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典例1 如图，某大型农场拟在公路$l$旁修建一个农产品储藏加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地$A$，$B$的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益。请你在图中标明加工厂所在的位置$C$，使$A$，$B$两地到储藏加工厂的路程之和最短。（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
答案
解：
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点C，保留对称点的作图痕迹、线段A'B的连线痕迹，标注交点C即可。
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点C，保留对称点的作图痕迹、线段A'B的连线痕迹，标注交点C即可。
解析
【分析】
要解决在直线$l$上找一点$C$使$AC+BC$最短的问题，首先回忆最短路径相关原理：两点之间线段最短。由于$A$、$B$两点在直线$l$的同侧，无法直接通过连接$AB$得到与$l$的交点使距离和最小，因此可以利用轴对称的性质，将其中一个点对称到直线$l$的另一侧，把$AC$转化为与它相等的线段：作$A$关于$l$的对称点$A'$，则$AC=A'C$，此时$AC+BC$就转化为$A'C+BC$。要使$A'C+BC$最短，根据两点之间线段最短，只需让$A'$、$C$、$B$三点共线，即线段$A'B$与直线$l$的交点就是所求的点$C$。
【解析】
第一步：作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，保留作对称点的作图痕迹；
第二步：连接$A'B$，保留连线痕迹，线段$A'B$与直线$l$的交点即为所求的加工厂位置$C$，标注点$C$即可。
【答案】
作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的点$C$，保留对称点的作图痕迹、线段$A'B$的连线痕迹，标注交点$C$即可。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 轴对称的性质
3. 最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，核心解题思路是通过轴对称将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的距离和问题，再利用线段最短的原理求解，解题时要注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要解决在直线$l$上找一点$C$使$AC+BC$最短的问题，首先回忆最短路径相关原理：两点之间线段最短。由于$A$、$B$两点在直线$l$的同侧，无法直接通过连接$AB$得到与$l$的交点使距离和最小，因此可以利用轴对称的性质，将其中一个点对称到直线$l$的另一侧，把$AC$转化为与它相等的线段：作$A$关于$l$的对称点$A'$，则$AC=A'C$，此时$AC+BC$就转化为$A'C+BC$。要使$A'C+BC$最短，根据两点之间线段最短，只需让$A'$、$C$、$B$三点共线，即线段$A'B$与直线$l$的交点就是所求的点$C$。
【解析】
第一步：作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，保留作对称点的作图痕迹；
第二步：连接$A'B$，保留连线痕迹，线段$A'B$与直线$l$的交点即为所求的加工厂位置$C$，标注点$C$即可。
【答案】
作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的点$C$，保留对称点的作图痕迹、线段$A'B$的连线痕迹，标注交点$C$即可。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 轴对称的性质
3. 最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，核心解题思路是通过轴对称将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的距离和问题，再利用线段最短的原理求解，解题时要注意按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，在正方形网格中有$M$，$N$两点，在直线$l$上找一点$P$使$PM+PN$最短，则点$P$应选在(
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
2. 利用平移解决最短路径问题
C
).A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
2. 利用平移解决最短路径问题
答案
1. C
解析
【分析】
本题属于直线同侧两点，求直线上一点到两点距离之和最短的经典最短路径问题。解题思路如下：①回忆相关结论：直线同侧的两个点，要在直线上找一点使得到两点的距离和最短，需要利用轴对称的性质，将同侧点转化为异侧点；②原理：轴对称可以保证对应点到直线上任意点的距离相等，此时距离和就转化为异侧两点到直线上某点的距离和，根据“两点之间线段最短”，连接两个异侧点，线段与直线的交点就是所求的点。
【解析】
我们通过轴对称转化求解：
1. 作点M关于直线$l$的对称点$M'$，根据轴对称的性质，对直线$l$上任意一点$P$，都有$PM=PM'$，因此$PM+PN=PM'+PN$；
2. 要让$PM+PN$最短，即要让$PM'+PN$最短，根据两点之间线段最短，当点$P$落在线段$M'N$上时，$PM'+PN$的长度最小，等于线段$M'N$的长度；
3. 连接$M'N$，观察可得线段$M'N$与直线$l$的交点为$C$点，因此点$P$应选在$C$点。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，核心解题方法是利用轴对称将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段最短问题，掌握该转化思路即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
本题属于直线同侧两点，求直线上一点到两点距离之和最短的经典最短路径问题。解题思路如下：①回忆相关结论：直线同侧的两个点，要在直线上找一点使得到两点的距离和最短，需要利用轴对称的性质，将同侧点转化为异侧点；②原理：轴对称可以保证对应点到直线上任意点的距离相等，此时距离和就转化为异侧两点到直线上某点的距离和，根据“两点之间线段最短”，连接两个异侧点，线段与直线的交点就是所求的点。
【解析】
我们通过轴对称转化求解：
1. 作点M关于直线$l$的对称点$M'$，根据轴对称的性质，对直线$l$上任意一点$P$，都有$PM=PM'$，因此$PM+PN=PM'+PN$；
2. 要让$PM+PN$最短，即要让$PM'+PN$最短，根据两点之间线段最短，当点$P$落在线段$M'N$上时，$PM'+PN$的长度最小，等于线段$M'N$的长度；
3. 连接$M'N$，观察可得线段$M'N$与直线$l$的交点为$C$点，因此点$P$应选在$C$点。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，核心解题方法是利用轴对称将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段最短问题，掌握该转化思路即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7
典例1
解 点C的位置如图.
