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一、选择题
1. 一元二次方程$x^2 -5x +4=0$根的判别式的值是(
A.-9
B.9
C.20
D.-20
1. 一元二次方程$x^2 -5x +4=0$根的判别式的值是(
B
)A.-9
B.9
C.20
D.-20
答案
1. B
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先回忆根的判别式的计算公式：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给出的方程中准确找出对应系数$a$、$b$、$c$的值，注意系数的符号，再将系数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 -5x +4=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=4$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×4 = 25 - 16 = 9$。
所以本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的关键是正确识别一元二次方程的各项系数，计算时注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.9
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先回忆根的判别式的计算公式：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时第一步先从给出的方程中准确找出对应系数$a$、$b$、$c$的值，注意系数的符号，再将系数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 -5x +4=0$中，$a=1$，$b=-5$，$c=4$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×4 = 25 - 16 = 9$。
所以本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式公式的应用，解题的关键是正确识别一元二次方程的各项系数，计算时注意不要弄错系数的符号。
【难度系数】
0.9
2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是(
A.$x^2 - 3x - 1 = 0$
B.$2x^2 + x - 1 = 0$
C.$x^2 + 4x + 5 = 0$
D.$-x^2 + 2x - 1 = 0$
C
)A.$x^2 - 3x - 1 = 0$
B.$2x^2 + x - 1 = 0$
C.$x^2 + 4x + 5 = 0$
D.$-x^2 + 2x - 1 = 0$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，需利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值来判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。我们只需分别找出每个选项中方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入公式计算$\Delta$，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 - 3x - 1 = 0$中，$a=1,b=-3,c=-1$，$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项B：方程$2x^2 + x - 1 = 0$中，$a=2,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×2×(-1)=1+8=9＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项C：方程$x^2 + 4x + 5 = 0$中，$a=1,b=4,c=5$，$\Delta=4^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，没有实数根，符合题意；
选项D：方程$-x^2 + 2x - 1 = 0$中，$a=-1,b=2,c=-1$，$\Delta=2^2-4×(-1)×(-1)=4-4=0$，有两个相等的实数根，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题时要注意准确提取方程中$a、b、c$的取值，尤其不要遗漏系数的符号，熟记判别式不同取值对应的根的情况是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，需利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值来判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。我们只需分别找出每个选项中方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入公式计算$\Delta$，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
选项A：方程$x^2 - 3x - 1 = 0$中，$a=1,b=-3,c=-1$，$\Delta=(-3)^2-4×1×(-1)=9+4=13＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项B：方程$2x^2 + x - 1 = 0$中，$a=2,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×2×(-1)=1+8=9＞0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
选项C：方程$x^2 + 4x + 5 = 0$中，$a=1,b=4,c=5$，$\Delta=4^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，没有实数根，符合题意；
选项D：方程$-x^2 + 2x - 1 = 0$中，$a=-1,b=2,c=-1$，$\Delta=2^2-4×(-1)×(-1)=4-4=0$，有两个相等的实数根，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题时要注意准确提取方程中$a、b、c$的取值，尤其不要遗漏系数的符号，熟记判别式不同取值对应的根的情况是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 若关于x的方程$x^2 - x + a = 0$有实数根，则a的值可以是(
A.2
B.1
C.0.5
D.0.25
D
)A.2
B.1
C.0.5
D.0.25
答案
3. D
解析
【分析】
首先看到题目给出一元二次方程有实数根，应联想到用一元二次方程根的判别式求解。解题思路分为三步：第一步，确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，注意本题中常数项是参数a，不要和判别式公式里的二次项系数符号混淆；第二步，根据“一元二次方程有实数根则判别式Δ≥0”的规则，代入系数列出不等式；第三步，解不等式得到a的取值范围，对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x + a = 0$，其二次项系数为1，一次项系数$b=-1$，常数项为$a$。
∵方程有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入系数得：$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × a = 1 - 4a ≥ 0$，
解不等式得：$a ≤ 0.25$。
观察选项，只有D选项的0.25满足$a ≤ 0.25$的要求，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次不等式解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意区分题目参数和判别式公式的系数符号，避免混淆出错，熟练掌握判别式的应用规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
首先看到题目给出一元二次方程有实数根，应联想到用一元二次方程根的判别式求解。解题思路分为三步：第一步，确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，注意本题中常数项是参数a，不要和判别式公式里的二次项系数符号混淆；第二步，根据“一元二次方程有实数根则判别式Δ≥0”的规则，代入系数列出不等式；第三步，解不等式得到a的取值范围，对比选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x + a = 0$，其二次项系数为1，一次项系数$b=-1$，常数项为$a$。
∵方程有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入系数得：$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × a = 1 - 4a ≥ 0$，
解不等式得：$a ≤ 0.25$。
观察选项，只有D选项的0.25满足$a ≤ 0.25$的要求，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次不等式解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意区分题目参数和判别式公式的系数符号，避免混淆出错，熟练掌握判别式的应用规则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^2 -2kx +k -3=0$有实数根，则k的取值范围为(
A.$k≥\frac{3}{4}$
B.$k≥\frac{3}{4}$且$k≠1$
C.$k≥0$
D.$k≥0$且$k≠1$
B
)A.$k≥\frac{3}{4}$
B.$k≥\frac{3}{4}$且$k≠1$
C.$k≥0$
D.$k≥0$且$k≠1$
答案
4. B
