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【变式】某商场将进货单价为55元的某种服装以每件75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利800元，则每件应降价
10
元.答案
10
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题思路如下：首先回忆销售问题的核心等量关系：总盈利=每件商品的利润×每天的销售量。首先设降价金额为未知数x，分别用含x的式子表示出降价后每件的利润和每天的销售量，再根据总盈利800元列一元二次方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求对两个方程解进行取舍，得到符合题意的结果。
【解析】
设每件应降价$ x $元。
1. 表示降价后每件利润：原售价75元，进价55元，降价$ x $元后，每件利润为$ (75 - 55 - x) = (20 - x) $元；
2. 表示降价后日销售量：每降价1元多售5件，降价$ x $元后，日销售量为$ (30 + 5x) $件；
3. 根据总盈利800元列方程：
$ (20 - x)(30 + 5x) = 800 $
展开整理得：
$ 600 + 100x - 30x - 5x^2 = 800 $
$ x^2 - 14x + 40 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 4)(x - 10) = 0 $
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 10 $
4. 结合题意取舍：因为要尽快减少库存，降价越多销售量越高，库存减少越快，所以选择$ x = 10 $。
【答案】
10
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用；方程解的取舍
【点评】
本题是销售类方程应用的典型题型，核心是找准总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略题干中“尽快减少库存”的限制条件，未对求出的解进行合理筛选，导致结果错误。
【难度系数】
0.6
本题属于销售利润类应用题，解题思路如下：首先回忆销售问题的核心等量关系：总盈利=每件商品的利润×每天的销售量。首先设降价金额为未知数x，分别用含x的式子表示出降价后每件的利润和每天的销售量，再根据总盈利800元列一元二次方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求对两个方程解进行取舍，得到符合题意的结果。
【解析】
设每件应降价$ x $元。
1. 表示降价后每件利润：原售价75元，进价55元，降价$ x $元后，每件利润为$ (75 - 55 - x) = (20 - x) $元；
2. 表示降价后日销售量：每降价1元多售5件，降价$ x $元后，日销售量为$ (30 + 5x) $件；
3. 根据总盈利800元列方程：
$ (20 - x)(30 + 5x) = 800 $
展开整理得：
$ 600 + 100x - 30x - 5x^2 = 800 $
$ x^2 - 14x + 40 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 4)(x - 10) = 0 $
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 10 $
4. 结合题意取舍：因为要尽快减少库存，降价越多销售量越高，库存减少越快，所以选择$ x = 10 $。
【答案】
10
【知识点】
销售利润计算；一元二次方程的应用；方程解的取舍
【点评】
本题是销售类方程应用的典型题型，核心是找准总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略题干中“尽快减少库存”的限制条件，未对求出的解进行合理筛选，导致结果错误。
【难度系数】
0.6
1.某机械厂七月份生产零件5万个，九月份生产零件7.2万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为$x$，那么$x$满足的方程是
（
A.$5(1-x)^2=7.2$
B.$5(1+x)^2=7.2$
C.$7.2(1-x)^2=5$
D.$5(1+x^2)=7.2$
（
B
）A.$5(1-x)^2=7.2$
B.$5(1+x)^2=7.2$
C.$7.2(1-x)^2=5$
D.$5(1+x^2)=7.2$
答案
1. B
解析
【分析】
这是平均增长率类的实际应用题，解题时先明确增长的初始量、增长次数和最终量：首先七月份产量是初始量，从七月到九月经过2次增长，平均每月增长率为x，我们可以先推导每次增长后的产量表达式，再结合九月份的已知产量列出方程即可。
【解析】
解：已知七月份生产零件5万个，八、九月份平均每月增长率为x：
1. 八月份的产量 = 七月份产量×(1+增长率) = $5(1+x)$ 万个；
2. 九月份的产量是在八月份产量基础上再增长x，因此九月份产量 = 八月份产量×(1+增长率) = $5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$ 万个；
3. 题目给出九月份产量为7.2万个，因此可列方程：$5(1+x)^2=7.2$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确增长基数、增长次数，牢记平均增长率的通用公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为$a(1+x)^n$，代入对应数据即可快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的实际应用题，解题时先明确增长的初始量、增长次数和最终量：首先七月份产量是初始量，从七月到九月经过2次增长，平均每月增长率为x，我们可以先推导每次增长后的产量表达式，再结合九月份的已知产量列出方程即可。
【解析】
解：已知七月份生产零件5万个，八、九月份平均每月增长率为x：
1. 八月份的产量 = 七月份产量×(1+增长率) = $5(1+x)$ 万个；
2. 九月份的产量是在八月份产量基础上再增长x，因此九月份产量 = 八月份产量×(1+增长率) = $5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$ 万个；
3. 题目给出九月份产量为7.2万个，因此可列方程：$5(1+x)^2=7.2$。
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确增长基数、增长次数，牢记平均增长率的通用公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为$a(1+x)^n$，代入对应数据即可快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