一座桥(桥垂直于河的两岸),应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?
解 点C的位置如图.
一座桥(桥垂直于河的两岸),应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?
答案
解：
作法：
1. 将点A沿垂直于河岸的方向，向河的对岸平移，平移的距离等于河的宽度，得到点A'；
2. 连接A'B，交靠近点B的河岸GH于点N；
3. 过点N作MN垂直于河岸GH，交另一河岸EF于点M，则MN即为所求的桥的位置。
证明：
由平移的性质可得：$AM = A'N$，且桥MN的长度恒等于河的宽度，是定值。
因此从A地到B地的总路程为 $AM + MN + BN = A'N + BN + MN$。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，$A'N + BN$的长度取得最小值，等于线段A'B的长度，此时总路程最短。
综上，桥建在MN位置时，从A地到B地的路程最短。
作法：
1. 将点A沿垂直于河岸的方向，向河的对岸平移，平移的距离等于河的宽度，得到点A'；
2. 连接A'B，交靠近点B的河岸GH于点N；
3. 过点N作MN垂直于河岸GH，交另一河岸EF于点M，则MN即为所求的桥的位置。
证明：
由平移的性质可得：$AM = A'N$，且桥MN的长度恒等于河的宽度，是定值。
因此从A地到B地的总路程为 $AM + MN + BN = A'N + BN + MN$。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，$A'N + BN$的长度取得最小值，等于线段A'B的长度，此时总路程最短。
综上，桥建在MN位置时，从A地到B地的路程最短。
解析
【分析】
解决本题的核心是先分离定值部分：因为桥垂直于河岸，所以桥长固定等于河宽，因此从A到B的总路程=AM+MN+BN，其中MN为定值，只需让AM+BN的和最小即可。我们可以利用平移转化线段：将点A沿垂直河岸方向平移河宽的距离得到点A'，由平移性质可得AM=A'N，此时AM+BN就转化为A'N+BN，根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+BN的和最小，依此即可确定桥的位置。
【解析】
作法：
1. 将点A沿垂直于河岸的方向，向河的对岸平移，平移的距离等于河的宽度，得到点A'；
2. 连接A'B，交靠近点B的河岸GH于点N；
3. 过点N作MN垂直于河岸GH，交另一河岸EF于点M，则MN即为所求的桥的位置。
证明：
由平移的性质可得：$AM = A'N$，且桥MN的长度恒等于河的宽度，是定值。
因此从A地到B地的总路程为 $AM + MN + BN = A'N + BN + MN$。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，$A'N + BN$的长度取得最小值，等于线段A'B的长度，此时总路程最短。
【答案】
按上述作法得到的MN即为所求桥的位置，此时从A地到B地的路程最短。
【知识点】
平移的性质、两点之间线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，解题的关键是通过平移将固定长度的桥长从总路程中分离，把分散的两条待求最短的线段转化为可共线的线段，结合两点之间线段最短的原理求解，掌握平移转化的思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先分离定值部分：因为桥垂直于河岸，所以桥长固定等于河宽，因此从A到B的总路程=AM+MN+BN，其中MN为定值，只需让AM+BN的和最小即可。我们可以利用平移转化线段：将点A沿垂直河岸方向平移河宽的距离得到点A'，由平移性质可得AM=A'N，此时AM+BN就转化为A'N+BN，根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+BN的和最小，依此即可确定桥的位置。
【解析】
作法：
1. 将点A沿垂直于河岸的方向，向河的对岸平移，平移的距离等于河的宽度，得到点A'；
2. 连接A'B，交靠近点B的河岸GH于点N；
3. 过点N作MN垂直于河岸GH，交另一河岸EF于点M，则MN即为所求的桥的位置。
证明：
由平移的性质可得：$AM = A'N$，且桥MN的长度恒等于河的宽度，是定值。
因此从A地到B地的总路程为 $AM + MN + BN = A'N + BN + MN$。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，$A'N + BN$的长度取得最小值，等于线段A'B的长度，此时总路程最短。
【答案】
按上述作法得到的MN即为所求桥的位置，此时从A地到B地的路程最短。
【知识点】
平移的性质、两点之间线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，解题的关键是通过平移将固定长度的桥长从总路程中分离，把分散的两条待求最短的线段转化为可共线的线段，结合两点之间线段最短的原理求解，掌握平移转化的思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
举一反三 如图,直线 $ l_1, l_2 $ 表示一条河的两岸,且 $ l_1 // l_2 $. 现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直),使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短,应该选择路线(
A.$ PF \to FQ $
B.$ PE \to EQ $
C.$ PE \to EF \to FQ $
D.$ PE \to EF \to FQ $
典例2
解 如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽,连接BC,与河岸GH相交于点M,过点M作 $ NM ⊥ EF $ 于点N,则MN为所建桥的位置.
