登录
1. 小王准备在街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在(
C
).答案
1. C
解析
【分析】
本题是直线上选点到同侧两点距离和最小的最短路径问题，解题思路如下：首先明确目标：在街道（抽象为直线）上找一点C，使得AC+BC的值最小。我们学过两点之间线段最短，若两点在直线异侧，连接两点与直线的交点即为所求的最短距离点，但本题A、B在街道同侧，因此需要利用轴对称的性质，将其中一个点对称到街道另一侧，把同侧点问题转化为异侧点问题，再结合两点之间线段最短确定C点位置。
【解析】
1. 把街道看作一条直线，居民区A、B是该直线同侧的两个定点。
2. 作点A关于街道所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质，对直线上任意一点C，都有AC=A'C，因此AC+BC = A'C + BC。
3. 根据“两点之间，线段最短”，当点C落在线段A'B上时，A'C+BC的长度最小，等于线段A'B的长度，此时点C就是线段A'B与街道所在直线的交点。
观察四个选项，只有选项C的作图符合上述推导过程。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的生活中的最短路径选址问题，解题关键是掌握同侧两点到直线上一点距离和最小的求解方法，通过轴对称完成同侧到异侧的转化，再结合线段的性质求解，该模型在实际选址问题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
本题是直线上选点到同侧两点距离和最小的最短路径问题，解题思路如下：首先明确目标：在街道（抽象为直线）上找一点C，使得AC+BC的值最小。我们学过两点之间线段最短，若两点在直线异侧，连接两点与直线的交点即为所求的最短距离点，但本题A、B在街道同侧，因此需要利用轴对称的性质，将其中一个点对称到街道另一侧，把同侧点问题转化为异侧点问题，再结合两点之间线段最短确定C点位置。
【解析】
1. 把街道看作一条直线，居民区A、B是该直线同侧的两个定点。
2. 作点A关于街道所在直线的对称点A'，根据轴对称的性质，对直线上任意一点C，都有AC=A'C，因此AC+BC = A'C + BC。
3. 根据“两点之间，线段最短”，当点C落在线段A'B上时，A'C+BC的长度最小，等于线段A'B的长度，此时点C就是线段A'B与街道所在直线的交点。
观察四个选项，只有选项C的作图符合上述推导过程。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的生活中的最短路径选址问题，解题关键是掌握同侧两点到直线上一点距离和最小的求解方法，通过轴对称完成同侧到异侧的转化，再结合线段的性质求解，该模型在实际选址问题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC,AD,CE$是$△ ABC$的两条中线,$P$是$AD$上的一个动点,则下列线段的长等于$BP + EP$最小值的是(
A.$BC$
B.$CE$
C.$AD$
D.$AC$
B
).A.$BC$
B.$CE$
C.$AD$
D.$AC$
答案
2. B
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径问题，首先结合等腰三角形的性质分析AD的特征：已知AB=AC，AD是△ABC的中线，根据等腰三角形三线合一可知AD垂直平分BC，因此点B与点C关于AD对称，可将BP转化为CP，此时BP+EP=CP+EP，再根据“两点之间线段最短”可知，当E、P、C三点共线时，CP+EP的和最小，最小值即为CE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于AD对称，
∴BP=CP，
∴BP+EP=CP+EP。
根据两点之间线段最短，当点P为CE与AD的交点时，CP+EP的值最小，最小值为CE的长度，即BP+EP的最小值等于CE的长。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型应用题型，解题核心是利用轴对称性质将分散的线段转化到同一条路径上，结合两点之间线段最短确定最小值对应的线段，掌握等腰三角形三线合一和轴对称的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径问题，首先结合等腰三角形的性质分析AD的特征：已知AB=AC，AD是△ABC的中线，根据等腰三角形三线合一可知AD垂直平分BC，因此点B与点C关于AD对称，可将BP转化为CP，此时BP+EP=CP+EP，再根据“两点之间线段最短”可知，当E、P、C三点共线时，CP+EP的和最小，最小值即为CE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于AD对称，
∴BP=CP，
∴BP+EP=CP+EP。
根据两点之间线段最短，当点P为CE与AD的交点时，CP+EP的值最小，最小值为CE的长度，即BP+EP的最小值等于CE的长。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型应用题型，解题核心是利用轴对称性质将分散的线段转化到同一条路径上，结合两点之间线段最短确定最小值对应的线段，掌握等腰三角形三线合一和轴对称的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 10$，$△ ABC$的面积是40，$AD$平分$∠ BAC$。若$P,Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC+PQ$的最小值是
8
。答案
3. 8 解析
∵AB=AC,AD 平分∠BAC,
∴AD 垂直平分BC.
