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1. 计算$-x(x^{3}-1)$正确的是(
A.$-x^{4}-1$
B.$-x^{4}-x$
C.$-x^{4}+x$
D.$x^{4}-x$
C
)A.$-x^{4}-1$
B.$-x^{4}-x$
C.$-x^{4}+x$
D.$x^{4}-x$
答案
C
解析
根据单项式乘多项式法则，用$-x$去乘多项式$x^{3}-1$的每一项，即$-x× x^{3}+(-x)×(-1)= -x^{4}+x$。
2. 计算$(-3x + 1)(-2x)^{2}$等于(
A.$-6x^{3}-2x^{2}$
B.$-12x^{3}+4x^{2}$
C.$-6x^{3}+2x^{2}$
D.$6x^{3}-2x^{2}$
B
)A.$-6x^{3}-2x^{2}$
B.$-12x^{3}+4x^{2}$
C.$-6x^{3}+2x^{2}$
D.$6x^{3}-2x^{2}$
答案
B
解析
首先计算$(-2x)^{2}$，根据积的乘方性质，有$(-2x)^{2} = 4x^{2}$。
接着，将$(-3x + 1)$与$4x^{2}$相乘，即：
$(-3x + 1) × 4x^{2} = -3x × 4x^{2} + 1 × 4x^{2}$
$= -12x^{3} + 4x^{2}$
接着，将$(-3x + 1)$与$4x^{2}$相乘，即：
$(-3x + 1) × 4x^{2} = -3x × 4x^{2} + 1 × 4x^{2}$
$= -12x^{3} + 4x^{2}$
3. 下列计算错误的是(
A.$(a^{2}b^{3})^{2}= a^{4}b^{6}$
B.$4x^{2}y\cdot (-3x^{4}y^{3})= -12x^{6}y^{3}$
C.$(a^{5})^{2}= a^{10}$
D.$2x\cdot (3x^{2}-x + 5)= 6x^{3}-2x^{2}+10x$
B
)A.$(a^{2}b^{3})^{2}= a^{4}b^{6}$
B.$4x^{2}y\cdot (-3x^{4}y^{3})= -12x^{6}y^{3}$
C.$(a^{5})^{2}= a^{10}$
D.$2x\cdot (3x^{2}-x + 5)= 6x^{3}-2x^{2}+10x$
答案
B
解析
选项A：根据幂的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$以及$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(a^{2}b^{3})^{2}=(a^{2})^{2}(b^{3})^{2}=a^{4}b^{6}$，该选项计算正确。
选项B：根据单项式与单项式相乘的运算法则，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，$4x^{2}y\cdot (-3x^{4}y^{3})=[4×(-3)](x^{2}\cdot x^{4})(y\cdot y^{3})=-12x^{6}y^{4}\neq -12x^{6}y^{3}$，该选项计算错误。
选项C：根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$(a^{5})^{2}=a^{5×2}=a^{10}$，该选项计算正确。
选项D：根据单项式与多项式相乘的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，$2x\cdot(3x^{2}-x + 5)=2x\cdot3x^{2}-2x\cdot x+2x\cdot5 = 6x^{3}-2x^{2}+10x$，该选项计算正确。
选项B：根据单项式与单项式相乘的运算法则，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，$4x^{2}y\cdot (-3x^{4}y^{3})=[4×(-3)](x^{2}\cdot x^{4})(y\cdot y^{3})=-12x^{6}y^{4}\neq -12x^{6}y^{3}$，该选项计算错误。
选项C：根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$(a^{5})^{2}=a^{5×2}=a^{10}$，该选项计算正确。
选项D：根据单项式与多项式相乘的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，$2x\cdot(3x^{2}-x + 5)=2x\cdot3x^{2}-2x\cdot x+2x\cdot5 = 6x^{3}-2x^{2}+10x$，该选项计算正确。
4. 老师在黑板上书写了一个正确的算式,随后用手掌遮住被除式,形式如下：$\frac{}{5x}= x^{2}-3x + 2$,则$\frac{}{5x}$处应为(
A.$x^{2}-8x + 6$
B.$5x^{3}-15x^{2}+5x$
C.$5x^{3}-15x^{2}+10x$
D.$x^{2}+2x + 6$
C
)A.$x^{2}-8x + 6$
B.$5x^{3}-15x^{2}+5x$
C.$5x^{3}-15x^{2}+10x$
D.$x^{2}+2x + 6$
答案
C
解析
设被除式为$A$，则根据题意有：$\frac{A}{5x}=x^{2}-3x + 2$。
等式两边同乘$5x$，可得$A = 5x(x^{2}-3x + 2)=5x\cdot x^{2}-5x\cdot3x + 5x\cdot2 = 5x^{3}-15x^{2}+10x$。
