1. 下列函数中,是二次函数的是()
A.$ y = ax^{2} + bx + c $
B.$ y = x(2x - 3) $
C.$ y = (x + 4)^{2} - x^{2} $
D.$ y = \frac{1}{x^{2}} $

B

A. 当$a = 0$时，不是二次函数；
B. $y = x(2x - 3) = 2x^2 - 3x$，是二次函数；
C. $y = (x + 4)^2 - x^2 = 8x + 16$，是一次函数；
D. $y = \frac{1}{x^2}$不是整式函数，不是二次函数；
结论：B

2. 关于函数 $ y = (500 - 10x)(40 + x) $,下列说法不正确的是()
A.$ y $ 是 $ x $ 的二次函数
B.二次项系数是 $ - 10 $
C.一次项是 $ - 100 $
D.常数项是 $ 20000 $

C

$y=(500-10x)(40+x)=-10x^{2}+100x+20000$，
A.$y$是$x$的二次函数，正确；
B.二次项系数是$-10$，正确；
C.一次项是$100x$，错误；
D.常数项是$20000$，正确.
答案：C

3. 设 $ 160 $ 元的电器连续两次降价后的价格为 $ y $ 元,若平均每次降价的百分率是 $ x $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为()
A.$ y = 320(x - 1) $
B.$ y = 320(1 - x) $
C.$ y = 160(1 - x^{2}) $
D.$ y = 160(1 - x)^{2} $

D

第一次降价后的价格为$160(1 - x)$元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后的价格为$160(1 - x)(1 - x) = 160(1 - x)^2$元，即$y = 160(1 - x)^2$。
D

4. 如果函数 $ y = (m - 1)x^{2} + x $($ m $ 是常数)是二次函数,那么 $ m $ 的取值范围是。

$m\neq 1$

5. 下列函数中：① $ y = - x^{2} $；② $ y = 2x $；③ $ y = 22 + x^{2} - x^{3} $；④ $ m = 3 - t - t^{2} $(其中 $ x $,$ t $ 为自变量),二次函数有。(填序号)

①④

6. 如图 22 - 1 - 1 - 2,正方形 $ EFGH $ 的顶点在边长为 $ 2 $ 的正方形的边上。若设 $ AE = x $,正方形 $ EFGH $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为。

$y=2x^{2}-4x+4(0＜x＜2)$

设大正方形为 $ABCD$，其中 $A$ 为左上角顶点，$B$ 为左下角顶点，$C$ 为右下角顶点，$D$ 为右上角顶点。
因为 $AE = x$，大正方形边长为 $2$，所以 $BE = AB - AE = 2 - x$。
由于四边形 $EFGH$ 是正方形，所以 $EH = EF$，$\angle HEF = 90°$，进而 $\angle AEH + \angle BEF = 90°$。
又因为 $\angle AHE + \angle AEH = 90°$，故 $\angle AHE = \angle BEF$。
在 $\triangle AEH$ 和 $\triangle BFE$ 中，$\angle A = \angle B = 90°$，$\angle AHE = \angle BEF$，$EH = FE$，所以 $\triangle AEH \cong \triangle BFE$（AAS）。
因此 $BF = AE = x$，$AH = BE = 2 - x$。
在 $Rt\triangle AEH$ 中，由勾股定理得 $EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (2 - x)^2$。
因为正方形 $EFGH$ 的面积 $y = EH^2$，所以 $y = x^2 + (2 - x)^2 = x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x^2 - 4x + 4$。
又因为 $E$ 在 $AB$ 边上，所以 $0 ＜ x ＜ 2$。
$y = 2x^2 - 4x + 4(0 ＜ x ＜ 2)$

7. 如图 22 - 1 - 1 - 3,用长为 $ 24m $ 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 $ a $ 为 $ 10m $)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽 $ AB $ 为 $ xm $,面积为 $ Sm^{2} $,则 $ S $ 与 $ x $ 的函数关系式为；自变量的取值范围为。

$S=-3x^{2}+24x$ $\frac{14}{3}\leqslant x＜8$

8. 某商家销售具有地方特色的某种商品,每件进价为 $ 40 $ 元。经过市场调查,一周的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x(x \geqslant 50) $(元)的关系如下表：

(1)直接写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式：；
(2)设一周的销售利润为 $ W $ 元,求出 $ W $ 与 $ x $ 的函数关系式。

解:
(1)$y=-10x+1000$
(2)由题意,得$W=(x-40)y=(x-40)(-10x+1000)=-10x^{2}+1400x-40000$。

9. 若函数 $ y = (a - 1)x^{b + 1} + x^{2} + 1 $ 是二次函数,试讨论 $ a $,$ b $ 的取值范围。

解:①$a-1+1\neq 0$且$b+1=2$,解得$b=1$且$a\neq 0$;②$a-1=0$且$b$为任意实数,解得$a=1$且$b$为任意实数;③$a$为任意实数且$b+1=1$,解得$b=0$且$a$为任意实数;④$a$为任意实数且$b+1=0$,解得$b=-1$且$a$为任意实数。

解:①当$b + 1 = 2$时，$b = 1$，此时函数为$y=(a - 1)x^{2}+x^{2}+1=(a - 1 + 1)x^{2}+1 = ax^{2}+1$，要为二次函数，则$a\neq 0$，即$a\neq 0$且$b = 1$；
②当$a - 1 = 0$时，$a = 1$，函数为$y = 0× x^{b + 1}+x^{2}+1=x^{2}+1$，此时无论$b$为何值，均为二次函数，即$a = 1$且$b$为任意实数；
③当$b + 1 = 1$时，$b = 0$，函数为$y=(a - 1)x + x^{2}+1$，是二次函数，此时$a$为任意实数，即$b = 0$且$a$为任意实数；
④当$b + 1 = 0$时，$b=-1$，函数为$y=(a - 1)x^{-1}+x^{2}+1$，是二次函数，此时$a$为任意实数，即$b=-1$且$a$为任意实数。