如图,过点B作BQ⊥AC于点Q,BQ交AD于点P,则此时PC+PQ取最小值,最小值为BQ的长.
∵S△ABC = 1/2 AC · BQ = 1/2 × 10 × BQ=40,
∴BQ=8.
解析
【分析】
本题属于最短路径求最值问题，解题思路如下：首先结合等腰三角形和角平分线的条件，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，由轴对称的性质可得PC=PB，可将PC+PQ转化为PB+PQ；要使PB+PQ的值最小，结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，可知当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，PB+PQ的长度最小，最小值就是垂线段BQ的长，最后利用三角形面积公式计算BQ的长度即可。
【解析】
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点C与点B关于AD对称，即PC=PB，
∴PC+PQ=PB+PQ。
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，此时PB+PQ取得最小值，最小值为BQ的长（垂线段最短）。
已知△ABC的面积是40，AC=10，
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · BQ$，
代入得：$\frac{1}{2} × 10 × BQ=40$，
解得BQ=8。
【答案】
8
【知识点】
轴对称最短路径，等腰三角形三线合一，三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径类的典型题型，解题的核心是利用轴对称性质将两条线段的和转化为同一直线上的线段，再结合垂线段最短确定最小值对应的线段，最后结合三角形面积公式求解，能有效考查学生对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径求最值问题，解题思路如下：首先结合等腰三角形和角平分线的条件，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，由轴对称的性质可得PC=PB，可将PC+PQ转化为PB+PQ；要使PB+PQ的值最小，结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，可知当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，PB+PQ的长度最小，最小值就是垂线段BQ的长，最后利用三角形面积公式计算BQ的长度即可。
【解析】
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点C与点B关于AD对称，即PC=PB，
∴PC+PQ=PB+PQ。
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，此时PB+PQ取得最小值，最小值为BQ的长（垂线段最短）。
已知△ABC的面积是40，AC=10，
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · BQ$，
代入得：$\frac{1}{2} × 10 × BQ=40$，
解得BQ=8。
【答案】
8
【知识点】
轴对称最短路径，等腰三角形三线合一，三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径类的典型题型，解题的核心是利用轴对称性质将两条线段的和转化为同一直线上的线段，再结合垂线段最短确定最小值对应的线段，最后结合三角形面积公式求解，能有效考查学生对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
4.已知M，N两地间隔两条河流，第一条河流的河岸为直线j，k，第二条河流的河岸为直线l，g，所有的河岸皆平行。现要在两条河上分别修两座桥AB，CD，两座桥修在何处，才能使从M到N的路径M—A—B—C—D—N最短？且河上的桥必须与河岸垂直。（要求：保留作图痕迹，不写画法）
答案
4. 解 如图,两座桥AB,CD即为所求.
解析
【分析】
要解决修桥使路径最短的问题，首先明确：桥必须与河岸垂直，因此每座桥的长度等于对应河流的宽度，是固定不变的。因此总路径长度的大小由除桥之外的路段（MA、BC、DN）的长度和决定。我们可以利用平移的性质，把点M、N分别向河岸方向平移对应河宽的距离，将路径中需要求最短的折线部分转化为两点之间的连线，根据“两点之间线段最短”即可找到最优路径的交点，进而确定桥的位置。
【解析】
1. 将点M沿垂直于河岸的方向向下平移，平移的距离等于第一条河的宽度（直线j、k之间的距离），得到点M'；
2. 再将点N沿垂直于河岸的方向向上平移，平移的距离等于第二条河的宽度（直线l、g之间的距离），得到点N'；
3. 连接M'N'，分别与直线k交于点B、与直线l交于点C；
4. 过点B作AB⊥直线j，垂足为A；过点C作CD⊥直线g，垂足为D。
原理：由平移的性质可知MA=M'B，DN=CN'，总路径长度=MA+AB+BC+CD+DN = M'B + AB + BC + CD + CN'，其中AB、CD为固定河宽，根据两点之间线段最短，M'N'是M'到N'的最短路径，因此此时总路径最短，AB、CD即为所求的两座桥。
【答案】
如图，两座桥AB，CD即为所求。
【知识点】
平移的性质，两点之间线段最短，垂线的画法
【点评】
