量，即可得到上周日的存量；
(3) 装卸费不分运进、运出都需要支付，因此先计算所有进出量的绝对值之和，再乘以每吨的装卸费就能得到总装卸费；
(4) 利润=卖出大米的总收入-买入大米的总成本-装卸费总支出，分别计算三部分的数值后作差即可得到总利润。
【解析】
(1) 计算周二到周五的进出量总和：
$\begin{split}&-15+(-30)+20+(-10)\\=&-45+20-10\\=&-35\end{split}$（吨）
结果为负，说明周五相比周一存量减少了，减少了35吨。
(2) 先计算一周总的净进出量：
$\begin{split}&+30+(-15)+(-30)+20+(-10)+40+(-25)\\=&15-30+20-10+40-25\\=&-15+20-10+40-25\\=&5-10+40-25\\=&-5+40-25\\=&10\end{split}$（吨）
说明本周一共净运进10吨，已知本周日存量为60吨，则上周日存量为：
$60-10=50$（吨）
(3) 先计算一周进出总吨数（对所有记录取绝对值求和）：
$\begin{split}&|+30|+|-15|+|-30|+|+20|+|-10|+|+40|+|-25|\\=&30+15+30+20+10+40+25\\=&170\end{split}$（吨）
装卸费总费用：$170×5=850$（元）
(4) 先计算运进总吨数：$30+20+40=90$（吨），买入总成本：$90×2000=180000$（元）
再计算运出总吨数：$15+30+10+25=80$（吨），卖出总收入：$80×2300=184000$（元）
总利润为：$184000-180000-850=3150$（元）
【答案】
(1) 减少了35吨；(2) 50吨；(3) 850元；(4) 3150元
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合粮库进出货的实际场景，考查正负数的实际应用及有理数的相关运算，解题的核心是明确正负号代表的实际含义，注意计算装卸费时不管进出都要统计吨数，需对记录数据取绝对值计算，区分各小问的计算要求即可正确解答。
【难度系数】
0.7
14. 为了求$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2024}$的值，可令$S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2024}$，则$2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2025}$，因此$2S - S = 2^{2025} - 1$，所以$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2024} = 2^{2025} - 1$。仿照以上推理计算$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2025}$的值是（
A.$5^{2025} - 1$
B.$5^{2026} - 1$
C.$\frac{5^{2025} - 1}{4}$
D.$\frac{5^{2026} - 1}{4}$
D
）A.$5^{2025} - 1$
B.$5^{2026} - 1$
C.$\frac{5^{2025} - 1}{4}$
D.$\frac{5^{2026} - 1}{4}$
答案
14.D
解析
【分析】
本题是方法迁移类题目，可仿照题干给出的求和方法求解：首先观察所求式子的特征，每一项都是前一项的5倍，和题干中2的求和式结构一致，因此先设所求式子的和为S，再将等式两边同时乘5得到新的等式，将两个等式作差即可消去大部分相同的项，最后整理求出S即可。
【解析】
解：令$ S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2025} $ ①
将等式①两边同时乘5，可得：
$ 5S = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2025} + 5^{2026} $ ②
用②式减去①式：
$ 5S - S = (5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2026}) - (1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{2025}) $
左边合并得$ 4S $，右边相同项抵消后剩余$ 5^{2026} - 1 $，即：
$ 4S = 5^{2026} - 1 $
两边同时除以4，得：
$ S = \frac{5^{2026} - 1}{4} $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方、类比推理、整式加减运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考查对给定解题方法的迁移应用能力，解题关键是读懂题干示例的错位相消思路，按照相同的步骤计算即可，注意指数的变化和系数的处理，避免出现漏项或计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类题目，可仿照题干给出的求和方法求解：首先观察所求式子的特征，每一项都是前一项的5倍，和题干中2的求和式结构一致，因此先设所求式子的和为S，再将等式两边同时乘5得到新的等式，将两个等式作差即可消去大部分相同的项，最后整理求出S即可。
【解析】
解：令$ S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2025} $ ①
将等式①两边同时乘5，可得：
$ 5S = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2025} + 5^{2026} $ ②
用②式减去①式：
$ 5S - S = (5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2026}) - (1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{2025}) $
左边合并得$ 4S $，右边相同项抵消后剩余$ 5^{2026} - 1 $，即：
$ 4S = 5^{2026} - 1 $
两边同时除以4，得：
$ S = \frac{5^{2026} - 1}{4} $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方、类比推理、整式加减运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考查对给定解题方法的迁移应用能力，解题关键是读懂题干示例的错位相消思路，按照相同的步骤计算即可，注意指数的变化和系数的处理，避免出现漏项或计算错误。
【难度系数】
0.7