2. (2025宁夏期末)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元.若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是 (
A.$(x+3)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
A
)A.$(x+3)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
答案
2. A
解析
【分析】
本题是列一元二次方程解销售利润类问题，解题核心是抓住“总盈利=每盆总株数×平均每株盈利”的等量关系。首先结合设出的未知数x，分别表示出增种后每盆的总株数、平均每株的盈利，再代入等量关系即可得到对应方程，进而匹配选项。
【解析】
已知设每盆多植x株：
1. 求增种后每盆的总株数：原本每盆植3株，多植x株后，每盆总株数为$(x + 3)$株；
2. 求增种后平均每株的盈利：原本平均每株盈利4元，每多植1株单株盈利减少0.5元，多植x株后单株盈利共减少$0.5x$元，因此此时平均每株盈利为$(4 - 0.5x)$元；
3. 结合总盈利为15元的条件，根据“总盈利=每盆总株数×平均每株盈利”，可列方程为：
$(x + 3)(4 - 0.5x) = 15$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，列代数式
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确梳理题目中的数量变化关系，找到总利润的计算公式，分别表示出对应的量后代入公式即可列出方程，掌握此类基础题型是解决更复杂的利润类应用题的前提。
【难度系数】
0.8
本题是列一元二次方程解销售利润类问题，解题核心是抓住“总盈利=每盆总株数×平均每株盈利”的等量关系。首先结合设出的未知数x，分别表示出增种后每盆的总株数、平均每株的盈利，再代入等量关系即可得到对应方程，进而匹配选项。
【解析】
已知设每盆多植x株：
1. 求增种后每盆的总株数：原本每盆植3株，多植x株后，每盆总株数为$(x + 3)$株；
2. 求增种后平均每株的盈利：原本平均每株盈利4元，每多植1株单株盈利减少0.5元，多植x株后单株盈利共减少$0.5x$元，因此此时平均每株盈利为$(4 - 0.5x)$元；
3. 结合总盈利为15元的条件，根据“总盈利=每盆总株数×平均每株盈利”，可列方程为：
$(x + 3)(4 - 0.5x) = 15$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，列代数式
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确梳理题目中的数量变化关系，找到总利润的计算公式，分别表示出对应的量后代入公式即可列出方程，掌握此类基础题型是解决更复杂的利润类应用题的前提。
【难度系数】
0.8
3. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商.其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元，则每次降价的百分率为（
A.10%
B.20%
C.30%
D.80%
B
）A.10%
B.20%
C.30%
D.80%
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道平均降价率的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确降价类变化率的数量关系：原价×(1-每次降价百分率)ⁿ = 降价n次后的售价，其中n为降价次数。我们可以先设每次降价的百分率为x，根据题目给出的原价、降价次数、最终售价列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，就能得到正确的降价百分率。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 200(1-x)^2 = 128 $
方程两边同时除以200，得：
$ (1-x)^2 = 0.64 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.8 $
分两种情况求解：
① 当$ 1-x = 0.8 $时，解得$ x = 0.2 = 20\% $，符合实际意义；
② 当$ 1-x = -0.8 $时，解得$ x = 1.8 = 180\% $，降价百分率不可能超过100%，舍去该根。
因此每次降价的百分率为20%，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题的核心是准确掌握变化率的计算公式，求解方程后一定要注意检验根是否符合实际生活场景，排除不合理的增根。
【难度系数】
0.8
这是一道平均降价率的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确降价类变化率的数量关系：原价×(1-每次降价百分率)ⁿ = 降价n次后的售价，其中n为降价次数。我们可以先设每次降价的百分率为x，根据题目给出的原价、降价次数、最终售价列出一元二次方程，再求解方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的根，就能得到正确的降价百分率。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 200(1-x)^2 = 128 $
方程两边同时除以200，得：
$ (1-x)^2 = 0.64 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.8 $
分两种情况求解：
① 当$ 1-x = 0.8 $时，解得$ x = 0.2 = 20\% $，符合实际意义；
② 当$ 1-x = -0.8 $时，解得$ x = 1.8 = 180\% $，降价百分率不可能超过100%，舍去该根。
因此每次降价的百分率为20%，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题的核心是准确掌握变化率的计算公式，求解方程后一定要注意检验根是否符合实际生活场景，排除不合理的增根。
【难度系数】
0.8
4. (2025鹤岗期中)某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个，每个小家电定价每增加1元，销售量将减少10个，且定价不得超过55元。如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是
52
元。答案
4. 52
解析
【分析】
首先明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售总量。我们可以先设定价为x元，先表示出单个利润为(x-40)元；再根据“定价每涨1元，销量减少10个”的规则，写出对应定价下的销售量；结合总利润2160元的条件列方程求解，最后根据“定价不超过55元”的限制舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设该小家电每个定价是x元。