等式两边同乘$5x$，可得$A = 5x(x^{2}-3x + 2)=5x\cdot x^{2}-5x\cdot3x + 5x\cdot2 = 5x^{3}-15x^{2}+10x$。
5. 三角形的一边长为$3a + b$,这条边上的高为$2a$,这个三角形的面积为(
A.$5a + b$
B.$6a^{2}+2ab$
C.$3a^{2}+ab$
D.$3a^{2}+2ab$
C
)A.$5a + b$
B.$6a^{2}+2ab$
C.$3a^{2}+ab$
D.$3a^{2}+2ab$
答案
C
解析
三角形面积 = $\frac{1}{2} ×$ 底 $×$ 高，底为$3a + b$，高为$2a$，则面积为$\frac{1}{2}(3a + b) × 2a = (3a + b)a = 3a^2 + ab$
6. 要使$x(x + a)+3x - 2b = x^{2}+5x + 4$成立,则$a$,$b$的值分别是(
A.$a = -2$,$b = -2$
B.$a = 2$,$b = 2$
C.$a = 2$,$b = -2$
D.$a = -2$,$b = 2$
C
)A.$a = -2$,$b = -2$
B.$a = 2$,$b = 2$
C.$a = 2$,$b = -2$
D.$a = -2$,$b = 2$
答案
C。
解析
将左边表达式展开：
$x(x + a) + 3x - 2b$
$= x^2 + ax + 3x - 2b$
$= x^2 + (a + 3)x - 2b$。
右边表达式为：
$x^2 + 5x + 4$。
根据等式两边对应项系数相等，有：
$a + 3 = 5$，
$-2b = 4$。
解得：
$a = 2$，
$b = -2$。
$x(x + a) + 3x - 2b$
$= x^2 + ax + 3x - 2b$
$= x^2 + (a + 3)x - 2b$。
右边表达式为：
$x^2 + 5x + 4$。
根据等式两边对应项系数相等，有：
$a + 3 = 5$，
$-2b = 4$。
解得：
$a = 2$，
$b = -2$。
7. 如果$(2nx + 3x^{2}+mx^{3})(-4x^{2})的结果中不含x$的五次项,那么$m$的值为(
A.1
B.0
C.$-1$
D.$-\frac{1}{4}$
B
)A.1
B.0
C.$-1$
D.$-\frac{1}{4}$
答案
B
解析
首先将两个多项式相乘：
$(2nx + 3x^{2} + mx^{3})(-4x^{2})$
展开每一项：
$= 2nx \cdot (-4x^{2}) + 3x^{2} \cdot (-4x^{2}) + mx^{3} \cdot (-4x^{2})$
$= -8nx^{3} - 12x^{4} - 4mx^{5}$
题目要求结果中不含$x$的五次项，因此五次项的系数必须为0：
$-4m = 0$
解得：
$m = 0$
8. 计算：
(1) $\frac{1}{2}x^{2}\cdot (2x + 1)$；
(2) $-\frac{1}{2}x^{2}y\cdot (\frac{2}{3}y^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4})$。
(1) $\frac{1}{2}x^{2}\cdot (2x + 1)$；
(2) $-\frac{1}{2}x^{2}y\cdot (\frac{2}{3}y^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4})$。
答案
(1)
$\begin{aligned} \frac{1}{2}x^{2}\cdot(2x + 1) &= \frac{1}{2}x^{2}\cdot2x+\frac{1}{2}x^{2}\cdot1 \\ &= x^{3}+\frac{1}{2}x^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} -\frac{1}{2}x^{2}y\cdot(\frac{2}{3}y^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}) &= -\frac{1}{2}x^{2}y\cdot\frac{2}{3}y^{2}+(-\frac{1}{2}x^{2}y)\cdot(-\frac{1}{3}x)+(-\frac{1}{2}x^{2}y)\cdot\frac{1}{4} \\ &= -\frac{1}{3}x^{2}y^{3}+\frac{1}{6}x^{3}y-\frac{1}{8}x^{2}y \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{1}{2}x^{2}\cdot(2x + 1) &= \frac{1}{2}x^{2}\cdot2x+\frac{1}{2}x^{2}\cdot1 \\ &= x^{3}+\frac{1}{2}x^{2} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} -\frac{1}{2}x^{2}y\cdot(\frac{2}{3}y^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}) &= -\frac{1}{2}x^{2}y\cdot\frac{2}{3}y^{2}+(-\frac{1}{2}x^{2}y)\cdot(-\frac{1}{3}x)+(-\frac{1}{2}x^{2}y)\cdot\frac{1}{4} \\ &= -\frac{1}{3}x^{2}y^{3}+\frac{1}{6}x^{3}y-\frac{1}{8}x^{2}y \end{aligned}$
