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2. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，$△ ABC$的三个顶点都在格点上.
（1）画出$△ A_1B_1C_1$，使$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于直线$l$对称；
（2）在直线$l$上确定一点$P$，使$P$到$B$，$C$的距离之和最小（保留作图痕迹）；
（3）点$M$在格点上，且$△ MAB$是等腰三角形，则这样的点$M$有
（1）画出$△ A_1B_1C_1$，使$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$关于直线$l$对称；
（2）在直线$l$上确定一点$P$，使$P$到$B$，$C$的距离之和最小（保留作图痕迹）；
（3）点$M$在格点上，且$△ MAB$是等腰三角形，则这样的点$M$有
8
个.答案
2. 解（1）如图，$△A_1B_1C_1$即为所求作.
（2）如图，点$P$即为所求作.
（3）8
解析
【分析】
（1）作轴对称图形需依据轴对称性质：对称点连线被对称轴垂直平分。先找三个顶点关于直线l的对称点，点A在对称轴上，对称点是自身；数出B、C到直线l的水平格数，在对称轴另一侧相同距离位置即可找到对应对称点，顺次连接对称点就能得到所求图形。
（2）直线上一点到两点距离和最小是典型的轴对称最短路径问题，利用轴对称将同侧点转化为异侧点：作B关于l的对称点B₁，由轴对称性质得PB=PB₁，因此PB+PC=PB₁+PC，根据两点之间线段最短，连接B₁C与l的交点就是所求的P点。
（3）找格点M使△MAB为等腰三角形需分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点：以A为圆心AB长为半径画圆，找圆上的格点；②AB为腰，B为顶角顶点：以B为圆心AB长为半径画圆，找圆上的格点；③AB为底：作AB的垂直平分线，找线上的格点，统计所有符合要求的格点数量即可。
【解析】
（1）①点A在直线l上，对称点A₁与A重合；②点B到直线l的水平距离为3个单位，在直线l右侧距l3个单位、和B同一高度的格点就是B的对称点B₁；③点C到直线l的水平距离为2个单位，在直线l右侧距l2个单位、和C同一高度的格点就是C的对称点C₁；④顺次连接A₁、B₁、C₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
（2）连接B₁C，B₁C和直线l的交点记作P。由轴对称性质可知PB=PB₁，因此PB+PC=PB₁+PC，根据两点之间线段最短，此时PB+PC的和最小，点P即为所求。
（3）设每个小正方形边长为1，由勾股定理得AB=√(3²+2²)=√13，分类计数：
①当AB=AM时，以A为圆心、√13为半径画弧，符合要求的格点有4个；
②当AB=BM时，以B为圆心、√13为半径画弧，符合要求的格点有3个；
③当AM=BM时，作AB的垂直平分线，符合要求的格点有1个；
综上，符合条件的点M共有4+3+1=8个。
【答案】
（1）（2）如图所示：
（3）8
【知识点】
轴对称作图，最短路径问题，等腰三角形的判定
【点评】
本题是网格类几何的典型考题，综合考查了轴对称的性质、最短路径原理以及分类讨论的数学思想，第三问计数时要严格按分类标准排查，避免出现重复或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
（1）作轴对称图形需依据轴对称性质：对称点连线被对称轴垂直平分。先找三个顶点关于直线l的对称点，点A在对称轴上，对称点是自身；数出B、C到直线l的水平格数，在对称轴另一侧相同距离位置即可找到对应对称点，顺次连接对称点就能得到所求图形。
