怎样进行有理数的乘方运算？对于负数的$n$次方，结果是正数还是负数？

解：
进行有理数的乘方运算时，可根据乘方的定义，将$a^n$转化为n个相同因数a相乘的乘法运算，再按照有理数乘法的运算法则计算出最终结果。
对于负数的n次方（n为正整数）：
当n是偶数时，负数的n次方结果为正数；
当n是奇数时，负数的n次方结果为负数。

【分析】
解题时首先回忆乘方的定义：乘方是求n个相同因数乘积的运算，因此有理数乘方运算可以转化为已学的有理数乘法运算，再按照乘法法则计算即可。对于负数的n次方的符号判断，可结合有理数乘法中积的符号规律：多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，而负数的n次方本质就是n个负数相乘，n就是负因数的个数，因此只需根据n的奇偶性就能判断结果的符号。
【解析】
1. 有理数乘方运算步骤：
根据乘方的定义，将$a^n$转化为n个相同因数a相乘的乘法形式，再按照有理数乘法的运算法则计算最终结果。
2. 负数的n次方（n为正整数）符号判断：
当n为偶数时，相当于偶数个负数相乘，负因数个数为偶数，结果为正数；
当n为奇数时，相当于奇数个负数相乘，负因数个数为奇数，结果为负数。
【答案】
进行有理数的乘方运算时，可根据乘方的定义，将$a^n$转化为n个相同因数a相乘的乘法运算，再按照有理数乘法的运算法则计算出最终结果。
对于负数的n次方（n为正整数）：
当n是偶数时，负数的n次方结果为正数；
当n是奇数时，负数的n次方结果为负数。
【知识点】
乘方的定义，有理数乘法运算，负数乘方符号规律
【点评】
本题考查乘方的基础运算规则与符号判断规律，是乘方模块的核心基础内容，熟练掌握该知识点能为后续有理数混合运算、整式运算等内容的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.9

1. 计算$(-2)^3$所得结果是()

A.-6
B.6
C.-8
D.8

C

【分析】
解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，因此$(-2)^3$的本质是3个$-2$相乘，不要和乘法运算$-2×3$混淆。其次结合负数乘方的符号规律：负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正，3是奇数，可先确定结果符号为负，再计算数值部分$2^3=8$，即可得出最终结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据乘方的定义，$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，计算过程如下：
$\begin{aligned}(-2)^3&= (-2) × (-2) × (-2) \\&=4 × (-2) \\&=-8\end{aligned}$
因此计算结果为-8，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的定义，有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，重点考查对乘方定义的理解，解题时要注意区分乘方与普通乘法运算，同时准确判断负数乘方的符号，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.9

2. 下列各式成立的是()

A.$3^2 = 3 × 2$
B.$5^3 = 3^5$
C.$( \frac{1}{2} )^3 = \frac{3}{8}$
D.$( -\frac{1}{4} )^2 = \frac{1}{16}$

D

【分析】
这道题考查乘方的基本运算，解题核心是先明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，我们只需要分别计算每个选项中等式左右两边的结果，对比是否相等，即可判断选项是否成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据乘方定义，$3^2=3×3=9$，而$3×2=6$，$9≠6$，因此A不成立；
B选项：$5^3=5×5×5=125$，$3^5=3×3×3×3×3=243$，$125≠243$，因此B不成立；
C选项：$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}≠\frac{3}{8}$，因此C不成立；
D选项：$(-\frac{1}{4})^2=(-\frac{1}{4})×(-\frac{1}{4})=\frac{1}{16}$，左右两边相等，因此D成立。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义，有理数乘方运算
【点评】
本题是乘方的基础考查题，解题时要注意不要混淆乘方运算和乘法运算，计算负数乘方时注意符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.9

3. 在$-(-6), |-2|, -2^2, (-1)^3$这四个数中,是负数的有()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C