单个小家电的利润为：$(x-40)$元
定价为x元时，相比50元上涨了$(x-50)$元，因此销售量为：$200-10(x-50)=700-10x$ 个
根据总利润为2160元列方程：
$(x-40)(700-10x)=2160$
整理方程：
展开得：$700x-10x^2-28000+400x=2160$
合并同类项得：$-10x^2+1100x-30160=0$
两边同时除以$-10$得：$x^2-110x+3016=0$
解方程得：$x_1=58$，$x_2=52$
∵定价不得超过55元，$58＞55$，不符合题意，舍去
∴$x=52$
【答案】
52
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题关键是找准总利润、单个利润、销售量三者的等量关系列方程，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对求得的根进行检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售总量。我们可以先设定价为x元，先表示出单个利润为(x-40)元；再根据“定价每涨1元，销量减少10个”的规则，写出对应定价下的销售量；结合总利润2160元的条件列方程求解，最后根据“定价不超过55元”的限制舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设该小家电每个定价是x元。
单个小家电的利润为：$(x-40)$元
定价为x元时，相比50元上涨了$(x-50)$元，因此销售量为：$200-10(x-50)=700-10x$ 个
根据总利润为2160元列方程：
$(x-40)(700-10x)=2160$
整理方程：
展开得：$700x-10x^2-28000+400x=2160$
合并同类项得：$-10x^2+1100x-30160=0$
两边同时除以$-10$得：$x^2-110x+3016=0$
解方程得：$x_1=58$，$x_2=52$
∵定价不得超过55元，$58＞55$，不符合题意，舍去
∴$x=52$
【答案】
52
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题关键是找准总利润、单个利润、销售量三者的等量关系列方程，同时要注意结合题目给出的实际限制条件对求得的根进行检验，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5.某商品每件的进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件.市场调查发现:销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品的销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x(元).要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？
答案
解：$(x-30)[60-2(x-50)]=800$，其中$30≤ x≤65$，
解得$x_1=40$，$x_2=70$(舍去)，
故销售单价应定为40元。
解得$x_1=40$，$x_2=70$(舍去)，
故销售单价应定为40元。
解析
【分析】
解题时首先回忆销售利润的核心等量关系：日销售利润=每件商品的利润×日销售量。第一步先表示出每件商品的利润：售价为x元，进价30元，因此每件利润为(x-30)元；第二步表示日销售量：原售价50元时销量60件，单价每提高1元销量减少2件，当售价为x元时，单价相对于50元变化了(x-50)元，因此销量变化量为2(x-50)件，即日销售量为[60-2(x-50)]件；第三步结合日利润为800元列方程，求解后要根据“销售单价不能高于65元、且不低于进价30元”的限制条件舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
根据题意，日销售利润=每件利润×日销售量，列方程如下：
$(x-30)[60-2(x-50)]=800$（$30≤ x≤65$）
整理方程：
$(x-30)(160-2x)=800$
展开得：$160x - 2x^2 - 4800 + 60x = 800$
移项合并同类项得：$x^2 - 110x + 2800 = 0$
因式分解得：$(x-40)(x-70)=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=70$
∵ 销售单价不能高于65元，即$x≤65$
∴ $x_2=70$不符合题意，舍去
【答案】
销售单价应定为40元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；方程实根取舍
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的核心是找准利润、单价、销量三者之间的等量关系，正确列出一元二次方程，同时要注意结合题目给出的单价限制条件对求解出的根进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆销售利润的核心等量关系：日销售利润=每件商品的利润×日销售量。第一步先表示出每件商品的利润：售价为x元，进价30元，因此每件利润为(x-30)元；第二步表示日销售量：原售价50元时销量60件，单价每提高1元销量减少2件，当售价为x元时，单价相对于50元变化了(x-50)元，因此销量变化量为2(x-50)件，即日销售量为[60-2(x-50)]件；第三步结合日利润为800元列方程，求解后要根据“销售单价不能高于65元、且不低于进价30元”的限制条件舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
根据题意，日销售利润=每件利润×日销售量，列方程如下：
$(x-30)[60-2(x-50)]=800$（$30≤ x≤65$）
整理方程：
$(x-30)(160-2x)=800$
展开得：$160x - 2x^2 - 4800 + 60x = 800$
移项合并同类项得：$x^2 - 110x + 2800 = 0$
因式分解得：$(x-40)(x-70)=0$
解得：$x_1=40$，$x_2=70$
∵ 销售单价不能高于65元，即$x≤65$
∴ $x_2=70$不符合题意，舍去
【答案】
销售单价应定为40元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；方程实根取舍
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的核心是找准利润、单价、销量三者之间的等量关系，正确列出一元二次方程，同时要注意结合题目给出的单价限制条件对求解出的根进行检验，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