（2）直线上一点到两点距离和最小是典型的轴对称最短路径问题，利用轴对称将同侧点转化为异侧点：作B关于l的对称点B₁，由轴对称性质得PB=PB₁，因此PB+PC=PB₁+PC，根据两点之间线段最短，连接B₁C与l的交点就是所求的P点。
（3）找格点M使△MAB为等腰三角形需分类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点：以A为圆心AB长为半径画圆，找圆上的格点；②AB为腰，B为顶角顶点：以B为圆心AB长为半径画圆，找圆上的格点；③AB为底：作AB的垂直平分线，找线上的格点，统计所有符合要求的格点数量即可。
【解析】
（1）①点A在直线l上，对称点A₁与A重合；②点B到直线l的水平距离为3个单位，在直线l右侧距l3个单位、和B同一高度的格点就是B的对称点B₁；③点C到直线l的水平距离为2个单位，在直线l右侧距l2个单位、和C同一高度的格点就是C的对称点C₁；④顺次连接A₁、B₁、C₁，所得△A₁B₁C₁即为所求。
（2）连接B₁C，B₁C和直线l的交点记作P。由轴对称性质可知PB=PB₁，因此PB+PC=PB₁+PC，根据两点之间线段最短，此时PB+PC的和最小，点P即为所求。
（3）设每个小正方形边长为1，由勾股定理得AB=√(3²+2²)=√13，分类计数：
①当AB=AM时，以A为圆心、√13为半径画弧，符合要求的格点有4个；
②当AB=BM时，以B为圆心、√13为半径画弧，符合要求的格点有3个；
③当AM=BM时，作AB的垂直平分线，符合要求的格点有1个；
综上，符合条件的点M共有4+3+1=8个。
【答案】
（1）（2）如图所示：
（3）8
【知识点】
轴对称作图，最短路径问题，等腰三角形的判定
【点评】
本题是网格类几何的典型考题，综合考查了轴对称的性质、最短路径原理以及分类讨论的数学思想，第三问计数时要严格按分类标准排查，避免出现重复或漏解的问题。
【难度系数】
0.6
在平面直角坐标系上，已知点P（$p+2q$，$-3$）和点Q（$-\dfrac{1}{2}p - q$，$6$），其中$p＞-2q$，点P与点Q关于直线l（直线l上各点的横、纵坐标相等）对称，则p与q的数量关系为（
A.$p+3q=6$
B.$p=-q$
C.$p+2q=-3$
D.$p+2q=6$
解析 因为直线l上各点的横、纵坐标相等，相等，
所以直线l为第一和第三象限的角平分线.
因为$p＞-2q$，
所以$p+2q＞0$.
所以点P（$p+2q$，$-3$）在第四象限.
因为点P与点Q关于直线l对称，
所以$\begin{cases} p+2q=6, \\ -\dfrac{1}{2}p - q=-3, \end{cases}$
即$p+2q=6$.
答案 D
D
）A.$p+3q=6$
B.$p=-q$
C.$p+2q=-3$
D.$p+2q=6$
解析 因为直线l上各点的横、纵坐标相等，相等，
所以直线l为第一和第三象限的角平分线.
因为$p＞-2q$，
所以$p+2q＞0$.
所以点P（$p+2q$，$-3$）在第四象限.
因为点P与点Q关于直线l对称，
所以$\begin{cases} p+2q=6, \\ -\dfrac{1}{2}p - q=-3, \end{cases}$
即$p+2q=6$.
答案 D
答案
解析 因为直线l上各点的横、纵坐标相等，相等，
所以直线l为第一和第三象限的角平分线.
因为$p＞-2q$，
所以$p+2q＞0$.
所以点P（$p+2q$，$-3$）在第四象限.
因为点P与点Q关于直线l对称，
所以$\begin{cases} p+2q=6, \\ -\dfrac{1}{2}p - q=-3, \end{cases}$
即$p+2q=6$.
答案 D
所以直线l为第一和第三象限的角平分线.
因为$p＞-2q$，
所以$p+2q＞0$.
所以点P（$p+2q$，$-3$）在第四象限.
因为点P与点Q关于直线l对称，
所以$\begin{cases} p+2q=6, \\ -\dfrac{1}{2}p - q=-3, \end{cases}$
即$p+2q=6$.