【分析】
要判断四个数中负数的个数，首先需要分别计算出四个数的运算结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）逐一判断，最后统计负数的总个数即可得到答案。计算时要注意运算优先级和符号规则：去括号的符号法则、绝对值的非负性、乘方运算优先级高于负号，尤其要注意区分$-2^2$和$(-2)^2$的运算差异，避免符号计算错误。
【解析】
解：分别计算四个数的结果：
1. 计算$-(-6)$：根据去括号的负负得正规则，$-(-6)=6$，6是正数；
2. 计算$|-2|$：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，$|-2|=2$，2是正数；
3. 计算$-2^2$：乘方运算优先级高于负号，先算$2^2=4$，再添加负号得$-2^2=-4$，-4是负数；
4. 计算$(-1)^3$：表示3个$-1$相乘，$(-1)×(-1)×(-1)=-1$，-1是负数。
综上，负数共有2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 绝对值化简
3. 负数的判定
【点评】
本题是有理数运算的基础常考题，解题核心是准确掌握各类运算的符号规则，尤其要注意带负号的乘方运算的优先级，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7

4. 下列各式中,一定成立的是()

A.$2^2 = (-2)^2$
B.$2^3 = (-2)^3$
C.$-2^2 = | -2^2 |$
D.$(-2)^3 = | (-2)^3 |$

A

【分析】
这道题考查乘方运算及绝对值的性质，解题时我们只需要分别计算出每个选项中等式左右两边的结果，再对比结果是否相等即可判断是否成立。计算时要注意：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，另外要区分$-2^2$和$(-2)^2$的运算顺序，$-2^2$是先算$2^2$再取相反数，$(-2)^2$是两个$-2$相乘。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：左边$2^2=2×2=4$，右边$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，左右两边相等，该式成立；
B选项：左边$2^3=2×2×2=8$，右边$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$8≠-8$，该式不成立；
C选项：左边$-2^2=-4$，右边$|-2^2|=|-4|=4$，$-4≠4$，该式不成立；
D选项：左边$(-2)^3=-8$，右边$|(-2)^3|=|-8|=8$，$-8≠8$，该式不成立。
综上，只有A选项的式子一定成立。
【答案】
A
【知识点】
1.乘方的运算 2.绝对值的性质
【点评】
本题是乘方相关的基础题，解题的关键是准确判断乘方运算的符号，尤其注意负号在括号内和括号外的运算差异，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

5. 计算：$-3^2$的值是 ，$(-3)^2$的相反数是 。

-9；-9

【分析】
解题时首先要明确乘方运算中底数的判定规则，以及相反数的求法：①计算$-3^2$时，注意无括号时负号不属于底数，它表示的是3的平方的相反数，先算乘方再取负；②计算$(-3)^2$的相反数时，有括号时底数是括号内的-3，先算出$(-3)^2$的结果，再求该结果的相反数即可。
【解析】
1. 计算$-3^2$的值：
无括号的乘方运算中，底数仅为3，$-3^2$是$3^2$的相反数。
先算$3^2=3×3=9$，因此$-3^2=-9$。
2. 计算$(-3)^2$的相反数：
带括号的乘方运算中，底数为括号内的-3，因此$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$。
根据相反数的定义，9的相反数为$-9$，因此$(-3)^2$的相反数是$-9$。
【答案】
-9；-9
【知识点】
乘方运算，相反数的定义
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，核心考查点是区分带括号和不带括号的乘方的底数差异，牢记运算顺序，避免因混淆底数出现计算错误。
【难度系数】
0.7

6. 生物学家指出:在生态系统中,每输入一个营养级的能量,大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级,在$H_1 \to H_2 \to H_3 \to H_4 \to H_5 \to H_6$这条生物链中($H_n$表示第$n$个营养级,$n=1,2,···,6$),要使$H_6$获得10千焦的能量,需要$H_1$提供的能量约为.

$10^6$千焦

【分析】
首先明确能量传递规则：每流入下一个营养级的能量是上一个营养级的10%。我们可以通过列方程求解：先确定传递次数，从$H_1$到$H_6$共需要经过5次能量传递（$H_1$到$H_2$为第1次传递，到$H_6$即为第5次传递）。设$H_1$提供的能量为$x$千焦，那么$H_6$的能量就是$x$连续乘5次10%，结合$H_6$获得10千焦的已知条件，列方程求解即可。
【解析】
解：设需要$H_1$提供的能量约为$x$千焦。
根据能量传递规律，$H_6$获得的能量为$x$经过5次10%的传递后的结果，可列方程：
$x×(10\%)^{6-1}=10$
化简得：$x×(\frac{1}{10})^5=10$
即：$x×\frac{1}{10^5}=10$
解得：$x=10×10^5=10^6$（千焦）
【答案】
$10^6$千焦
【知识点】
乘方的实际应用、有理数运算、百分数应用
【点评】
本题结合生态场景考查乘方的实际应用，解题关键是准确区分营养级数量和能量传递次数，避免将指数误算为6，理清数量关系后即可快速求解。
【难度系数】
0.7