本题属于最短路径的实际应用问题，通过平移剥离固定长度的桥长，将复杂的折线最短问题转化为两点之间线段最短的基础模型，能有效考察学生对平移性质的应用能力和转化思想的掌握。
【难度系数】
0.6
要解决修桥使路径最短的问题，首先明确：桥必须与河岸垂直，因此每座桥的长度等于对应河流的宽度，是固定不变的。因此总路径长度的大小由除桥之外的路段（MA、BC、DN）的长度和决定。我们可以利用平移的性质，把点M、N分别向河岸方向平移对应河宽的距离，将路径中需要求最短的折线部分转化为两点之间的连线，根据“两点之间线段最短”即可找到最优路径的交点，进而确定桥的位置。
【解析】
1. 将点M沿垂直于河岸的方向向下平移，平移的距离等于第一条河的宽度（直线j、k之间的距离），得到点M'；
2. 再将点N沿垂直于河岸的方向向上平移，平移的距离等于第二条河的宽度（直线l、g之间的距离），得到点N'；
3. 连接M'N'，分别与直线k交于点B、与直线l交于点C；
4. 过点B作AB⊥直线j，垂足为A；过点C作CD⊥直线g，垂足为D。
原理：由平移的性质可知MA=M'B，DN=CN'，总路径长度=MA+AB+BC+CD+DN = M'B + AB + BC + CD + CN'，其中AB、CD为固定河宽，根据两点之间线段最短，M'N'是M'到N'的最短路径，因此此时总路径最短，AB、CD即为所求的两座桥。
【答案】
如图，两座桥AB，CD即为所求。
【知识点】
平移的性质，两点之间线段最短，垂线的画法
【点评】
本题属于最短路径的实际应用问题，通过平移剥离固定长度的桥长，将复杂的折线最短问题转化为两点之间线段最短的基础模型，能有效考察学生对平移性质的应用能力和转化思想的掌握。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$△ ABC$区域内，小羊从路边AB某点出发跑到水沟边AC喝水，然后跑向路边BC吃草，最后跑回到出发点处休息，为使所跑总路程最短，小羊应从AB边上的哪一点出发？又按怎样的路线奔跑？
答案
5. 解 如图①,在AB上取一点P.作点P关于AC的对称点P',关于BC的对称点P'',连接CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交AC于点K,交BC于点T，
由对称性可知,CP' = CP = CP'',∠P'CA = ∠PCA, ∠P''CB = ∠PCB, PK = P'K,PT = P''T,
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P''T.
∵P',K,T,P''共线，
∴从点P出发,此时 PK + KT + PT=P'P''最小.
∵∠P'CA = ∠PCA, ∠P''CB =∠PCB，
∴∠P'CA + ∠P''CB = ∠PCA +∠PCB=∠ACB，
∴∠P'CP''=2∠ACB，
∴△P'CP''是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边P'P''最小,即当CP最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②，
∴过点C作AB的垂线,垂足P即为小羊出发的点,此时沿路线P→K→T→P奔跑,所跑总路程最短.
解析
【分析】
要解决这个最短路径问题，我们可以利用轴对称性质将折线路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”分析求解：第一步，先任选AB上一点P，将P分别沿AC、BC作对称点，即可把PK、PT转化为对应对称点到K、T的等长线段，此时总路程就转化为两个对称点之间的线段长度；第二步，分析该线段长度的影响因素，由对称性可得△P'CP''是顶角固定为2∠ACB的等腰三角形，其底边长度由腰长CP决定，腰长越小底边越短；第三步，根据“点到直线的线段中垂线段最短”，即可找到CP最短时P的位置。
【解析】
1. 在AB上任取一点P，分别作点P关于AC的对称点$P'$、关于BC的对称点$P''$，连接$CP、CP'、CP''、P'P''$，$P'P''$交AC于点K，交BC于点T。
2. 由轴对称性质可得：$CP' = CP = CP''$，$∠P'CA = ∠PCA$，$∠P''CB = ∠PCB$，$PK = P'K$，$PT = P''T$。
3. 因此总路程$PK+KT+PT = P'K+KT+P''T$，当$P'、K、T、P''$四点共线时，这个和等于$P'P''$，根据两点之间线段最短，此时该点P对应的总路程最小。
4. 计算可得$∠ P'CP''=∠ P'CA+∠ PCA+∠ PCB+∠ P''CB=2(∠ PCA+∠ PCB)=2∠ ACB$，是固定值，因此$△ P'CP''$是顶角固定的等腰三角形，底边$P'P''$的长度随腰长$CP$的减小而减小。
5. 要让$P'P''$最短，就要让$CP$最短，根据点到直线的垂线段最短，过C作AB的垂线，垂足就是满足条件的出发点P，此时沿$P\to K\to T\to P$的路线奔跑总路程最短。
【答案】
小羊应从过点C作AB的垂线的垂足P点出发，沿路线$P\to K\to T\to P$奔跑，所跑总路程最短。
如图①,在AB上取一点P.作点P关于AC的对称点P',关于BC的对称点P'',连接CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交AC于点K,交BC于点T，
由对称性可知,$CP' = CP = CP'',∠P'CA = ∠PCA, ∠P''CB = ∠PCB, PK = P'K,PT = P''T$,
$\therefore PK+KT+PT=P'K+KT+P''T$.