答案 D
解析
【分析】
解题时首先从题干条件入手：第一步先确定对称轴直线l的解析式，由“直线l上各点横、纵坐标相等”可得直线l为$y=x$，也就是第一、三象限的角平分线；第二步回忆关于直线$y=x$对称的两点的坐标特征：若点$(x,y)$关于$y=x$对称，则对称点的坐标为$(y,x)$，即两点横纵坐标互换；第三步将点P、Q的坐标对应对称特征列出等式，化简等式即可得到p与q的数量关系，题干中$p＞-2q$的条件是辅助判断点P所在象限，验证对称关系的合理性。
【解析】
解：
∵直线l上各点的横、纵坐标相等，
∴直线l的解析式为$y=x$，是第一、三象限的角平分线。
由$p＞-2q$可得$p+2q＞0$，即点$P(p+2q,-3)$的横坐标为正、纵坐标为负，点P在第四象限。
∵点P与点Q关于直线$y=x$对称，关于$y=x$对称的两点横纵坐标互换，
∴可得方程组：$\begin{cases} p+2q=6 \\ -\dfrac{1}{2}p - q=-3 \end{cases}$
将第二个方程左右两边同时乘以$-2$，可得$p+2q=6$，与第一个方程完全一致，因此p与q的数量关系为$p+2q=6$。
【答案】
D
【知识点】
关于y=x对称的坐标规律；象限内点的坐标特征
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中对称点的坐标变换规律，解题的核心是准确判断对称轴的性质，结合对称点的坐标对应关系列等式求解，题目中的两个等式本质等价，无需额外计算即可直接得到所求数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题干条件入手：第一步先确定对称轴直线l的解析式，由“直线l上各点横、纵坐标相等”可得直线l为$y=x$，也就是第一、三象限的角平分线；第二步回忆关于直线$y=x$对称的两点的坐标特征：若点$(x,y)$关于$y=x$对称，则对称点的坐标为$(y,x)$，即两点横纵坐标互换；第三步将点P、Q的坐标对应对称特征列出等式，化简等式即可得到p与q的数量关系，题干中$p＞-2q$的条件是辅助判断点P所在象限，验证对称关系的合理性。
【解析】
解：
∵直线l上各点的横、纵坐标相等，
∴直线l的解析式为$y=x$，是第一、三象限的角平分线。
由$p＞-2q$可得$p+2q＞0$，即点$P(p+2q,-3)$的横坐标为正、纵坐标为负，点P在第四象限。
∵点P与点Q关于直线$y=x$对称，关于$y=x$对称的两点横纵坐标互换，
∴可得方程组：$\begin{cases} p+2q=6 \\ -\dfrac{1}{2}p - q=-3 \end{cases}$
将第二个方程左右两边同时乘以$-2$，可得$p+2q=6$，与第一个方程完全一致，因此p与q的数量关系为$p+2q=6$。
【答案】
D
【知识点】
关于y=x对称的坐标规律；象限内点的坐标特征
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中对称点的坐标变换规律，解题的核心是准确判断对称轴的性质，结合对称点的坐标对应关系列等式求解，题目中的两个等式本质等价，无需额外计算即可直接得到所求数量关系。
【难度系数】
0.7
3. 若点M（-2，1）与点N（-2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（
A.x轴
B.y轴
C.过点（-2，0）且垂直于x轴的直线
D.过点（0，2）且平行于x轴的直线
D
）A.x轴
B.y轴
C.过点（-2，0）且垂直于x轴的直线
D.过点（0，2）且平行于x轴的直线
答案
3. D
解析
【分析】
要确定两点的对称轴，需利用对称的性质：对称轴是两点所连线段的垂直平分线。首先观察点M、N的坐标，横坐标均为-2，说明两点连线是垂直于x轴的竖直线段，因此它的垂直平分线必然平行于x轴；再计算两点连线的中点纵坐标，即可得到对称轴的解析式，进而匹配选项。
【解析】
解：
∵点M(-2,1)和点N(-2,3)的横坐标相等，
∴线段MN是垂直于x轴的竖直线段，
∵两点关于直线对称时，该直线是线段MN的垂直平分线，
∴这条垂直平分线平行于x轴，直线上所有点的纵坐标相同，
线段MN中点的纵坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，