7. $(-3)^5$ 表示 个 相乘；在 $(-5)^4$ 中，底数是 ，指数是 ；$(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{1}{4})$ 写成乘方的形式是 。

5；-3；-5；4；$(-\dfrac{1}{4})^3$

【分析】
解决本题需要先回忆乘方的核心定义：求n个相同因数的乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$是相同的因数，叫做底数，$n$是相同因数的个数，叫做指数，$a^n$表示n个a相乘。我们根据这个定义依次分析每个问题即可：
1. 分析$(-3)^5$：根据定义，指数是相同因数的个数，底数是相同的因数，对应找出数字即可；
2. 分析$(-5)^4$：直接根据底数、指数的定义，找括号内的相同因数和右上角的数字即可；
3. 分析3个$(-\frac{1}{4})$相乘的乘方形式：找到相同的因数作为底数，因数的个数作为指数，按乘方格式书写即可，注意负数作底数要加括号。
【解析】
根据乘方的定义解答：
1. $(-3)^5$中，指数为5，底数为-3，所以表示5个-3相乘；
2. $(-5)^4$中，相同的因数是-5，共4个，所以底数是-5，指数是4；
3. $(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{1}{4})×(-\dfrac{1}{4})$是3个相同的$-\dfrac{1}{4}$相乘，相同因数为$-\dfrac{1}{4}$，个数为3，所以写成乘方的形式是$(-\dfrac{1}{4})^3$。
【答案】
5；-3；-5；4；$(-\dfrac{1}{4})^3$
【知识点】
乘方的意义；乘方各部分名称；乘法改写乘方
【点评】
本题考查乘方的基础概念，是乘方章节的入门题型，核心是要注意负数作为底数时必须加括号，避免和不带括号的乘方混淆，熟练掌握概念即可得分。
【难度系数】
0.9

8.一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的立方等于它本身，这个数是。

0或1；0或1或-1

【分析】
解决这道题我们可以从特殊有理数的乘方特征入手思考：
1. 对于平方等于本身的数：首先明确平方运算的性质，正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方是正数，因此负数不可能满足平方等于本身，我们只需要验证非负的特殊数即可。
2. 对于立方等于本身的数：立方运算的性质是正数的立方是正数，0的立方是0，负数的立方是负数，因此负数也有可能满足条件，我们只需验证0、1、-1这几个常见特殊值，再排除其他不符合的数即可。
【解析】
1. 求平方等于它本身的数：
分别计算特殊值的平方：
$0^2 = 0$，满足平方等于本身；
$1^2 = 1$，满足平方等于本身；
负数的平方为正数，不可能等于自身；大于1的正数平方都大于自身（如$2^2=4＞2$），因此平方等于本身的数是0或1。
2. 求立方等于它本身的数：
分别计算特殊值的立方：
$0^3 = 0$，满足立方等于本身；
$1^3 = 1$，满足立方等于本身；
$(-1)^3 = -1$，满足立方等于本身；
大于1的正数立方大于自身，小于-1的负数立方小于自身（如$(-2)^3=-8＜-2$），因此立方等于本身的数是0或1或-1。
【答案】
0或1；0或1或-1
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 平方的性质
3. 立方的性质
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题的关键是掌握有理数乘方的符号规律，熟记常见特殊数的乘方结果，注意不要漏解，尤其是立方等于本身的数不要遗漏-1。
【难度系数】
0.8

