1. 计算$(ab^2)^3$的结果是（）.

A.$3ab^2$
B.$ab^6$
C.$a^3b^5$
D.$a^3b^6$

1. D

【分析】
拿到该题首先识别出算式是积的乘方形式，可按照幂的运算规则逐步推导：第一步先运用积的乘方法则，将积中的每个因式分别乘3次方，拆分为$a^3$和$(b^2)^3$两部分；第二步再运用幂的乘方法则计算$(b^2)^3$，底数不变、指数相乘得到$b^6$；最后将两部分结果合并，对照选项选出答案即可。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(ab^2)^3=a^3·(b^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
因此$(ab^2)^3=a^3b^6$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，解题时要注意避免混淆指数运算规则（如误将指数相加），熟记相关法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 如果一个正方体的棱长是$(1-2b)^3$，那么这个正方体的体积是().

A.$(1-2b)^6$
B.$(1-2b)^9$
C.$(1-2b)^{12}$
D.$6(1-2b)^6$

2. B

【分析】
解题时首先回忆正方体体积的计算公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长，也就是棱长的三次方。题目已经给出棱长为$(1-2b)^3$，我们只需将棱长代入体积公式，再运用幂的乘方的运算法则计算即可，要注意幂的乘方的运算规则是底数不变，指数相乘，不要和同底数幂的乘法规则混淆。
【解析】
解：正方体的体积公式为$V=a^3$（$a$表示正方体的棱长）。
已知该正方体的棱长$a=(1-2b)^3$，代入体积公式可得：
$V=[(1-2b)^3]^3$
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$均为正整数），底数$1-2b$保持不变，指数相乘：$3×3=9$，因此：
$V=(1-2b)^9$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算，幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，将几何体积计算和整式幂运算结合考查，解题核心是熟记相关公式和运算法则，运算时注意区分幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.9

3.已知$m^2=2$，则$m^6=$.

3. 8

【分析】
首先观察已知条件和所求式子的指数关系，已知$m^2=2$，所求的$m^6$的指数6可以拆为$2×3$，结合幂的乘方公式的逆用，就能把$m^6$转化为用$m^2$表示的形式，再代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算性质：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$均为正整数），逆用该性质可得：
$m^6=m^{2×3}=(m^2)^3$
将$m^2=2$代入上式计算：
$(m^2)^3=2^3=8$
【答案】
8
【知识点】
幂的乘方运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方公式的逆用，只要熟练掌握幂的运算规则，能把所求幂转化为已知幂的乘方形式，即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$a^6 + (a^3)^2$;
(2)$x^2 · [(x^3)^2]^4$;
(3)$(-3a^2b^3c)^3$;
(4)$-(-2x^3y)^4$.

4. 解 (1) 原式$=a^6+a^6=2a^6$.
(2) 原式$=x^2 · (x^6)^4=x^2 · x^{24}=x^{26}$.
(3) 原式$=(-3)^3 · (a^2)^3 · (b^3)^3 · c^3=-27a^6b^9c^3$.
(4) 原式$=-(-2)^4 · (x^3)^4 · y^4=-16x^{12}y^4$.

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需严格遵循幂的运算规则，按顺序计算：
(1) 先利用幂的乘方法则计算$(a^3)^2$，再合并同类项即可；
(2) 运算顺序从内到外，先算最内层的幂的乘方$(x^3)^2$，再算外层的幂的乘方，最后根据同底数幂的乘法法则计算与$x^2$的乘积；
(3) 利用积的乘方法则，将括号内的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，注意负系数的乘方符号；
(4) 先计算括号内的积的乘方，括号外的负号不参与乘方运算，最后处理符号即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算乘方项，再合并同类项：
原式$=a^6+a^{3×2}=a^6+a^6=2a^6$
(2) 从内向外依次计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算：
原式$=x^2 · (x^{3×2})^4=x^2 · (x^6)^4=x^2 · x^{6×4}=x^2 · x^{24}=x^{2+24}=x^{26}$
(3) 根据积的乘方法则（各因式分别乘方，所得幂相乘）计算：
原式$=(-3)^3 · (a^2)^3 · (b^3)^3 · c^3=-27 · a^{2×3} · b^{3×3} · c^3=-27a^6b^9c^3$
(4) 先计算括号内的积的乘方，再处理括号外的负号：
原式$=-[(-2)^4 · (x^3)^4 · y^4]=-(16 · x^{3×4} · y^4)=-16x^{12}y^4$
【答案】
(1)$2a^6$；(2)$x^{26}$；(3)$-27a^6b^9c^3$；(4)$-16x^{12}y^4$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，注意区分不同运算中指数的计算方式，同时要格外注意运算顺序和负号的处理，避免因粗心导致符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.85

5. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1)$ x^3 = 2^9 $；
(2)$ 4 × 2^x × 16^x = 2^{12} $。

5. 解 (1)$\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3$,
$\therefore x=8$.
(2)$\because 4×2^x×16^x=2^2×2^x×2^{4x}=2^{5x+2}=2^{12}$,
$\therefore 5x+2=12$,
解得 $x=2$.