∴这条对称轴的解析式为$y=2$，即过点(0,2)且平行于x轴的直线。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 坐标与图形对称
2. 线段垂直平分线性质
3. 平面直角坐标系直线特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中对称点与对称轴的关系，解题核心是牢记对称轴是对称点连线的垂直平分线，结合坐标的特点可快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
要确定两点的对称轴，需利用对称的性质：对称轴是两点所连线段的垂直平分线。首先观察点M、N的坐标，横坐标均为-2，说明两点连线是垂直于x轴的竖直线段，因此它的垂直平分线必然平行于x轴；再计算两点连线的中点纵坐标，即可得到对称轴的解析式，进而匹配选项。
【解析】
解：
∵点M(-2,1)和点N(-2,3)的横坐标相等，
∴线段MN是垂直于x轴的竖直线段，
∵两点关于直线对称时，该直线是线段MN的垂直平分线，
∴这条垂直平分线平行于x轴，直线上所有点的纵坐标相同，
线段MN中点的纵坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，
∴这条对称轴的解析式为$y=2$，即过点(0,2)且平行于x轴的直线。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 坐标与图形对称
2. 线段垂直平分线性质
3. 平面直角坐标系直线特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中对称点与对称轴的关系，解题核心是牢记对称轴是对称点连线的垂直平分线，结合坐标的特点可快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系中，点A（1，－3）关于直线x＝－1对称的点的坐标是
（－3，－3）
.答案
4. （－3，－3）
解析
【分析】
要解决点关于直线x=-1对称的坐标问题，首先回忆关于平行于y轴的直线对称的点的坐标规律：两点的纵坐标相等，且两点到对称轴的水平距离相等，即两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值。我们可以先确定对称点的纵坐标，再根据横坐标的关系计算出对称点的横坐标，即可得到结果。
【解析】
设点A(1,－3)关于直线x＝－1对称的点为B(x,y)：
1. 关于平行于y轴的直线对称的两点纵坐标相等，因此y = -3；
2. 两点横坐标的平均值等于对称轴的x值，可得等式：$\frac{1+x}{2}=-1$，
解方程：$1+x=-2$，解得$x=-3$。
综上可得对称点的坐标为(-3,-3)。
【答案】
（－3，－3）
【知识点】
1. 平行于y轴的直线对称的坐标特征
2. 平面直角坐标系点的坐标性质
【点评】
本题是坐标对称的基础应用题目，掌握对称点横、纵坐标的变化规律即可快速求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
要解决点关于直线x=-1对称的坐标问题，首先回忆关于平行于y轴的直线对称的点的坐标规律：两点的纵坐标相等，且两点到对称轴的水平距离相等，即两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值。我们可以先确定对称点的纵坐标，再根据横坐标的关系计算出对称点的横坐标，即可得到结果。
【解析】
设点A(1,－3)关于直线x＝－1对称的点为B(x,y)：
1. 关于平行于y轴的直线对称的两点纵坐标相等，因此y = -3；
2. 两点横坐标的平均值等于对称轴的x值，可得等式：$\frac{1+x}{2}=-1$，
解方程：$1+x=-2$，解得$x=-3$。
综上可得对称点的坐标为(-3,-3)。
【答案】
（－3，－3）
【知识点】
1. 平行于y轴的直线对称的坐标特征
2. 平面直角坐标系点的坐标性质
【点评】
本题是坐标对称的基础应用题目，掌握对称点横、纵坐标的变化规律即可快速求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