9. 平方的结果是64的数是，立方的结果是64的数是。

$\pm8$；4

【分析】
解决本题需结合乘方的意义和不同乘方运算的符号特点思考：
1. 求平方等于64的数时，要注意平方运算的特征：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此平方等于正数的数有两个，互为相反数，只需找出两个相同相乘得64的数即可；
2. 求立方等于64的数时，立方运算的特征是：正数的立方是正数，负数的立方是负数，因此立方等于正数64的数只能是正数，找出三个相同相乘得64的正数即可。
【解析】
1. 计算平方结果为64的数：
根据乘方的定义，平方是两个相同因数的乘法运算，因为$8×8=64$，$(-8)×(-8)=64$，所以平方结果是64的数为$\pm8$。
2. 计算立方结果为64的数：
立方是三个相同因数的乘法运算，因为$4×4×4=64$，且负数的立方为负数，不可能等于正数64，所以立方结果是64的数为4。
【答案】
$\pm8$；4
【知识点】
乘方的意义，有理数乘方运算，乘方符号规律
【点评】
本题属于乘方运算的基础考查题，核心是掌握不同次乘方的符号特性，易错点是求平方等于正数的数时容易漏掉负数解，做题时需注意全面考虑正负情况。
【难度系数】
0.8

10. 比较下列数的大小（在横线上填写“＞”“＜”或“=”）：
$1^2$$2^1$；$2^3$$3^2$；$3^4$$4^3$；
$4^5$$5^4$；$5^6$$6^5$.

＜；＜；＞；＞；＞

【分析】
本题是乘方的大小比较题，解题思路清晰：首先根据乘方的定义，即$a^n$表示n个a相乘，分别计算出横线左右两边乘方的结果，再按照有理数大小比较的规则，比较两个结果的大小，就能得出答案。
【解析】
我们逐个计算并比较：
1. 计算$1^2=1×1=1$，$2^1=2$，因为$1＜2$，所以$1^2 ＜ 2^1$；
2. 计算$2^3=2×2×2=8$，$3^2=3×3=9$，因为$8＜9$，所以$2^3 ＜ 3^2$；
3. 计算$3^4=3×3×3×3=81$，$4^3=4×4×4=64$，因为$81＞64$，所以$3^4 ＞ 4^3$；
4. 计算$4^5=4×4×4×4×4=1024$，$5^4=5×5×5×5=625$，因为$1024＞625$，所以$4^5 ＞ 5^4$；
5. 计算$5^6=5×5×5×5×5×5=15625$，$6^5=6×6×6×6×6=7776$，因为$15625＞7776$，所以$5^6 ＞ 6^5$。
【答案】
＜；＜；＞；＞；＞
【知识点】
乘方的运算；有理数大小比较
【点评】
本题是基础计算题，主要考查对乘方定义的掌握程度和计算的准确性，只要正确计算出每个乘方的结果，就能快速比较出大小，计算时注意不要数错乘数的个数。
【难度系数】
0.9

11. 计算:
(1) $(-4)^2$；
(2) $-(-\dfrac{1}{3})^2$；
(3) $(-\dfrac{1}{2})^3$；
(4) $(-1\dfrac{1}{2})^2$。

(1) $16$ (2) $-\dfrac{1}{9}$ (3) $-\dfrac{1}{8}$ (4) $\dfrac{9}{4}$

【分析】
这几道题均考查有理数的乘方运算，解题思路如下：第一步先明确每个乘方的底数是什么，区分括号内的负号属于底数还是括号外的符号；第二步根据乘方的符号法则判断结果的符号：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负，正数的任何次幂都为正；第三步计算绝对值对应的乘方结果，带分数要先化成假分数再计算，最后结合符号得到最终结果。
【解析】
(1) $(-4)^2$表示2个$-4$相乘，即：
$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$
(2) 先计算乘方部分$(-\dfrac{1}{3})^2$，再添加括号外的负号：
$-(-\dfrac{1}{3})^2=-[(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})]=-\dfrac{1}{9}$
(3) $(-\dfrac{1}{2})^3$表示3个$-\dfrac{1}{2}$相乘，负数的奇次幂为负：
$(-\dfrac{1}{2})^3=(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{8}$
(4) 先把带分数$-1\dfrac{1}{2}$化为假分数$-\dfrac{3}{2}$，再计算平方，负数的偶次幂为正：
$(-1\dfrac{1}{2})^2=(-\dfrac{3}{2})^2=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4}$
【答案】
(1) $16$；(2) $-\dfrac{1}{9}$；(3) $-\dfrac{1}{8}$；(4) $\dfrac{9}{4}$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则，带分数化简
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题的关键是准确识别乘方的底数，牢记乘方的符号规律，遇到带分数参与乘方运算时，要先将带分数化为假分数再计算，避免因底数判断错误或带分数处理不当失分。
【难度系数】
0.85