【分析】
(1) 求解$x^3=2^9$时，我们可以利用幂的乘方逆运算，把等号右侧的幂转化为某个数的三次方形式，再根据“若两个数的三次方相等，则这两个数相等”的性质直接得到x的值。
(2) 求解$4 × 2^x × 16^x = 2^{12}$时，首先要把等式左侧所有项的底数统一为2：将4改写为$2^2$，$16^x$利用幂的乘方法则改写为$2^{4x}$，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的法则合并左侧的项，最后利用“底数相同的两个幂相等，则指数相等”的性质列一元一次方程，解方程即可求出x。
【解析】
(1) 对等式右侧变形可得：
$\because x^3=2^9=(2^3)^3=8^3$
两个数的三次方相等则底数相等，$\therefore x=8$
(2) 先统一等式左侧各项的底数为2，再合并计算：
$\because 4×2^x×16^x=2^2×2^x×(2^4)^x=2^2×2^x×2^{4x}=2^{5x+2}=2^{12}$
底数相同的幂相等则指数相等，$\therefore 5x+2=12$
移项计算得$5x=10$，解得$x=2$
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题是幂运算的基础常规题型，重点考察幂的运算法则的灵活应用，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再利用幂的性质建立等式求解，有助于夯实幂运算的基础。
【难度系数】
0.8

6. 已知$x+y=a$，求$(x+y)^3(2x+2y)^3 · (3x+3y)^3$的值.

6. 解 原式$=(x+y)^3[2(x+y)]^3 · [3(x+y)]^3=a^3 · 2^3a^3 · 3^3a^3=216a^9$.

【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现各因式均含有$x+y$的整体项，因此可先提取每个括号内的公因式，将所有因式转化为含$(x+y)$的形式，再将已知条件$x+y=a$整体代入，最后结合幂的相关运算法则计算出结果即可。
【解析】
先对原式各括号提取公因式：
原式$=(x+y)^3·[2(x+y)]^3·[3(x+y)]^3$
将$x+y=a$代入上式，结合积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$展开得：
$=a^3· 2^3a^3· 3^3a^3$
分别计算常数项的幂和同底数幂的乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）：
$=8a^3· 27a^3· a^3$
$=(8×27)· a^{3+3+3}$
$=216a^9$
【答案】
$216a^9$
【知识点】
整体代入求值，积的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于代数式化简求值的基础题型，解题核心是运用整体思想将已知条件整体代入，熟练掌握幂的各类运算法则是准确计算的前提。
【难度系数】
0.8

7. 数学课上，老师给同学们出了这样一道题目：比较 $3^{55}, 4^{44}, 5^{33}$ 的大小. 甲同学的回答：因为 $5＞4＞3$，所以 $5^{33}＞4^{44}＞3^{55}$. 乙同学的回答：因为 $55＞44＞33$，所以 $3^{55}＞4^{44}＞5^{33}$. 你认同哪一位同学的算法？若都不认同，你又是如何解答的呢？

7. 解 都不认同.
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}, 4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}, 5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$,
$\because 256＞243＞125$,
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$,
$\therefore 4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$.

【分析】
要比较底数和指数均不相同的幂的大小，不能单独只比较底数或只比较指数，甲乙两位同学的解法都犯了这个错误。观察到三个幂的指数55、44、33均为11的倍数，我们可以逆用幂的乘方公式，将三个幂都转化为指数为11的同指数幂，此时根据“指数相同的正数幂，底数越大，幂越大”的性质，只需比较转化后的三个幂的底数大小，即可得出原数的大小关系。
【解析】
都不认同两位同学的算法，正确解法如下：
首先逆用幂的乘方公式对三个数变形：
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$，
$\because 256＞243＞125$，
$\therefore 256^{11}＞243^{11}＞125^{11}$，
$\therefore 4^{44}＞3^{55}＞5^{33}$。
【答案】
都不认同甲、乙同学的算法，正确大小关系为$\boldsymbol{4^{44}＞3^{55}＞5^{33}}$。
【知识点】
幂的乘方逆运算，同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算的常见题型，解题关键是灵活运用幂的乘方公式将不同指数的幂转化为同指数幂，切忌仅通过单独比较底数或指数直接判断幂的大小，能很好地考查对幂的运算公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7