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个条件分析：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。先分别根据两个条件列出关于k的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2 -2kx +k -3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k-1$，$b=-2k$，$c=k-3$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4×(k-1)×(k-3) ≥ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 4k + 3) ≥ 0$
$4k^2 - 4k^2 + 16k - 12 ≥ 0$
化简得$16k - 12 ≥ 0$
解得$k ≥ \frac{3}{4}$
结合$k≠1$的条件，可得k的取值范围为$k≥\frac{3}{4}$且$k≠1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，易错点是忽略“一元二次方程”的前提，遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时需注意先确认方程的类型，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个条件分析：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。先分别根据两个条件列出关于k的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2 -2kx +k -3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k-1$，$b=-2k$，$c=k-3$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4×(k-1)×(k-3) ≥ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 4k + 3) ≥ 0$
$4k^2 - 4k^2 + 16k - 12 ≥ 0$
化简得$16k - 12 ≥ 0$
解得$k ≥ \frac{3}{4}$
结合$k≠1$的条件，可得k的取值范围为$k≥\frac{3}{4}$且$k≠1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题型，易错点是忽略“一元二次方程”的前提，遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时需注意先确认方程的类型，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于x的一元二次方程$x^2+2x-a=0$有两个相等的实数根,则a的值是(
A.4
B.-4
C.1
D.-1
D
)A.4
B.-4
C.1
D.-1
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个相等实数根的等价条件是根的判别式$\Delta=0$；其次确定给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项；最后将各系数代入判别式公式列方程求解，即可得到a的值，代入计算时要注意常数项的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），根的判别式为$\Delta=B^2-4AC$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
题中方程为$x^2+2x-a=0$，对应可得$A=1$，$B=2$，$C=-a$。
已知方程有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$，代入得：
$2^2 - 4×1×(-a)=0$
化简计算：
$4 + 4a = 0$
移项得：
$4a=-4$
解得：
$a=-1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，核心是熟记判别式与方程根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个相等实数根的等价条件是根的判别式$\Delta=0$；其次确定给定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项；最后将各系数代入判别式公式列方程求解，即可得到a的值，代入计算时要注意常数项的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），根的判别式为$\Delta=B^2-4AC$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
题中方程为$x^2+2x-a=0$，对应可得$A=1$，$B=2$，$C=-a$。
已知方程有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$，代入得：
$2^2 - 4×1×(-a)=0$
化简计算：
$4 + 4a = 0$
移项得：
$4a=-4$
解得：
$a=-1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，核心是熟记判别式与方程根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -x -3=0$中，$\Delta=$
1. 一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -x -3=0$中，$\Delta=$
7
，可得$x_1=$1+√7
，$x_2=$1-√7
。答案
1. 7,1+√7,1-√7
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，将题目给出的方程和一般形式对应，准确找出$a、b、c$的取值，注意不要遗漏系数的正负号；其次代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算$\Delta$的值；最后因为$\Delta＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简，即可得到两个根的值。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -x -3=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得$a=\frac{1}{2}$，$b=-1$，$c=-3$。
1. 计算判别式$\Delta$：
根据公式$\Delta = b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-1)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-3) = 1 + 6 = 7$
2. 计算方程的根：
因为$\Delta=7＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
代入$a、b、\Delta$的值得$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{7}}{2×\frac{1}{2}}=1\pm\sqrt{7}$，因此$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$。
【答案】
7，$1+\sqrt{7}$，$1-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对一元二次方程判别式、求根公式的掌握程度，解题的易错点是提取系数时忽略符号，计算时要注意负号的运算规则，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：首先回忆一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，将题目给出的方程和一般形式对应，准确找出$a、b、c$的取值，注意不要遗漏系数的正负号；其次代入根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算$\Delta$的值；最后因为$\Delta＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$化简，即可得到两个根的值。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -x -3=0$，对照一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，可得$a=\frac{1}{2}$，$b=-1$，$c=-3$。
1. 计算判别式$\Delta$：
根据公式$\Delta = b^2-4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-1)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-3) = 1 + 6 = 7$
2. 计算方程的根：
因为$\Delta=7＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
代入$a、b、\Delta$的值得$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{7}}{2×\frac{1}{2}}=1\pm\sqrt{7}$，因此$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$。
【答案】
7，$1+\sqrt{7}$，$1-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对一元二次方程判别式、求根公式的掌握程度，解题的易错点是提取系数时忽略符号，计算时要注意负号的运算规则，避免低级错误。
【难度系数】
0.8
2. 若关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根，且k为正整数，则k的值为
1或2
。答案
2. 1或2
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，当方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$；第二步，确定题中方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式得到关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围；第三步，结合k为正整数的限制条件，在取值范围内筛选出符合要求的正整数，即为k的取值。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入$a=1$，$b=-3$，$c=k$，得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k = 9 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 2.25$，