C
).A.$ PF \to FQ $
B.$ PE \to EQ $
C.$ PE \to EF \to FQ $
D.$ PE \to EF \to FQ $
典例2
解 如图,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽,连接BC,与河岸GH相交于点M,过点M作 $ NM ⊥ EF $ 于点N,则MN为所建桥的位置.
答案
2. C
解析
【分析】
这是造桥选址类最短路径问题，解题思路如下：①首先明确约束条件：桥必须与河岸垂直，因此桥的长度是固定值，等于河宽，总路程=P到桥北岸端点的长度+桥长+桥南岸端点到Q的长度，要总路程最短，只需P到北岸端点、Q到南岸端点的两段线段和最小；②采用平移法转化问题：将其中一个村庄沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，就可以把两段分散的线段转化为连接两点的路径，利用“两点之间线段最短”即可找到最短路径对应的桥的位置。
【解析】
解：
∵桥与河的两岸相互垂直，且$l_1// l_2$，
∴无论桥建在何处，桥的长度恒等于河宽，是固定值。
要使从P经桥到Q的总路程最短，只需使P到桥在$l_1$上的端点、Q到桥在$l_2$上的端点的线段和最短。
将点Q沿垂直于$l_2$向上的方向平移，平移距离等于河宽，得到点$Q'$，由平移性质可知$QQ'// EF$且$QQ'=EF$，因此四边形$QQ'EF$是平行四边形，可得$FQ=EQ'$。
此时$PE+FQ=PE+EQ'$，根据“两点之间线段最短”，当P、E、$Q'$三点共线时，$PE+EQ'$的值最小，即$PE+FQ$的和最小。
过E作$EF⊥ l_2$，交$l_2$于点F，因此最短路线为$PE\to EF\to FQ$。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的最短路径应用题型，核心是通过平移消除固定长度的桥对路径和的影响，将陌生问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，解题时要注意平移的方向与河岸垂直，平移距离等于河宽。
【难度系数】
0.7
这是造桥选址类最短路径问题，解题思路如下：①首先明确约束条件：桥必须与河岸垂直，因此桥的长度是固定值，等于河宽，总路程=P到桥北岸端点的长度+桥长+桥南岸端点到Q的长度，要总路程最短，只需P到北岸端点、Q到南岸端点的两段线段和最小；②采用平移法转化问题：将其中一个村庄沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，就可以把两段分散的线段转化为连接两点的路径，利用“两点之间线段最短”即可找到最短路径对应的桥的位置。
【解析】
解：
∵桥与河的两岸相互垂直，且$l_1// l_2$，
∴无论桥建在何处，桥的长度恒等于河宽，是固定值。
要使从P经桥到Q的总路程最短，只需使P到桥在$l_1$上的端点、Q到桥在$l_2$上的端点的线段和最短。
将点Q沿垂直于$l_2$向上的方向平移，平移距离等于河宽，得到点$Q'$，由平移性质可知$QQ'// EF$且$QQ'=EF$，因此四边形$QQ'EF$是平行四边形，可得$FQ=EQ'$。
此时$PE+FQ=PE+EQ'$，根据“两点之间线段最短”，当P、E、$Q'$三点共线时，$PE+EQ'$的值最小，即$PE+FQ$的和最小。
过E作$EF⊥ l_2$，交$l_2$于点F，因此最短路线为$PE\to EF\to FQ$。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的最短路径应用题型，核心是通过平移消除固定长度的桥对路径和的影响，将陌生问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，解题时要注意平移的方向与河岸垂直，平移距离等于河宽。
【难度系数】
0.7
