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【例1】某种商品一月份的销售量为100件，由于采取促销措施，销售量稳步增长，三月份的销售量为144件.
(1)求该商品一月至三月份销售量的月平均增长率；
(2)如果四月份该商品保持相同的增长率，求该商品四月份的销售量(结果保留整数).
方法技巧 变化率问题
(1)解此类问题所列的方程时，一般用平方根的意义法求解.
(2)增长(降低)率不能是负数，降低率要小于1.
(1)求该商品一月至三月份销售量的月平均增长率；
(2)如果四月份该商品保持相同的增长率，求该商品四月份的销售量(结果保留整数).
方法技巧 变化率问题
(1)解此类问题所列的方程时，一般用平方根的意义法求解.
(2)增长(降低)率不能是负数，降低率要小于1.
答案
(1) 设一月至三月份销售量的月平均增长率为x，根据题意，得$100(1+x)^2=144$，解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$(舍去)。答：一月至三月份销售量的月平均增长率为20%。
(2) $\because 144×(1+20\%)=172.8\approx173$(件)，$\therefore$ 该商品四月份的销售量约为173件。
(2) $\because 144×(1+20\%)=172.8\approx173$(件)，$\therefore$ 该商品四月份的销售量约为173件。
解析
【分析】
(1) 求解月平均增长率可利用增长率问题的通用数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+月平均增长率)^增长月数。本题中一月份销量是初始量100件，从一月到三月共经过2个月，三月份销量为144件，因此设月平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解即可，最后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的解。
(2) 求四月份销量时，因增长率不变，可利用“四月份销量=三月份销量×(1+月平均增长率)”计算，结果按要求保留整数。
【解析】
(1) 设该商品一月至三月份销售量的月平均增长率为x。
根据等量关系列方程得：
$100(1+x)^2=144$
方程两边同时除以100，得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-2.2$。
(2) 已知三月份销售量为144件，月平均增长率为20%，则四月份销售量为：
$144×(1+20\%)=172.8\approx173$（件）
【答案】
(1) 20%；
(2) 约173件
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；近似数的应用
【点评】
本题是平均变化率类的典型应用题，解题核心是准确梳理增长前后的量、增长次数之间的等量关系，列方程求解时要结合实际意义对解进行合理性筛选，最终结果按要求规范处理即可。
【难度系数】
0.8
(1) 求解月平均增长率可利用增长率问题的通用数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+月平均增长率)^增长月数。本题中一月份销量是初始量100件，从一月到三月共经过2个月，三月份销量为144件，因此设月平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解即可，最后结合增长率为正的实际意义舍去不符合要求的解。
(2) 求四月份销量时，因增长率不变，可利用“四月份销量=三月份销量×(1+月平均增长率)”计算，结果按要求保留整数。
【解析】
(1) 设该商品一月至三月份销售量的月平均增长率为x。
根据等量关系列方程得：
$100(1+x)^2=144$
方程两边同时除以100，得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-2.2$。
(2) 已知三月份销售量为144件，月平均增长率为20%，则四月份销售量为：
$144×(1+20\%)=172.8\approx173$（件）
【答案】
(1) 20%；
(2) 约173件
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；近似数的应用
【点评】
本题是平均变化率类的典型应用题，解题核心是准确梳理增长前后的量、增长次数之间的等量关系，列方程求解时要结合实际意义对解进行合理性筛选，最终结果按要求规范处理即可。
【难度系数】
0.8
【变式】(2026南京月考)某景区六月份游客接待量为640万人次，八月份游客接待量为810万人次，设七、八月份游客接待量的月平均增长率是$x$，根据题意可列方程为
640(1+x)²=810
.答案
640(1+x)²=810
解析
【分析】
这是平均增长率类的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先明确基期量（六月份的游客接待量）、平均增长率、增长次数，再根据平均增长率的数量关系逐步推导各期的接待量，最后结合已知的八月份接待量列等式即可。首先七月份是在六月份的基础上增长x，可得七月份接待量，再以七月份为基础增长x得到八月份接待量，与已知的八月份数值相等即可列出方程。
【解析】
已知六月份游客接待量为640万人次，七、八月份的月平均增长率为x：
1. 计算七月份游客接待量：在六月份基础上增长x，故七月份接待量为 $ 640(1+x) $ 万人次；
2. 计算八月份游客接待量：在七月份基础上再增长x，因此八月份接待量为 $ 640(1+x) × (1+x) = 640(1+x)^2 $ 万人次；
3. 已知八月份游客接待量为810万人次，因此可列方程：$ 640(1+x)^2 = 810 $。