又
∵k为正整数，
∴符合条件的k值为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式的整数解
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题时需先根据根的情况得到参数的取值范围，再结合题目给出的限制条件筛选最终结果，注意不要遗漏符合要求的解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，当方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$；第二步，确定题中方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式得到关于k的不等式，解不等式得到k的取值范围；第三步，结合k为正整数的限制条件，在取值范围内筛选出符合要求的正整数，即为k的取值。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入$a=1$，$b=-3$，$c=k$，得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1× k = 9 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 2.25$，
又
∵k为正整数，
∴符合条件的k值为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 不等式的整数解
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题时需先根据根的情况得到参数的取值范围，再结合题目给出的限制条件筛选最终结果，注意不要遗漏符合要求的解。
【难度系数】
0.8
3. 关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+4x+1=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
k＜5且k≠1
.答案
3. k＜5且k≠1
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合两个限定条件推导k的取值范围：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一次方程，不符合题意；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再求解不等式，最后取两个解集的公共部分就是k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+4x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=k-1$，$b=4$，$c=1$
代入得：$\Delta = 4^2 - 4×(k-1)×1＞0$
计算得：$16 - 4(k-1) ＞ 0$
展开括号：$16 - 4k + 4 ＞ 0$
合并同类项：$20 - 4k ＞ 0$
移项化简得：$k ＜ 5$
结合两个条件，可得k的取值范围是$k＜5$且$k≠1$
【答案】
k＜5且k≠1
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于根的判别式的基础常考题，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免出现仅求出$k＜5$的漏解错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需结合两个限定条件推导k的取值范围：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就变成一次方程，不符合题意；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，再求解不等式，最后取两个解集的公共部分就是k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(k-1)x^2+4x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$k-1≠0$，解得$k≠1$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=k-1$，$b=4$，$c=1$
代入得：$\Delta = 4^2 - 4×(k-1)×1＞0$
计算得：$16 - 4(k-1) ＞ 0$
展开括号：$16 - 4k + 4 ＞ 0$
合并同类项：$20 - 4k ＞ 0$
移项化简得：$k ＜ 5$
结合两个条件，可得k的取值范围是$k＜5$且$k≠1$
【答案】
k＜5且k≠1
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于根的判别式的基础常考题，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免出现仅求出$k＜5$的漏解错误。
【难度系数】
0.7
4. 若关于x的方程$x^2 - mx + 3 = 0$有实数根，则m的值可能为
4(答案不唯一)
（任意给出一个符合条件的值即可）。答案
4. 4(答案不唯一)
解析
【分析】
要确定方程有实数根时m的取值，需利用一元二次方程根的判别式与根的对应关系解题：首先明确方程中二次项系数、一次项系数、常数项的值，再根据“方程有实数根则判别式大于等于0”列不等式，解不等式得到m的取值范围，最后在范围内任选一个符合条件的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。
在方程$x^2 - mx + 3 = 0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=3$，
因为方程有实数根，所以$\Delta=(-m)^2 - 4×1×3≥0$，
整理得$m^2≥12$，
取满足$m^2≥12$的值即可，例如$m=4$（$4^2=16≥12$，符合要求）。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，掌握判别式的取值与方程根的数量的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要确定方程有实数根时m的取值，需利用一元二次方程根的判别式与根的对应关系解题：首先明确方程中二次项系数、一次项系数、常数项的值，再根据“方程有实数根则判别式大于等于0”列不等式，解不等式得到m的取值范围，最后在范围内任选一个符合条件的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。
在方程$x^2 - mx + 3 = 0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=3$，
因为方程有实数根，所以$\Delta=(-m)^2 - 4×1×3≥0$，
整理得$m^2≥12$，
取满足$m^2≥12$的值即可，例如$m=4$（$4^2=16≥12$，符合要求）。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，掌握判别式的取值与方程根的数量的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 已知关于x的方程$x^2+2x+m-1=0$有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
1. 已知关于x的方程$x^2+2x+m-1=0$有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
答案
1. m＜2
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已知方程有两个不相等的实数根，因此只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+2x+m-1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=m-1$。
$\because$ 方程有两个不相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
代入系数得：
$2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
计算得：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
展开括号：
$4 -4m +4 ＞ 0$
合并同类项：
$8 -4m ＞ 0$
移项得：
$-4m ＞ -8$
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$m ＜ 2$
【答案】
$m＜2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确记忆一元二次方程根的不同情况对应的判别式符号，代入系数计算时注意不要出错，解不等式时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已知方程有两个不相等的实数根，因此只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+2x+m-1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=m-1$。
$\because$ 方程有两个不相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
代入系数得：
$2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
计算得：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
展开括号：
$4 -4m +4 ＞ 0$
合并同类项：
$8 -4m ＞ 0$
移项得：
$-4m ＞ -8$
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$m ＜ 2$
【答案】
$m＜2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确记忆一元二次方程根的不同情况对应的判别式符号，代入系数计算时注意不要出错，解不等式时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