$\because P',K,T,P''$共线，
$\therefore$从点P出发,此时 $PK + KT + PT=P'P''$最小.
$\because ∠P'CA = ∠PCA, ∠P''CB =∠PCB$，
$\therefore ∠P'CA + ∠P''CB = ∠PCA +∠PCB=∠ACB$，
$\therefore ∠P'CP''=2∠ACB$，
$\therefore △P'CP''$是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边$P'P''$最小,即当CP最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②，
$\therefore$过点C作AB的垂线,垂足P即为小羊出发的点,此时沿路线$P\to K\to T\to P$奔跑,所跑总路程最短.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，垂线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，核心是通过轴对称的性质将折线路径转化为直线路径，结合等腰三角形性质和垂线段最短的知识求解，考查了转化思想的应用，需要熟练掌握轴对称的性质和最短路径的常用分析方法。
【难度系数】
0.5
要解决这个最短路径问题，我们可以利用轴对称性质将折线路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”分析求解：第一步，先任选AB上一点P，将P分别沿AC、BC作对称点，即可把PK、PT转化为对应对称点到K、T的等长线段，此时总路程就转化为两个对称点之间的线段长度；第二步，分析该线段长度的影响因素，由对称性可得△P'CP''是顶角固定为2∠ACB的等腰三角形，其底边长度由腰长CP决定，腰长越小底边越短；第三步，根据“点到直线的线段中垂线段最短”，即可找到CP最短时P的位置。
【解析】
1. 在AB上任取一点P，分别作点P关于AC的对称点$P'$、关于BC的对称点$P''$，连接$CP、CP'、CP''、P'P''$，$P'P''$交AC于点K，交BC于点T。
2. 由轴对称性质可得：$CP' = CP = CP''$，$∠P'CA = ∠PCA$，$∠P''CB = ∠PCB$，$PK = P'K$，$PT = P''T$。
3. 因此总路程$PK+KT+PT = P'K+KT+P''T$，当$P'、K、T、P''$四点共线时，这个和等于$P'P''$，根据两点之间线段最短，此时该点P对应的总路程最小。
4. 计算可得$∠ P'CP''=∠ P'CA+∠ PCA+∠ PCB+∠ P''CB=2(∠ PCA+∠ PCB)=2∠ ACB$，是固定值，因此$△ P'CP''$是顶角固定的等腰三角形，底边$P'P''$的长度随腰长$CP$的减小而减小。
5. 要让$P'P''$最短，就要让$CP$最短，根据点到直线的垂线段最短，过C作AB的垂线，垂足就是满足条件的出发点P，此时沿$P\to K\to T\to P$的路线奔跑总路程最短。
【答案】
小羊应从过点C作AB的垂线的垂足P点出发，沿路线$P\to K\to T\to P$奔跑，所跑总路程最短。
如图①,在AB上取一点P.作点P关于AC的对称点P',关于BC的对称点P'',连接CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交AC于点K,交BC于点T，
由对称性可知,$CP' = CP = CP'',∠P'CA = ∠PCA, ∠P''CB = ∠PCB, PK = P'K,PT = P''T$,
$\therefore PK+KT+PT=P'K+KT+P''T$.
$\because P',K,T,P''$共线，
$\therefore$从点P出发,此时 $PK + KT + PT=P'P''$最小.
$\because ∠P'CA = ∠PCA, ∠P''CB =∠PCB$，
$\therefore ∠P'CA + ∠P''CB = ∠PCA +∠PCB=∠ACB$，
$\therefore ∠P'CP''=2∠ACB$，
$\therefore △P'CP''$是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边$P'P''$最小,即当CP最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②，
$\therefore$过点C作AB的垂线,垂足P即为小羊出发的点,此时沿路线$P\to K\to T\to P$奔跑,所跑总路程最短.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，垂线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，核心是通过轴对称的性质将折线路径转化为直线路径，结合等腰三角形性质和垂线段最短的知识求解，考查了转化思想的应用，需要熟练掌握轴对称的性质和最短路径的常用分析方法。
【难度系数】
0.5
