7. 如图①~③,已知O是直线AB上一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC,根据CO,OE,OD不同的位置关系,回答下列问题:

(1) 如图①,若∠AOC= 40°,求∠DOE的度数;
(2) 如图②,探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系,并说明理由;
(3) 如图③,若∠AOC= α,直接写出∠DOE的度数(用含α的式子表示).

解:(2)∠DOE与∠AOC之间的数量关系：
$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC．$
∵∠COD是直角，
∴∠COD=90°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，
∵OE平分∠BOC，∠BOC=180°-∠AOC，
∴$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC$
$=\frac{1}{2}（180°-∠AOC）$
$=90°-\frac{1}{2}∠AOC，$
∴∠DOE=90°-∠COE
$=90°-（90°-\frac{1}{2}∠AOC）$
$=\frac{1}{2}∠AOC，$
∴∠DOE与∠AOC之间的数量关系，
$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC．$
解$:(3)∠DOE=\frac{1}{2}a$

8. (1) 在直线l上取A,B两点,使AB= 10,再在l上取一点C,使AC= 2,M,N分别是AC,BC的中点,求MN的长.
(2) 如图①,OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC.
① 已知∠AOB= 90°,则∠DOE= ______°.
② 已知∠AOB= x°,求∠DOE的度数.
③ 改变OC的位置(图②),OD,OE仍然分别平分∠AOC,∠BOC.设∠AOB= x°,求∠DOE的度数.
(3) 对比第(1),(2)两小题,与同伴交流自己的理解.

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解: (1)若点C在线段AB上,如图1

∵AC=2cm ,点M为AC的中点
∴AM=CM=1cm
∵AB=10cm ,点N为BC的中点, AC=2cm
∴$NC= ​\frac12​BC=4cm$
∴MN=CM+CN=1+4=5(cm) 
若点C在线段BA的延长线上,如图2

∵AC=2cm，点M为AC的中点∴AM=CM=1cm∵AB=10cm ,点N为BC的中点, AC=2cm ∴$NC= ​\frac12​BC=6cm $∴MN=CN-CM=6-1=5(cm) 综上所述，MN的长度是5cm( 2 )②∵OD平分∠AOC , OE平分∠BOC∴$∠DOC= ​\frac12​∠AOC ,∠COE= ​\frac12​∠BOC$∴$∠DOE=∠DOC+∠COE= ​\frac12​∠AOC+ ​\frac12​∠BOC= ​\frac12​∠AOB= ​\frac12​x°③$∵OD平分∠AOC , OE平分∠BOC∵$∠DOC= ​\frac12​∠AOC, ∠COE= ​\frac12​∠BOC$∴$∠DOE=∠DOC-∠COE= ​\frac12​∠AOC- ​\frac12​BOC= ​\frac12​∠AOB= ​\frac12​x°(3)$理解: MN的长度是AB的一半,∠DOE的度数是∠AOB的一半