【答案】
$ 640(1+x)^2 = 810 $
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率问题的基础题型，核心是牢记增长后量的计算公式：增长n次后的量=初始量×(1+增长率)ⁿ，解题时需准确判断增长次数，本题从六月到八月共经过2次增长，因此指数为2，掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先明确基期量（六月份的游客接待量）、平均增长率、增长次数，再根据平均增长率的数量关系逐步推导各期的接待量，最后结合已知的八月份接待量列等式即可。首先七月份是在六月份的基础上增长x，可得七月份接待量，再以七月份为基础增长x得到八月份接待量，与已知的八月份数值相等即可列出方程。
【解析】
已知六月份游客接待量为640万人次，七、八月份的月平均增长率为x：
1. 计算七月份游客接待量：在六月份基础上增长x，故七月份接待量为 $ 640(1+x) $ 万人次；
2. 计算八月份游客接待量：在七月份基础上再增长x，因此八月份接待量为 $ 640(1+x) × (1+x) = 640(1+x)^2 $ 万人次；
3. 已知八月份游客接待量为810万人次，因此可列方程：$ 640(1+x)^2 = 810 $。
【答案】
$ 640(1+x)^2 = 810 $
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率问题的基础题型，核心是牢记增长后量的计算公式：增长n次后的量=初始量×(1+增长率)ⁿ，解题时需准确判断增长次数，本题从六月到八月共经过2次增长，因此指数为2，掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【例2】“新年平安，多‘盔’有你”.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元.经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.设每顶头盔降价x元.若该商店期望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
答案
根据题意，得$(68-x-40)(100+20x)=4 000$。
整理，得$x^2-23x+60=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=20$。
当$x=3$时，$68-x=68-3=65＞58$，不符合题意，舍去；
当$x=20$时，$68-x=68-20=48＜58$，符合题意。
答：每顶头盔应降价20元。
整理，得$x^2-23x+60=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=20$。
当$x=3$时，$68-x=68-3=65＞58$，不符合题意，舍去；
当$x=20$时，$68-x=68-20=48＜58$，符合题意。
答：每顶头盔应降价20元。
解析
【分析】
这是销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售总量”的等量关系列方程求解。第一步先确定单个头盔的利润：原售价68元，降价x元后单顶售价为(68-x)元，减去进价40元，即单顶利润为(68-x-40)元；第二步确定总销售量：原本每周售100顶，每降价1元多售20顶，降价x元后总销售量为(100+20x)顶；第三步根据总利润为4000元列一元二次方程，解方程后要结合“每顶售价不高于58元”的限制条件，舍去不符合题意的解，得到最终结果。
【解析】
根据题意列方程：
$(68-x-40)(100+20x)=4000$
整理方程得：
$x^2-23x+60=0$
解得：
$x_1=3$，$x_2=20$
结合售价限制条件检验：
当$x=3$时，售价为$68-3=65$元，$65＞58$，不符合“每顶售价不高于58元”的要求，舍去；
当$x=20$时，售价为$68-20=48$元，$48＜58$，符合题意。
答：每顶头盔应降价20元。
【答案】
每顶头盔应降价20元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于常见的销售利润应用题，解题的核心是找准总利润的等量关系建立方程，需要注意题目中的限制条件，求解后要检验根是否符合实际题意，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售总量”的等量关系列方程求解。第一步先确定单个头盔的利润：原售价68元，降价x元后单顶售价为(68-x)元，减去进价40元，即单顶利润为(68-x-40)元；第二步确定总销售量：原本每周售100顶，每降价1元多售20顶，降价x元后总销售量为(100+20x)顶；第三步根据总利润为4000元列一元二次方程，解方程后要结合“每顶售价不高于58元”的限制条件，舍去不符合题意的解，得到最终结果。
【解析】
根据题意列方程：
$(68-x-40)(100+20x)=4000$
整理方程得：
$x^2-23x+60=0$
解得：
$x_1=3$，$x_2=20$
结合售价限制条件检验：
当$x=3$时，售价为$68-3=65$元，$65＞58$，不符合“每顶售价不高于58元”的要求，舍去；
当$x=20$时，售价为$68-20=48$元，$48＜58$，符合题意。
答：每顶头盔应降价20元。
【答案】
每顶头盔应降价20元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于常见的销售利润应用题，解题的核心是找准总利润的等量关系建立方程，需要注意题目中的限制条件，求解后要检验根是否符合实际题意，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
