“以盈补虚”
同学们想知道古人是怎样推导面积公式的吗？
我国古代魏晋时期伟大的数学家刘徽，利用“出入相补”(又称“以盈补虚”)的原理推导平面图形的面积。“出入相补”原理为一个几何图形被分割成若干部分后，面积的总和保持不变。
探究一：三角形面积推导。
1 动手操作：

大三角形 $ ABC $ 的高的一半把三角形 $ ADE $ 分成两个小三角形，通过把这两个小三角形翻转平移至梯形 $ DBCE $ 两侧，把原来的大三角形拼成一个长方形。
2 观察分析：
把原来的三角形转化成一个()，拼成的长方形与原来的三角形的面积()。拼成的长方形的长相当于三角形的()，长方形的宽相当于三角形的高的()。因为长方形的面积 =()×()，所以三角形的面积 =()× 高 ÷ 2。
想一想：为什么要除以 2？
因为长方形的宽是三角形的()，所以要除以 2。
3 结论：通过把一个三角形分割成 3 部分，拼成一个长方形，()保持不变，也可以得到三角形的面积公式，即 $ S_{三角形} = a × h ÷ 2 $。
探究二：梯形面积推导。
1 动手操作：

2 观察分析：
把梯形沿()的一半通过旋转平移拼成一个()。拼成的平行四边形与原来梯形的()相等。平行四边形的底相当于梯形的()，高是梯形的()的一半。因为平行四边形的面积 = 底 × 高，所以梯形的面积 =()× 高 ÷ 2。
3 结论：通过把一个梯形分割成 2 部分，拼成一个平行四边形，()保持不变，也可以得到梯形的面积公式，即 $ S = (a + b) × h ÷ 2 $。
4 动手试一试：你能把一个直角梯形转化成学过的图形，并简单写一写过程，计算它的面积吗？

探究一
2. 长方形 相等 底 一半 长 宽 底 高的 一半
3. 面积
探究二
2. 高 平行四边形 面积 上底与下底的和 高 上底+下底
3. 面积
4. 把一个直角梯形沿高的一半通过旋转平移拼成一个长方形，长方形的长是梯形上、下底的和，宽是梯形高的一半。所以梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。（答案不唯一）